高三数学第一轮复习教案第一章集合与简易逻辑课时.docx

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高三数学第一轮复习教案第一章集合与简易逻辑课时

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第一章集合与简易逻辑

第1课时集合的概念

一．课题：

集合的概念

二．教学目标：

理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．

三．教学重点：

集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．

（二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

（三）例题分析：

例1．已知集合，，，，，则（）

解法要点：

弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

例2．设集合，，若，求的值及集合、．

解：

∵且，∴．

（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；

（2）若，则或．

当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；

当时，，，

由得①或②

由①得，由②得，

∴或，此时．

例3．设集合，，则（）

解法一：

通分；

解法二：

从开始，在数轴上表示．

例4．若集合

，集合，且，求实数的取值范围．

解：

（1）若，则，解得；

（2）若，则，解得，此时，适合题意；

（3）若，则，解得，此时，不合题意；

综上所述，实数的取值范围为．

例5．设，，，

（1）求证：

；

（2）如果，求．

解答见《高考计划（教师用书）》第5页．

（四）巩固练习：

1．已知，，若，则适合条件的实数的集合为；的子集有8个；的非空真子集有6个．

2．已知：

，，则实数、的值分别为．

3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为75，最小值为55．

4．设数集，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是．

五．课后作业：

《高考计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．

第2课时集合的运算

一．课题：

集合的运算

二．教学目标：

理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．

三．教学重点：

交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．交集、并集、全集、补集的概念；

2．，；

3．，．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

（三）例题分析：

例1．设全集，若，，，则，．

解法要点：

利用文氏图．

例2．已知集合，，若，，求实数、的值．

解：

由得，∴或，

∴，又∵，且，

∴，∴和是方程的根，

由韦达定理得：

，∴．

说明：

区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．

例3．已知集合，，则；

；（参见《高考计划》考点2“智能训练”第6题）．

解法要点：

作图．

注意：

化简，．

例4．（《高考计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合

，

，若，求实数的取值范围．

解答见教师用书第9页．

例5．（《高考计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合

，

，若，求实数的取值范围．

分析：

本题的几何背景是：

抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．

解法一：

由得①

∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，

首先，由，解得：

或．

设方程①的两个根为、，

（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；

（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，

故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，

综上所述，实数的取值范围为．

解法二：

问题等价于方程组在上有解，

即在上有解，

令，则由知抛物线过点，

∴抛物线在上与轴有交点等价于　①　

或②

由①得，由②得，

∴实数的取值范围为．

（四）巩固练习：

1．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（D）

①，②，③，④，

个个个个

2．集合，，若为单元素集，实数的取值范围为．

五．课后作业：

《高考计划》考点2，智能训练3，7，10，11，12，13．

第3课时含绝对值的不等式的解法

一．课题：

含绝对值的不等式的解法

二．教学目标：

掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．

三．教学重点：

解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．绝对值的几何意义：

是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离

2．当时，或，

；

当时，，．

（二）主要方法：

1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

2．去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：

，或．

（2）定义法：

零点分段法；

（3）平方法：

不等式两边都是非负时，两边同时平方．

（三）例题分析：

例1．解下列不等式：

（1）；

（2）；（3）．

解：

（1）原不等式可化为或，∴原不等式解集为．

（2）原不等式可化为，即，∴原不等式解集为．

（3）当时，原不等式可化为，∴，此时；

当时，原不等式可化为，∴，此时；

当时，原不等式可化为，∴，此时．

综上可得：

原不等式的解集为．

例2．

（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；

（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是．

解：

（1）可由绝对值的几何意义或的图象或者绝对值不等式的性质

得，∴；

（2）与

（1）同理可得，∴．

例3．（《高考计划》考点3“智能训练第13题”）设，解关于的不等式：

．

解：

原不等式可化为或，即①或②，

当时，由①得，∴此时，原不等式解为：

或；

当时，由①得，∴此时，原不等式解为：

；

当时，由①得，∴此时，原不等式解为：

．

综上可得，当时，原不等式解集为，

当时，原不等式解集为．

例4．已知，，且，求实数的取值范围．

解：

当时，，此时满足题意；

当时，

，∵，

∴，

综上可得，的取值范围为．

例5．（《高考计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有货物，二号仓库存，五号仓库存，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输需要元运输费，那么最少要多少运费才行？

解：

以一号仓库为原点建立坐标轴，

则五个点坐标分别为

，

设货物集中于点，则所花的运费

，

当时，，此时，当时，；

当时，，此时，；

当时，，此时，当时，．

综上可得，当时，，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为元．

（四）巩固练习：

1．的解集是；的解集是；

2．不等式成立的充要条件是；

3．若关于的不等式的解集不是空集，则；

4．不等式成立，则．

五．课后作业：

《高考计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．

第4课时一元二次不等式的解法

一．课题：

一元二次不等式的解法

二．教学目标：

掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．

三．教学重点：

利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；

2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；

3．高次不等式要注重对重因式的处理．

（二）主要方法：

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：

大于时两根之外，小于时两根之间；

2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；

3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

（三）例题分析：

例1．解下列不等式：

（1）；

（2）；（3）．

解：

（1）；

（2）；

（3）原不等式可化为

．

例2．已知，，

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的取值范围．

解：

，

当时，；当时，；当时，．

（1）若，则；

（2）若，

当时，满足题意；当时，，此时；当时，不合题意．

所以，的取值范围为．

例3．已知，

（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；

（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围．

解：

（1）

；

（2）或或，

解得或或，∴的取值范围为．

例4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为．

解法一：

∵即的解集为，

∴不妨假设，则即为，解得．

解法二：

由题意：

，

∴可化为即，解得．

例5．（《高考计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数的图象过点，问是否存在常数，使不等式对一切都成立？

解：

假设存在常数满足题意，

∵的图象过点，∴①

又∵不等式对一切都成立，

∴当时，，即，∴②

由①②可得：

，∴，

由对一切都成立得：

恒成立，

∴的解集为，

∴且，即且，

∴，∴，

∴存在常数使不等式对一切都成立．

（四）巩固练习：

1．若不等式对一切成立，则的取值范围是．

2．若关于的方程有一正根和一负根，则．

3．关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围为．

4．不等式的解集为．

五．课后作业：

《高考计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．

第5课时简易逻辑

一．课题：

简易逻辑

二．教学目标：

了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．

三．教学重点：

复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；

2．由真值表判断复合命题的真假；

3．四种命题间的关系．

（二）主要方法：

1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；

4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．

（三）例题分析：

例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：

（1）菱形对角线相互垂直平分．

（2）“”

解：

（1）这个命题是“且”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分，

∵为真命题，也是真命题∴且为真命题．

（2）这个命题是“或”形式，；，

∵为真命题，是假命题∴或为真命题．

注：

判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．

例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．

解：

否命题为：

若，则不全为零

逆命题：

若全为零，则

逆否命题：

若不全为零，则

注：

写四种命题时应先分清题设和结论．

例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？

证明你的结论．

解：

方法一：

原命题是真命题，

∵，∴，

因而方程有实根，故原命题“若，则有实根”是真命题；

又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．

方法二：

原命题“若，则有实根”的逆否命题是“若无实根，则”．∵无实根

∴即，故原命题的逆否命题是真命题．

例4．（考点6智能训练14题）已知命题：

方程有两个不相等的实负根，命题：

方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

分析：

先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．

解：

由命题可以得到：

∴

由命题可以得到：

∴

∵或为真，且为假∴有且仅有一个为真

当为真，为假时，

当为假，为真时，

所以，的取值范围为或．

例5．（《高考A计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：

至多有一个实根．

解：

假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，

由方程的定义可知：

即①

由已知时，有这与式①矛盾

因此假设不能成立

故原命题成立．

注：

反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

例6．（《高考A计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：

若整数系数一元二次方程：

有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）

A.假设都是偶数B.假设都不是偶数

C.假设至多有一个是偶数D.假设至多有两个是偶数

（四）巩固练习：

1．命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（）

A．若不正确，则不正确B.若不正确，则正确

C.若正确，则不正确D.若正确，则正确

2．“若，则没有实根”，其否命题是（）

A.若，则没有实根B.若，则有实根

C.若，则有实根D.若，则没有实根

五．课后作业：

《高考计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．

第6课时充要条件

一．课题：

充要条件

二．教学目标：

掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．

三．教学重点：

充要条件关系的判定．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．充要条件的概念及关系的判定；

2．充要条件关系的证明．

（二）主要方法：

1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；

2．判断是否正确的本质是判断命题“若，则”的真假；

3．判断充要条件关系的三种方法：

①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．

4．说明不充分或不必要时，常构造反例．

（三）例题分析：

例1．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在中，，

（2）对于实数，，或

（3）在中，，

（4）已知，，

解：

（1）在中，有正弦定理知道：

∴又由

所以，即是的的充要条件．

（2）因为命题“若且，则”是真命题，故，

命题“若，则且”是假命题，故不能推出，

所以是的充分不必要条件．

（3）取，不能推导出；取，不能推导出

所以，是的既不充分也不必要条件．

（4）因为，或，，

所以，是的充分非必要条件．

例2．设，则是的（）、是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：

由图形可以知道选择B，D．（图略）

例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：

因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，

因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B．

例4．设，求证：

成立的充要条件是．

证明：

充分性：

如果，那么，①②③于是

如果即或，

当时，，

当时，

，

总之，当时，．

必要性：

由及

得即

得所以故必要性成立，

综上，原命题成立．

例5．已知数列的通项，为了使不等式对任意恒成立的充要条件．

解：

∵

，

则，

欲使得题设中的不等式对任意恒成立，

只须的最小项即可，

又因为，

即只须且

，

解得，

即，

解得实数应满足的关系为且．

例6．

（1）是否存在实数，使得是的充分条件？

（2）是否存在实数，使得是的必要条件？

解：

欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，

故存在实数时，使是的充分条件．

（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，

故不存在实数时，使是的必要条件．

（四）巩固练习：

1．若非空集合，则“或”是“”的条件．

2．是的条件．

3．直线和平面，的一个充分条件是（）

A.B.

C.D.

五．课后作业：

《高考计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．