函数的周期性对称性和图像0309.docx
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函数的周期性对称性和图像0309
一、1.已知定义在R上的函数满足:
对任意,则
A.B.0C.1D.3
2.定义在上的奇函数满足,且在上是减函数,是钝角三角形的两个锐角,则与的大小关系是()
A.B.
C.D.
3.设是周期为2的奇函数,当时,,则等于()
A.B.C.D.
4.设是定义在上的奇函数,且满足,则()
A.0B.1C.2D.3
5.已知函数是上的奇函数,且满足,当时,,则方程解的个数是()
A.10B.9C.8D.7
二、1.定义在上的函数有反函数,若有恒成立,则的值为()
A.0B.2C.-2D.不能确定
2.若函数的图象上存在关于直线对称的不同两点,则称具有性质.已知为常数,函数,,对于命题:
①存在,使得具有性质;②存在,使得具有性质,下列判断正确的是()
A.①和②均为真命题B.①和②均是假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
3.若函数的表达式为,则函数的图象的对称中心为,已知函数,求()
A.-2017B.2017C.-2018D.2018
4.已知M是函数在上的所有零点之和,则M的值为()
A.4B.6C.8D.10
5.定义在上的函数的图象关于直线对称,且函数是偶函数,若当时,则函数在区间上的零点个数为()
A.4032B.4034C.2017D.2018
三、1.函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
2.现有四个函数:
①;②;③;④的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()
A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①
3.函数(实数为常数,且)的图象大致是( )
A.B.
C.D.
4.函数的图象大致是()
A.B.
C.D.
5.函数的图像大致为()
A.B.
C.D.
答案:
一、1.B
【解析】试题分析:
,且,又,,由此可得,,是周期为的函数,,,故选B.
考点:
函数的奇偶性,周期性,对称性,是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称,,则函数关于轴对称,常用结论:
若在上的函数满足,则函数以为周期.本题中,利用此结论可得周期为,进而,需要回到本题利用题干条件赋值即可.
2.B
【解析】由题设可得,所以,即函数是最小正周期为的周期函数;又(否则与题设矛盾),即,所以;又因为,且,所以,则函数在上单调递增,故,应选答案B.
点睛:
解答本题的思路是先探究出函数在区间上是单调递增,进而再搞清楚(否则与题设矛盾),也即,最终得到,然后借助函数在区间上是单调递增,求出,从而使得问题获解.
3.C
【分析】由题意得,代入已知条件进行运算.
【详解】∵是周期为2的奇函数,当时,,
∴.故选:
C
【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值,属于基础题.
4.A
【分析】由函数为R上的奇函数知,由可求及函数周期,即可求解.
【详解】,且是定义在上的奇函数,
,,即函数周期,由函数为R上的奇函数知,,,,
故,故选:
A
【点睛】本题考查函数值的求法,涉及函数奇偶性,周期性,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
5.D
【分析】根据方程根的个数等价于图象交点个数,采用数形结合可得结果.
【详解】由,所以,可知函数的周期为4,又函数是上的奇函数,所以——且,对称轴为,方程根的个数等价于图象交点个数
如图
可知共有7个交点。
故选:
D
【点睛】本题考查函数与方程的应用,属中档题.
二、1.A
【分析】由已知可得图像关于,可得关于对称,根据对称性,即可求解.
【详解】定义在上的函数有恒成立,
图像关于对称,关于对称,
.故选:
A,
【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系,利用对称性求函数值,解题的关键要掌握对称性的代数式表示,属于中档题.
2.B
【分析】通过函数的图象与位置关系,可得出是否具有性质,对于函数,设通过求解方程,判断方程是否存在的解,即可得出结论.
【详解】,,定义域为,
当恒成立,
第一象限图象恒在直线上方,
因此不存在不同的两点关于图像对称,
因为是奇函数,由图象的对称性,
不存在不同的两点关于图像对称,
所以不具有性质;
是奇函数,只需判断时,是否具有性质即可,
设,令,
,当时,方程无解,
当,(舍去负值),
此时,以方程的解为坐标的点在上,
即方程不存在的解,所以不满足题意中存在不同的两点.
所以不具有性质.故选:
B.
【点睛】本题以新定义为背景,考查函数的性质,解决问题可通过几何方法转化为函数的图象特征,或代数方法转化为方程零点问题,属于较难题.
3.C
【分析】由所给函数性质可得关于成中心对称,即可求出函数值.
【详解】关于成中心对称,
又,
,故选:
C
【点睛】本题主要考查了函数中心对称的性质,分组求和的方法,属于中档题.
4.D
【分析】将函数的零点,转化为两个函数的图象的交点的横坐标,利用函数的对称性求解.
【详解】令
得
在同一坐标系中,分别作出函数的图象.
由图可知:
在上的所有零点有10个,关于对称,所以所有零点之和M=10。
故选:
D
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.
5.A
【分析】根据函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为2的偶函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案.
【详解】因为函数的图象关于直线对称,函数的图象是由函数的图象向右平移两个单位长度得到的,
所以函数的图象关于直线对称,所以函数是偶函数,所以.
因为函数是偶函数,所以,所以,所以函数是周期为2的偶函数.
由时,可作出与的图象如图所示,
可知每个周期内有2个交点,所以函数在区间上的零点个数为.故选:
A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性,考查了函数的零点,考查了数形结合思想,属于中档题.
三、1.C
【分析】对进行分类讨论,结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换,即可得出答案.
【详解】①当时,函数可以看做函数的图象向下平移个单位,由于,则A错误;
又时,,则函数过点,故B错误;
②当时,函数可以看做函数的图象向下平移个单位,由于,则D错误;
又时,,则函数过点,故C正确;故选:
C
【点睛】本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换,属于基础题.
2.A
【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号,判断函数的图象特征,即可得到.
【详解】解:
①为偶函数,它的图象关于轴对称,故第一个图象即是;
②为奇函数,它的图象关于原点对称,它在上的值为正数,
在上的值为负数,故第三个图象满足;
③为奇函数,当时,,故第四个图象满足;
④,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第二个图象满足,故选A.
【点睛】本题主要考查函数的图象,函数的奇偶性、函数的值的符号,属于中档题.
3.B
【分析】先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C,
函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,
当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D,故选B.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
4.C
【解析】去掉A,B;所以选C.
5.A
【详解】函数y=e|x|⋅sinx,函数是奇函数,图象关于原点对称,排除B.C,
当x∈(0,π),函数y=e|x|⋅sinx>0,函数的图象在第一象限,排除D,
本题选择A选项.
点睛:
函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
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- 函数 周期性 对称性 图像 0309