七年级数学下册培优新帮手专题28纵观全局试题新版新人教版.docx
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七年级数学下册培优新帮手专题28纵观全局试题新版新人教版
28 纵观全局——整体思想
阅读与思考
解数学问题时,人们习惯了把它分成若干个较为简单的为,然后在分而治之,各个击破。
与分解、分部处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,有整体入手,突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑,从整体上把握问题的内容和解题方向的策略,往往能找到简捷的解题方法,解题中运用整体思想解题的具体途径主要有:
1.整体观察
2.整体设元
3.整体代入
4.整体求和
5.整体求积
注:
既看局部,又看整体;既见“树木”,又见“森林”,两者互用,这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法.
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入,其中年收入最高的只有一户,是38000元。
由于将这个数据输入错了,所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元,则输入计算机的那个错误数据是.
(北京市竞赛题)
解题思路:
有1000个未知量,而等式只有两个,显然不能分布求出每个未知量,不妨从整体消元.
注:
有些问题要达到求解的目的,需要设几个未知数,但在解答的过程中,这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用,因此可“设而不求”,通过整体考虑,直接获得问题的答案.
【例2】设是不全相等的任意数,若错误!
未找到引用源。
,则()
(全国初中数学联赛试题)
A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零
解题思路:
由于的任意性,若孤立地考虑,则很难把握的正负性,应该考虑整体求出的值.
【例3】如果a满足等式错误!
未找到引用源。
,试求错误!
未找到引用源。
的值.
(天津市竞赛题)
解题思路:
不能直接求出的值,可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系,然后把条件等式整体代入求值.
注:
整体思想在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现.
【例4】已知错误!
未找到引用源。
,代数式错误!
未找到引用源。
,求当错误!
未找到引用源。
时,代数式错误!
未找到引用源。
的值.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路:
的值无法求出,将给定的值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系,整体代入求值.
【例5】已知实数满足方程组.
求的值.错误!
未找到引用源。
(上海市竞赛题)
解题思路:
将上述六个式子看成整体,通过⑥-⑤,④-③,②-①分别得到错误!
未找到引用源。
.
【例6】如图,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内,使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M,求M得最小值并完成你的填图.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)\
解题思路:
解答此题的关键是根据题意得出错误!
未找到引用源。
,这是本题的突破口.
注:
在解答有同一结构的问题时,可将这一相同结构看作一个整体,用一个字母代换,以此达到体现式子结构的特点,化繁为简的目的.
能力训练
1.已知密码:
3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字,将这个密码翻译成式子是
2.若a,b,c的值满足错误!
未找到引用源。
,则错误!
未找到引用源。
(“城市杯”竞赛试题)
3.角中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算错误!
未找到引用源。
的值时,全班得到23.5°,24.5°,25.5°这样三个不同结果,其中确有正确的答案,则正确的答案是
4.如果,那么=
(“希望杯”邀请赛试题)
5.已知都是正数,设,,那么与的大小关系是
.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
6.若方程组有解,则
(湖北省武汉市选拔赛试题)
7.若正数满足不等式,则的大小关系是()
A.B.C.D.
8.若,则的值是()
A.B.C.D.
9.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60,那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是()
A.B.C.D.
10.设,满足等式,则中至少有一个值()
A.B.C.D.
(全国初中数学联赛试题)
11.
12.有一个四位数,把它从中间分成两半,得到前、后两个两位数,将前面的两位数的末尾添一个零,然后加上前后两个两位数的乘积,恰好等于原来的四位数,又知道原数的个位数字为5,试求这个四位数.
(江苏省竞赛试题)
13.代数式中,可以分别取+1或-1.
(1)证明代数式的值都是偶数.
(2)求这个代数式所能取到的最大值.
(“华罗庚金杯”竞赛试题)
14.如图,在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6,能否使任意三个相邻顶点处的三数之和
(1)大于9?
(2)大于10?
若能,请在图中标出来;若不能,请说明理由.
(江苏省竞赛试题)
28纵观全局
——整体思想
例1380000提示:
设a1,a2,a3,…,a999,al000分别为所统计的1000户居民的年收入,又设他们的平均值是A,误输入计算机的数据为a',由题意得
例2D提示:
x+y+z=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].
例3原式=
例4将x=2,y=-4代入ax3+by+5=1997中,得
8a-2b+5=1997.故4a-b=996.
当x=-4,y=-时,3ax-24by3+4986=3a·(-4)-24b·(-)3+4986
=-12a+3b+4986=-3(4a-b)+4986=-3×996+4986=1998.
例5②-①得b-a=20;④-③得d-c=80;⑥-⑤得f-e=320.
故,f-e+d-c+b-a=320+80+20=420.
例6设满足已知条件填好的数依次为a1,a2,…,a10,则
a1+a2+a3+a4+a5≤M,
a2+a3+a4+a5+a6≤M,
…
a10+a1+a2+a3+a4≤M.
所以5(a1+a2+…+a10)≤10M,
即≤10M,解得M≥27.5.
而M为整数,故M的最小值为28.将1,2,…,10分成如下的两组10,7,6,3,2,9,8,5,4,1.依次填入图中,
【能力训练】
1.3·571428=4·428571
2.-10提示:
由题意有,
即.则9a+2b+7c=2(3a-2b+c)+3
(a+2b-3c)=2×4+3×(-6)=-10.
3.23.5°
4.18x4+7x3+8x2-13x+15=x2(x2+2x)+5x(x2+2x)-2(x2+2x)-9x+15=
3x2+15x-6-9x+15=3(x2+2x)+9=3×3+9=18.
5.>提示:
设x=a1+a2+…+a1990,y=a2+a3+…+a1990,求M-N.
6.-1提示:
将3个方程组相加得(a+b+1)(x2+x+l)=0,
而x2+x+1=>0,故a+b+1=0.
7.B8.B9.A10.A
11.
(1)原式===
(由a+b+c=0,得b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c)=-1+(-1)+(-1)+3=0
(2)由得,即.同理,.
三式相加得2()=48,故=24.则=.
12.设前、后两个二位数分别为m,n,则根据题意有:
10m+mn=100m+n,
m=,由m>0,n>0,得n-90>0,又n是两位数,且个位数字为5,因此n=95,从而知m=19,故所求四位数为1995.
13.
(1)略.
(2)在rvz,-rwy,-suz,swx,tuy,-tvx这六项相乘得,-=-1,所以这六项中,至少有一项是-1,这样六项之和之多是5-1=4.在u,x,y为-1,其他字母为1时,原式的最大值为4.
14.
(1)能.
(2)不能.提示:
设所填的6个数顺序为a,b,c,d,e,f,它们任意相邻三数和大于10,即a+b+c≥11,b+c+d≥11,c+d+e≥11,d+e+f≥11,e+f+a≥11,f+a+b≥11,则3(a+b+c+d+e+f)≥66,故a+b+c+d+e+f≥.而1+2+3+4+5+6=21,所以不能使每三个相邻的数之和都大于10.
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