博弈论与信息经济学部分课后习题答案.doc
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博弈论与信息经济学部分课后习题答案.doc
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解:
(1)成为先行者意味着3点:
1.企业可以赚取比古诺状态下更多的利润,否则没有动机成为先行者;2.追随企业没有办法威胁先行企业,即选取产量使己方产量为正,它方产量为负3.如果另一企业成为先行者,该企业可以成功威胁另一企业
先求古诺均衡:
因此为满足条件1,对于任何先行动者来说,必须有(否则追随者可以选取产量,使价格等于古诺价格,此时先行者利润低于古诺均衡时情况)
a.如果企业2成为领导者,观察企业1能否采取威胁战略使己方利益为正,对方利益为负:
即:
对于企业2的任何产量先行决策,只要企业1威胁其产量将满足上式,则企业2将不敢先行动
若,与先行动者的矛盾。
因此企业2不会是先行者
b.考虑企业1能否成为先行者,由a已经知道企业1可以成功在企业1先行时成功威胁企业2。
故只需考虑如果企业1先行,企业2能否威胁企业1
当企业1先行动时,企业2决策
企业1决策:
因此企业1的产量决策范围为
而企业2要惩罚企业1为领导者必须满足
这与矛盾。
c.综合a,b,可知故在斯塔格伯格模型中,只可能企业1成为领导者,企业2成为跟随者。
(2)企业1先行动时,
企业2先行动时,
两企业同时行动时,
博弈的支付矩阵为
企业2
企业1
可见对任何企业,先行动均为占优策略。
考虑只进行一期的博弈,即时企业1进行威胁,企业2会了解到企业1的威胁策略不是最优的,故威胁无效。
市场的最后结局为古诺均衡,企业1生产80,企业2生产30。
如果只进行有限期的博弈,则在最后一期,由于双方预期到对方都会采取最优策略,必然进行古诺竞争。
依此类推,倒数第2,3,4……期,双方也会进行古诺竞争。
即市场结局为古诺均衡。
(1)中的Stackelberg只在一种情况下成立,即博弈有无限期。
此时企业1如果使用威胁策略将企业2排除在外,虽然在短期之内不是最优的,但是在长期可能是最优的。
故企业2可能被胁迫成为追随者。
市场结局是Stackelberg均衡。
3.对某商品,市场需求曲线为p=100-2Q,生产该产品的任何厂商的总成本函数为TC(q)=4q.
(1)假设市场上有两个古诺厂商A,B,这两个厂商的反应线分别是什么?
求解古诺均衡时的产量。
(2)假设市场上有两个厂商,一个是领导者A,一个是追随者B,求解斯坦克尔博格均衡。
4.斯密与约翰玩数字游戏。
每一个人选择1、2或者3。
如果数字相同,约翰支付给斯密3美元。
如果数字不同,斯密支付给约翰1美元。
(1)描述这个对策的报酬矩阵,并且证明没有纳什均衡策略组合。
(2)如果每一个局中人以1/3的概率选择每一个数字,证明这个对策的混合策略确实有一纳什均衡。
这个对策的值是什么?
6.模型化下述划拳博弈:
两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有四个纯战略:
杆子,老虎,鸡和虫子。
输赢规则是:
杆子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。
两个人同时出令。
如果一个打败另一个,赢者的效用为1,输者的效用为-1;否则,效用均为。
写出这个博弈的收益矩阵。
这个博弈有纯策略纳什均衡吗?
计算出混合策略纳什均衡。
解:
模型化结果如下.元素为,其中Ui为参与者i的在给定策略组合下的效用水平.
如果有的话,哪些结果是纳什均衡.
答:
(高,低),(低,高),对应结果分别为(100,800),(900,600).
如何各企业的经营者都是保守的,并都采用最大最小化策略,结果如何?
答:
均衡为(高,高),结果为(50,50).
合作的结果是什么?
答:
均衡为(低,高),结果为(900,600).
哪个厂商从合作的结果中得好处最多?
那个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处?
答:
厂商1得好处最多.应该给200.[这个问根据不同的标准,应有不同的答案.]
答:
只有一个均衡,即纯策略均衡(D,R).考虑混合策略均衡,设B选择L、M、R的概率分别为a、b、c,使A对各个纯策略无差异,它们需要满足a+b+c=1,a−2b=−2a+b=c,且1≥a,b,c≥0
但由前两个条件解得唯一解a=b=1,c=−1,但该解不满足最后一个不等式条件.所以该博弈不存在混合策略纳什均衡.
答:
没有占优解.纯策略纳什均衡解为(M,L),(T,R).
10.你是一个相同产品的双寡头厂商之一,你和你的竞争者生产的边际成本都是零。
而市场的需求函数是p=30-Q
(1)设你们只有一次博弈,而且必须同时宣布产量,你会选择生产多少?
你期望的利润是多少?
为什么?
(2)若你必须先宣布你的产量,你会生产多少?
你认为你的竞争者会生产多少?
你预计你的利润是多少?
先宣布时一种优势还是劣势?
为了得到先宣布或者后宣布的选择权,你愿意付出多少?
(3)现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次,每次都同时宣布产量,你想要你十次利润的总和(不考虑贴现)最大化,在第一次你将生产多少?
你期望第十次生产多少?
第九次呢?
为什么?
1答:
我的产量为古诺解.解古诺均衡得到,q=10,利润为100.因为,一次产量竞争,各方均按照预期对方产量来确定利润最大化产量,在均衡中意味着预期与实际产量相等.所以预期产量应为古诺均衡解.
2答:
先宣布产量等同于在Stackelberg竞争中作为领先者.这时,我的最优产量为15,
预期利润为112.5.而此时对方产量为7.5,预期利润为56.25.与同时宣布和后宣布
相比,先宣布为一种优势.[与古诺解相比,这只是一种角度.]我愿意付出12.5.
3答:
第一次仍将生产10,而第十次,第九次仍然生产10.按反向归纳法,考虑第十
次博弈,子博弈纳什均衡要求该次博弈必然为纳什均衡,即古诺均衡.由于第九次博
弈的结果对第十次没有影响,因此第九次的均衡也是古诺均衡.[同理可得在十次博弈
中任一次的均衡皆古诺均衡.]
11.考虑下图所示的房地产开发博弈的扩展型表述:
(1)写出这个博弈的策略式表述。
(2)求出纯策略纳什均衡。
(3)求出子博弈完美纳什均衡。
1写出这个博弈的策略式表述.
A
开发不开发
B开发(-3,-3)(1,0)
不开发(0,1)(0,0)
2求出纯策略纳什均衡.
在策略式表述的收益矩阵里,将给定对方策略,本方占优策略所对应收益以下划线表示.由此可得该博弈的纯策略纳什均衡为(开发,不开发),(不开发,开发).
3求出子博弈完美纳什均衡.
用反向归纳法.当A选择开发,B将选择不开发,因为这样B的收益0大于开发的收益-3,这样A选择开发的收益为1.同理可得A选择不开发收益为0.因此,A会选择开发.(用箭头表示在给定结点行动者的最优策略.)可得到子博弈纳什均衡(开发,不开发)
12.两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率,可选择较好的节目放在前面还是后面。
他们决策的不同组合导致收视率如下:
(1)如果两家同时决策,有纳什均衡吗?
(2)如果双方采用规避风险的策略,均衡的结果是什么?
(3)如果电视台1先选择,结果是什么?
若电视台2先选择呢?
(4)如果两家谈判合作,电视台1许诺将好节目放在后面,这许诺可信吗?
结果可能是什么?
1如果两家是同时决策,有纳什均衡吗?
答:
有,是(后面,前面)
2如果双方采用规避风险的策略,均衡的结果是什么?
答:
毋需规避风险.
3如果电视台1先选择,结果有什么?
若电视台2先选择呢?
答:
如第1题,按反向归纳法解.若1先选择,结果为(23,20);若2先选择,结果为(23,20).
4如果两家谈判合作,电视台1许诺将好节目放在前面,这许诺可信吗?
结果可能是什么?
答:
不可信.因为该博弈只有一个纳什均衡,在该均衡中1选择将好节目放后面.
13.X公司垄断了震动充水床垫的生产。
这种床垫的生产是相对缺乏弹性的——当价格为每床1000元时,销售25000床;当价格为每床600元,销售30000床。
生产充水床垫的惟一成本是最初的建厂成本。
X公司已经投资建设生产能力达到25000床的工厂,滞留成本与定价决策无关。
(1)假设进入这个行业能够保证得到一半市场,但是要投资10000000元建厂。
构造X公司策略(p=1000或者p=600)反对进入策略(进入或者不进入)的报酬矩阵。
这个对策有纳什均衡吗?
(2)假设X公司投资5000000元将现有工厂的生产能力扩大到生产40000床充水床垫。
阻止竞争对手的进入是有利可图的策略吗?
(将答案中的WET改为X)
14.下表给出了一个两人的同时博弈,若这个同时博弈进行两次,第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下进行的,并且不存在贴现因子。
收益(4,4)能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗?
如果它能够,给出策略组合;如果不能够,请说明为什么不能?
解:
若该博弈为一次博弈,有两个纯策略纳什均衡(T,L),(M,C),和一个混合策略纳什均衡((0.5,0.5,0),(0.5,0.5,0)).三个均衡分别对应结果(3,1),(1,2)和(1.5,1.5).之所以(4,4)能在纯策略的子博弈完美纳什均衡中作为第一次博弈的结果,是其中一方都可以威胁对方,如果对方不在第一次博弈时选择(4,4)所对应的行动,第二次博弈时将采取最小化对方最大化收益的行动,如果对方在第一次选择了(4,4)所对应的行动,第二次博弈时将采取最大化对方最大化收益的行动.并且给定对方的行动,威胁者无动力改变自己的策略.
游戏者2最小化对方最大化收益的行动是C.那么,参与者2试图引导结果(4,4)的策略为:
第一次选择R.如果第一次1没有选择R,那么第二次选择C;如果第一次2选择R,
1将选择L.
用反向归纳法.第二次博弈必然是纳什均衡,(T,L)或(M,C).考虑第一次博弈,给定2选择R,1如果选择T,那么两时期的收益现值为6,如果选择B,该现值为7.因此,1在第一次博弈中会选择B.综上,给定2的策略,1的可能策略之一是,第一次选择B,第二次选择T.
然后考虑给定1的这个策略,2是否有动力偏移自己的策略.第二期的选择必然是纳什均衡,无动力偏移.而在第一次博弈中,给定1选择B,2必然选择R.因此2没有动力偏移自己的策略.
因此(4,4)能够作为第一次博弈的结果.其均衡策略组合为参与者1:
第一次选择B,第二次选择T.
参与者2:
第一次选择R.如果第一次1没有选择R,那么第二次选择C;如果第一次2选择R,1将选择L.
注:
事实上,只要1的策略满足“第一次选择B,然后如果2第一次选择R,第二次就选择M”就可以了.进一步地,1非均衡路径上的行动不影响结果.因为,第二次选择的行动必然是一次博弈中的纳什均衡;同时,1无法也没有必要威胁2第一次要选择R(无法:
我们的均衡路径上,给定第一次博弈结果,2的均衡收益已经最小化;没有必要:
R是2在第一次博弈中,给定1选择B的占优行动).
15.假定有几位企业家,每位企业家都有一个投资项目。
每个项目的回报R,是服从于[a,b]上的均匀分布的,这里a=100,b=150。
每个项目的成本为100,而所有的企业家都没有自由资金。
若
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