七年级数学平面图形的认识总复习4.docx
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七年级数学平面图形的认识总复习4
七年级数学第六章平面图形的认识
课标要求:
1.点、线、面、角
(1)通过实物和具体模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等(参见例59)。
(2)会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义。
(3)掌握基本事实:
两点确定一条直线。
(4)掌握基本事实:
两点之间线段最短。
(5)理解两点间距离的意义,能度量两点间的距离。
(6)理解角的概念,能比较角的大小。
(7)认识度、分、秒,会对度、分、秒进行简单的换算,并会计算角的和、差。
(8)理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等的性质。
2.相交线、平行线和垂线
(9)理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
(10)理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离。
(11)掌握基本事实:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(12)掌握基本事实:
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
(13)能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
重点难点:
1.线段、角的有关计算.
2.平行与垂直的相关作图及性质的应用.
知识梭理:
一.线段、射线、直线
1.基本概念
线和线相交的地方是点
点通常表示一个物体的位置.例如,在交通图上用点来表示城市的位置.
直线
上两个点和它们
之间的部分叫做,这两个点叫做线段的端点.
在日常生活中,一根拉紧的绳子、一
根竹竿、人行
横道线都给我们以线段
的
形象.
把线段向一
方无限延伸所形成的图形叫做.
把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做
2.两点之间的所有连线中,最短。
我们把这条线段的长,就叫做;
3.点、直线、射线和线段的表示
1)、线段有两种表示方法:
线段AB与线段BA,表示同一条线段。
或用一个小写字母表示,线段a。
2)、射线的表示方法:
。
如射线l,或射线OP(此时O为射线的端点).
3)、直线也有两种表示方法:
直线MN或直线NM,或用一个小写字母表示:
直线a
4).
(1)线段有两种表示方法:
一种是____________,另外一种是_________________.
(2)射线
的表示方法:
_____________________,注意____________.
(3)直线也有两种表示方法:
一种是____________,另外一种是____________________.
5.线段、射线和直线的异同点
名称
图形及表示法
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
与实物联系
线段
不能延伸
2
真尺
线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
电筒发生的光线
直线
可向两方延伸
无
笔直的公路
二.角
1:
角的概念①静态定义:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共顶点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
②动态定义:
角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
起始边与终边可以重合。
2、角的内部:
射线旋转时经过的平面部分。
角的外部:
平面内除去角的内部和角的顶点,角的边以外的部分。
角将平面分成三部分,即角的外部,角的内部和角的两边及顶点。
3、角的表示方法:
(1)角通常用三个字母来表示,表示顶点的字母写在中间,可记为:
∠AOB(或∠BOA)练习;图
(2)有几个角,他们分别是什么?
将其表示出来
(1)
(2)(3)
(2)在角的顶点处只有一个角的情况下,也可以用大写字母来表示,∠AOB也可以写成∠O,但如果如图
(2)所示,就不可以用一个大写字母表示。
容易产生奇异。
(3)角也可以用表示,如图
(2)∠AOC可写成∠1,∠COB可写成∠2
(4)角还可以用希腊字母表示,同(3)一样,记为∠а,∠β
4、角的分类:
1周角=2平角=4直角
4.角平分线:
射线OC把∠AOB分成两个相等的角,射线OC叫做这个角的
5.角度的换算
1).把一个周角平均分成360等份,每一份就是1度的角,
记作°;把1°的角60等分,每一份就是1分的角,记作′;把1′的角60等分,每一份就是1秒的角,记作1″。
2).角的度量单位是:
度、分、秒
10=‘1’="
3).用一付三角板,可以拼出多少种不同的角?
解答:
150、300、450、750、900、1050、1200、1350、1500、1650。
三.余角、补角、对顶角
1、如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角,简称互余,其中的一个角是另一个角的。
如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角,简称,其中一个角叫做另一个角的补角。
2、总结:
同角(或等角)的余角相等
同角(或等角)的补角相等。
注意:
1).互余、互补是指两个角之间的一种关系.
2).互余、互补是指数量关系,与两个角的位置没有关系.
3).对顶角,它们的顶点重合,它们的两条边互为反向延长线。
我们把这样的两个角叫做互为对顶角。
其中一个角叫做另一个角的对顶角。
4).对顶角的性质:
对顶角相等。
四.方位角
方位角就是表示方向的角,这种角以正北,正南方向为基准描述物体的方向,如“北偏东30°”,“南偏西40°”等,方位角不能以正东,正西为基准,如不能说成“东偏北60°,西偏南50°”等,偏45°时,说成“东南、西南、东北或西北方向”
五.平行
(1)在同一平面内,两条直线的位置关系是:
(3)经过直线外一点,有且只有直线与已知直线平行,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相
1、在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
直线a平行于直线b,可表示为a∥b,
2、在同一平面内,两条直线的位置关系是:
平行与相交。
3、经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤(用直尺和三角板):
4、经过直线外一点,有直线与已知直线平行。
5、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
六.垂直
(1)如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相______,互相垂直的两条直线的交点叫做______.,
与
垂直可表示成。
(2)两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的______垂直
(3)直线外一点到这条直线的垂线段的_____________,叫做点到直线的距离。
2、如图:
两条直线互相垂直,可表示为a⊥b于点O或表示
为:
AB⊥CD于点O。
3、当两条直线互相垂直时,其中一条直线叫做另一条直
线的
4、如何经过一点画已知直线的垂线呢?
一靠近、二移动、三画线。
5、经过一点有直线与已知直线垂直。
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
把这条垂线段的长度也叫做距离。
考点归纳:
考点一:
线段、射线、直线
例1.
(1)图中以A为端点的线段有多少条?
以B为端点的线段有多少条?
以C为端点的线段有条?
以D为端点的线段有多少条?
图中一共有多少条线段?
(2)下图中各有多少条线段?
你发现了什么规律?
(用含n的代数式表示)
……
例2.图中共有 条直线,分别是 ;有
条线段,分别是 ;以D点为端点的射线有
条,分别是 ;射线DA与射线DC的公共部
分是 ,线段 , 和射线
相交于点B.
例3.(2012·葫芦岛中考)如图,C是线段AB上的一点,M是线段AC
的中点,若AB=8cm,BC=2cm,则MC的长是()
例4.(2012·广州模拟)如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,
对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则
称(p,q)为点M的“距离坐标”,根据上述规定,“距离坐标”是
(2,3)的点共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
例5.(2011·娄底中考)如图,点C是线段AB上的点,点D是线段BC的
中点,若AB=12,AC=8,则CD= .
例6、如图,已知,点C是AB上任一点,点M、N分别是AC和CB的中点,
(1)若线段AB=10cm则MN=?
(2)若MN=6,则AB=?
例7、已知线段AB=8cm,点C是直线AB上一点,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求AM的长
例8、已知线段AB,延长AB到C,使
,D为AC的中点.若DC=42㎝,则AB的长是多少?
例9.★★★(2013安顺)直线上有2013个点,我们进行如下操作:
在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有个点.
例10.如图,线段AB=28cm,点O是线段AB的中点,点P将线段AB分为两部分AP∶PB=5∶2,求线段OP的长.
例11.★★★一根绳子弯曲成如图1所示的形状.当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图3那样沿虚线b把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪(n-1)次(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时绳子的段数是_______________.
图1图2图3
例12.(2012·永州中考)永州境内的潇水
河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三
个名胜古迹(如图所示).其中柳子庙坐
落在潇水之西的柳子街上,始建于1056年,是永州人民为纪念
唐宋八大家之一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三
个景点,为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所
走的路程总和最短.那么,旅游车等候这三位游客的最佳地点应
在( )
A.朝阳岩B.柳子庙
C.迥龙塔D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
练习:
1.下列说法:
①直线CD和直线DC是两条直线;②射线CD和射线DC是两条射线;③线段CD和线段DC是两条线段;④直线CD和直线a不能是同一条直线.正确的有___________.(填序号)
2.延长线段AB到C,则下列说法:
①点C在线段AB上;②点C在直线AB
上;③点C不在直线AB上;④点C在直线AB的延长线上中正确的有
__________________.(填序号)
3.在右图中共有____条直线,分别是;有_____条线段,分别是
_________;以D点为端点的射线有______条,是;
线段_____、_____和射线_____相交于点B.
4.如图,将甲、乙两个尺子拼在一起,两端重合.如果甲尺经校定
是直的,那么乙尺是直的吗?
为什么?
.
5.如下右图,在自来水主水管道AB的两旁有两个住宅小区C、D,现要在主水管道上开一个接口P往C、D两小区铺设水管,为节约铺设水管的用料,接口P应开在水管AB的什么位置,在图中画出来,并说明依据的数学道理是.
6.在同一平面内,3条直线两两相交,最多有三个交点,则4条直线两两相交,最多有个交点;5条直线两两相交,最多有个交点;2012条直线两两相交,最多有个交点.
8.(2012·盘锦模拟)有下列说法:
①一根拉得很紧的细线就是直线;②直线的一半是射线;③线段AB和线段BA表示同一条线段;④射线AB和射线BA表示同一条射线,其中正确的个数是()
A.3B.2C.1D.0
9.(2011·崇左)在修建崇钦高速公路时,有时需要将弯曲的道路改直,依据是______.
10.(2012·菏泽)已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC使BC=3cm,则线段AC=______.
11.★★★(2012·随州)平面内不同的两点确定一条直线,不同的
三点最多确定三条直线.若平面内不同的n个点最多可确定15条
直线,则n的值为______.
12.如图,下列说法中不能判断点C是线段AB中点的是()
A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=ABD.CB=
AB
13.如图AB=8cm,点C是AB的中点,点D是CB的中点,则AD=____cm.
14.如图所示,点C在线段AB上,线段AC=6cm,BC=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)求线段MN的长度;
(2)根据
(1)的计算和结果,设AC+BC=a,其它条件不变,你能猜想MN的长度吗?
15.如图,B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分,CD=8.
(1)求线段AB、线段BC的长度;
(2)若M是AD中点,求线段AM、线段MC的长度.
16、判断:
(1).射线AO与射线OA是同一条射线。
( )
(2).平面上有三个点.经过每两个点画直线,一定可以画出三条直线。
()
(3).连结两点的线段叫做两点之间的距离。
( )
(4).经过两点的直线有无数条。
()
(5).在直线上取一点可得两条射线,取两点可得四条射线。
()
(6).延长线段AB到C,使AB=AC。
()
(7).AB=BC,则点B是线段AC的中点。
()
17、如果线段AB=5cm,BC=3cm,那么A、C两点间的距离是( )
A.8cmB.2㎝C.4cmD.不能确定
18、如果线段AB=12cm,PA+PB=14cm,那么下面说法正确的是()
A.P点在线段A
B上B.P点
在直线AB上C.
P点在直线AB外
D.P点可能在直线AB上,也可能在直线AB外
19、已知点C是线段AB的中点,AB的长度为10cm,则AC的长度为_________cm
20、已知点A、点B、点C是直线上的三个点,则下图中有_____条线段,有____射线,有_________条直线。
ABC
若一条直线上有
个点(
的自然数),共有条线段,条射线。
21、如右图,直线L上四个点A、B、C、D,则:
AD=BD+=CD+
BC=BD-=AC-
考点二:
角的相关知识点
二-1:
角的概念
例1.下列四个图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形有______个.
例2.
(1)如图以OA为一边的角有哪几个?
请按大小顺序用“<”号连接这些角.
(2)如图中∠AOC=+∠BOC
例3.如图,已知∠AOB,求作:
∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.按要求画图:
作法:
(1)画射线O'A'.
(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA与C,交OB于D.
(3)以点O'为圆心,以OC长为半径画弧,交O'A'于C'.
(4)以点C'为圆心,以CD长为半径圆弧,交前一条弧于D'.
(5)经过点D'画射线O'B'.∠A'O'B'即为所求的角.
问题1作图区
练习:
1.已知∠1=17°18′,∠2=17.18°,∠3=17.3°,则∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列为_____.
2.
如下左图,图中共有_________个小于平角的角.
3.如上右图,①∠AOC等于与的和.
②∠AOB是与的差或与的差;
③如果∠AOC=∠BOD,那么∠AOB与∠COD的大小关系是.
4.如图,三条直线AB,CD,EF相交于O,若∠AOD=3∠FOD,∠AOE=120°,则∠EOC的度数为()
A.30°B.40°C.20°D.15°
(第4题图)(第2题图)(第5题图)
A.4B.3C.2D.1
5.如图,∠AOB=∠COD=90o,∠BOC=7∠BOD,则∠BOD的度数为()
A.10°B.15°C.20°D.25°
6.已知∠AOB=3∠BOC,若∠BOC=30°,则∠AOC等于_____________.
7:
如图共有几条射线?
共有几个角?
分别表示出来?
如果有
条射线,那么共有多少个角?
8.(2012·佛山中考)比较两个角的大小,有以下两种方法(规
则):
①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大;
②构造图形,如果一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大.
对于如图给出的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们
的大小.
注:
构造图形时,作示意图(草图)即可.
二-2:
角度的换算
2).度、分、秒的换算:
,
说明:
①度、分、秒是常用的角的度量单位;
②度、分、秒的进率是60进制.(与时间的单位时、分、秒的换算类似)
例1.
(1).36.33º=______º_______´________".
.
(2)0.75°=______′
(3)78°54′=_______°
(4)1800″= ′=_____°
(5)34.57°=_______度______分______秒
(6)108°2′24″=________度
(7)17°25′和17.25°相等吗?
为什么
例2.8时30分时,钟表的时针与分针的夹角是多少度?
例3.(2012·通辽)4点10分,时针与分针所夹的小于平角的角为()
A.55°B.65°
C.70°D.以上结论都不对
练习:
1.角的度量单位是:
__________________;10=__________‘1’=_____________"
2.
=
3.
4.时间是2:
30时针与分针的夹角是____°,时间是11:
10时针与分针的夹角是____
5.计算:
(1)78°32′-51°47′=____________;
(2)45°37′29″-11°23′26″×3=.
三-3:
角平分线
例1.如图,OC将∠AOB分成相等的两部分,OC就是
∠AOB的角平分线.
∠AOC=∠=
∠,或∠AOB=2∠=2∠.
例2.如图,∠AOB=110°,∠COD=70°,OA平分∠EOC,OB平分
∠DOF,求∠EOF的大小.
例3.(2011·邵阳中考)如图所示,已知O是直线AB上一点,
∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.70°
例4.(2012·通辽中考)4点10分,时针与分针所夹的小于平角的角
为( )
A.55°B.65°
C.70°D.以上结论都不对
.
例5.如图,∠AOB=35°,∠BOC=50°,∠COD=21°,OE平分∠AOD,求∠BOE的度数.
练习:
1、已知
AOB=80o,OC是
AOB的平分线,则
AOC=。
2、把一个平角分成三等份,两旁两个角的角平分线所成的角的度数为。
3、如图,∠AOD=900,OC是∠AOD内的一条射线,OB是∠AOC的平分线,
∠AOB=300。
求:
∠AOC、∠COD的度数。
4.如图,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=50°,∠BOC=10°,
求∠AOD的度数.
四-4:
互余,互补
例1.
(1)如果∠α+∠β=90°那么∠α与∠β;反过来,如果∠α与∠β互余,那么∠α+∠β=;∠α=
(2)如果∠α+∠β=180°那么∠α与∠β;反过来,∠α与∠β互补,那么,∠α+∠β=;∠β=.
例2.如图,如果∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,那么∠2与∠3相等吗?
为什么?
例3.如图:
OC⊥AB,OD⊥OE,垂足均为O,图中互余的角有几对,互补的角有几对?
把它们写出来.
例4:
1)图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系?
2):
图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系?
3).如果∠1=30°,∠2=25°,∠3=35°,那么∠1、∠2、∠3这三个角称为互为余角.()
4).两块直角三角板中∠B=30°,∠E=60°,∠B与∠E互为余角.( )
例5 如图,如果∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为余角,那么∠2与∠3相等吗?
为什么?
3.如图,如果∠α与∠β互为补角,∠α与∠γ互为补角,那么∠β与∠γ相等吗?
为什么?
例4.一个角的补角加上10°后,等于这个角的余角的3倍,求这个角以及它的余角和补角的度数.
练习:
1.如果一个角等于36°,那么它的余角是;它的补角是_____.
2.因为∠1和∠2互余,所以∠2=___-∠1;因为∠1和∠2互补,所以∠1=-∠2.
3.∠α的余角为47°37′57″,则∠α的补角________.
4.下列图形中,
和
互为余角的是()
A.B.C.D.
5、判断
(1)两个互补的角中必有一个是钝角()
(2)两个互余的角都是锐角()
(3)一个角的补角一定比这个角大()
6、若∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°,则∠α与∠γ的关系是()
A、互余B、互补C、相等D、没有关系
7、
(1)75°40′30″的余角是_______(用度分秒表示);补角是_______(用度表示);
(2)、若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3的理由是____________________。
若∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,则∠2=∠4的理由是________________
8.一个角的余角与这个角的补角的和比平角的
多1°,求这个角.
9.已知一个角的余角比这个角的补角的
还小12°,求这个角余角和补角的度数.
10.如下左图,∠AOB=∠COD=90°,则∠BOC与∠AOD有怎样的大小关系?
为什么?
11.如上右图,AB是直线,O是AB上一点,∠AOE和∠FOD都是直角,OB平分∠DOC,则图中与∠DOE互余的角为,与∠DOE互补的角有..
12.1)如图1,∠AOC=900,∠BOD=900,则∠1与∠3的关系是_
____,其理由是______
2).如图2,∠1+∠2=180º,∠3+∠4=180º,若∠1=∠3,则∠2与∠4的关系是_______,其理由是__
13.已知∠α与∠β互为补角,且∠β比∠α大30°,求∠α、∠β的度数.
14、如图l-4-19所示,将书页折过去,使角顶点A落在A′处,BC为折痕,BD
为∠A′BE的平分线,求∠CBD的度数.
二-5:
对顶角
1、一对角,它们的顶点重合,它们的两条边互为反向延长线。
我们把这样的两个角叫做互为对顶角。
其中一个角叫做另一个角的对顶角。
2、对顶角的性质:
对顶角相等。
例1.下列图中,∠1与∠2是对顶角的是()
例2.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,则∠AOF的对顶角是()
A.∠BCDB.∠EOBC.∠COED.∠AOC
例3.
(1)如图2,下列说法中不正确的是()
A.∠1与∠2是对顶角B.∠2与∠3互余C.∠1与∠3互余D.∠3与∠4是对顶角
图3
(2)如图3,直线AB、CD相交于O,∠AOC+∠BOD=210°,则∠BO
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