小学奥数之牛吃草问题含答案解析.docx

小学奥数之牛吃草问题含答案解析.docx

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小学奥数之牛吃草问题含答案解析

“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。

”

英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

　　解题关键：

　　牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：

　　1、求出每天长草量； 

　　2、求出牧场原有草量； 

　　3、求出每天实际消耗原有草量

　　4、最后求出可吃天数 

　　想：

这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。

　　解：

新长出的草供几头牛吃1天：

　　（10×22-16×1O）÷（22-1O） 

　　=（220-160）÷12 

　　=60÷12 

　　=5（头） 

　　这片草供25头牛吃的天数：

　　（10-5）×22÷（25-5） 

　　=5×22÷20 

　　=5.5（天） 

　　答：

供25头牛可以吃5.5天。

---------------------------------------------------------------- 

“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？

”这道题太简单了，一下就可求出：

3×10÷6＝5（天）。

如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。

例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问：

可供25头牛吃几天？

　　分析与解：

这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。

总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。

下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。

　　设1头牛一天吃的草为1份。

那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。

前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。

　　200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 

　　说明牧场10天长草50份，1天长草5份。

也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。

由此得出，牧场上原有草 

　　（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。

　　现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。

当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。

　　所以，这片草地可供25头牛吃5天。

　　在例1的解法中要注意三点：

（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。

（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。

　　（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

 例1      小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。

如果小军家养了24头牛，可以吃几天？

草速：

（10×20－12×15）÷（20－15）=4  

老草（路程差）：

 根据：

路程差=速度差×追及时间

                                     （10－4）×20=120  或 （12－4）×15=120  

追及时间=路程差÷速度差：

           120÷（24－4）=6（天）

 例2    一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。

假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？

草速：

（50×9－58×7）÷（9－7）=22

老草（路程差）：

 （50－22）×9=252    或 （58－22）×7=252    

求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速      252÷6＋22=64（头）

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

　　分析与解：

与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。

但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

　　设1头牛1天吃的草为1份。

20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。

由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草

　　（20＋10）×5＝150（份）。

　　由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。

例4一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。

先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。

如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。

那么出水管比进水管晚开多少分钟？

分析：

虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草” 

进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。

　　出水管所排出的水可以分为两部分：

一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。

因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

　　设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。

两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 

（16-15）/3=1/3（份） 

假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:

（2-1/3）×8=40/3（份）或（3-1/3）×5=40/3（份） 

解:

设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量（2×8-3×5）/（8-5）=1/3（份） 

进水管提前开了（2-1/3）×8÷1/3=40（分） 

答：

出水管比进水管晚开40分钟。

 例5 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.

　　解：

本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：

　　4a-b=6a-3b，即a=b.

　　这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.

　　再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得

　　（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

　　化简，得 2ax-2a=15a，

　　即 2xa=17a.（a≠0）

　　所以x=8.5

　　因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

　　注意：

x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

    以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.

    把进水管看成"牛",排水管看成"草",满池水就是“老草”

排水管速：

（2×15－4×5）÷（15－5）=1

满池水（路程差）：

 （2－1）×15=15   或 （4－1）×5=15   

几个进水管：

15÷2＋1=8.5（个）

    我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程问题的解法来做呢？

之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！

    当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1个排水管的效率就是1/5。

  当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。

    两者之间差了（4－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是：

     （1/5－1/15）÷（4－2）=1/15

     1个排水管的效率是：

     4×1/15－1/5=1/15 或者    2×1/15－1/15=1/15 

    现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

      （1/2＋1/15）÷1/15=8.5（个） 

例6自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级？

分析：

与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。

　　上楼的速度可以分为两部分：

一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

男孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。

由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 

　　（20＋10）×5＝150（级）。

　　解：

自动扶梯每分钟走 

　　（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 

　　自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。

　　答：

扶梯共有150级。

例7某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

　　旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

　　设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客 

　　（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

　假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为 

　　（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

　　同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要 

　　60÷（7-2）=12（分）。

例8有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

　　分析与解：

例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。

为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。

　　［5，6，8］＝120。

　　因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。

　　因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。

　　120÷8＝15，问题变为：

120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？

　　因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

　　“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？

” 

　　这与例1完全一样。

设1头牛1天吃的草为1份。

每天新长出的草有 

　　（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。

草地原有草（264—180）×10＝840（份）。

可供285头牛吃 

　　840÷（285—180）＝8（天）。

　　所以，第三块草地可供19头牛吃8天。

例9牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？

　　分析：

这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加．但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来．我们可以先画线段图（如图5—1）．

　　从上面图对比可以看出，18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相当于4周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量．有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了．

　　解：

设1头牛吃一周的草量的为一份．

（1）24头牛吃6周的草量

　　24×6=144（份）

（2）18头牛吃10周的草量

　　18×10=180（份）

　　（3）（10-6）周新长的草量

　　180-144=36（份）

　　（4）每周新长的草量

　　36÷（10-6）=9（份）

　　（5）原有草量

　　24×6-9×6=90（份）

　　或18×10-9×10=90（份）

　　（6）全部牧草吃完所用时间

　　不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有

　　90÷（19-9）=9（周）

　　答：

供19头牛吃9周．

例1020匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？

　　分析：

同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．

　　设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决．

　　解：

（1）每公顷每天新长的草量

　　（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）

　　=0.5（份）

（2）每公顷原有草量

　　20×72÷32-0.5×72=9（份）

　　或16×54÷24-0.5×54=9（份）

　　（3）40公顷原有草量

　　9×40=360（份）

　　（4）40公顷36天新长的草量

　　0.5×36×40=720（份）

　　（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数

　　（360+720）÷36=30（匹）

　　答：

30匹马36天可吃完40公顷的牧草．

例11有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米，中车速每小时39．6千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？

　　分析根据题意先画出线段图，如图5—2．

　　从图5—2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be．ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd，路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度．be表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了．

　　解：

快车速度54千米／小时=900米／分钟

　　中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟

（1）骑车人的速度

　　（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟）

（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离

　　900×3-300×3=1800（米）

　　（3）慢车8分钟行的路程

　　1800+300×8=4200（米）

　　（4）慢车的车速

　　4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时

　　答：

慢车的车速为每小时31.5千米．

练习1：

有一片牧场，已知饲牛27头，6天把草吃尽。

饲牛23头，则9天吃尽。

如果饲牛21头，问几天吃尽？

　　解：

假设1头牛1天吃的草为1. 

⑴每天新长的草：

（23×9-27×6）÷（9-6）=15 

⑵牧场原有的牧草：

27×6-15×6=72 

⑵21头牛几天把草吃尽：

72÷（21-15）=12 

　　计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。

（江苏人民出版社《小学数学袖珍手册》） 

　　牛顿问题是牛顿在1707年提出的著名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。

没看吧主的解，试做了一下：

设原有草X，每天长草Y，每天每牛吃草Z， 

得方程组：

1、X+6Y=Z*27*6 

2、X+9Y=Z*23*9 

3、X+?

Y=Z*21*?

由1、2得Y=15Z，X=72Z，代入3， 

得到:

72Z+15?

Z=21?

Z 

得到:

?

=12. 

练习2:

小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？

试解：

根据题意，设李速度为X，小明速度为Y，得到：

16*（X-Y）=2*48Y，得：

X=7Y，即李的速度是小明的7倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7次，其中“追上”3次， 

———————————————————————————————— 

习题 

1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：

某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。

假设一头牛一周吃草一份 

则23头牛9周吃的总草量：

1×23×9=207份 

27头牛6周吃的总草量：

1×27×6=162份 

所以每周新生长的草量：

（207-162）÷（9-6）=15份 

牧场上原有草量：

1×27×6-15×6=72份，（或1×23×9-15×9=72份） 

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？

解决这个问题相当于把21头牛分成两部分：

一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草. 

假设有15头牛专吃新生长的草，另一部分21-15=6头牛专去吃原有的草 

则牧场上原有的的草够吃72÷6=12周 

即这个牧场上的草够21头牛吃12周.

2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

已知某草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天。

那么它可供多少头牛吃10天？

假设一头牛一天吃草一份 

则20头牛5天吃的总草量：

1×20×5=100份 

15头牛6天吃的总草量：

1×15×6=90份 

所以每天枯草量：

（100-90）÷（6-5）=10份 

牧场上原有草量：

1×20×5+10×5=150份 

牧场上的草可供多少头牛吃10天？

（150-10×10）÷10=5头牛 

3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。

所以问题可转化为：

这片牧草可供16头牛吃20天，或者供20头牛吃12天.那么（10+15）=25头牛可以吃多少天 

设一牛一天吃草一份 

则每天长草（1×16×20-1×20×12）÷（20-12）=10份　　　　　　 

原有草1×16×20-10×20=120份 

假设25头牛中，10头牛专吃每天新长的10份草，另外的25-10=15头牛专吃原有草 

则120÷15=8天 

即这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。

4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果12人淘水，3小时淘完；如5人淘水，10小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

设1人1小时的淘水量为“1份” 

则12人3小时淘水：

1×12×3=36份 

5人10小时淘水：

1×5×10=50份 

所以每小时漏进水：

（50-36）÷（10-3）=2份 

淘水时已漏进的水：

36-2×3=30份 

所以如果要求2小时淘完，要安排（30+2×2）÷2=17人淘水 

5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

设1台抽水机连1天抽水1份 

则5台抽水机连续20天抽水5×20=100份 

6台抽水机连续15天抽水6×15=90份 

每天进水（100-90）÷（20-15）=2份 

原有的水100-2×20=60份 

所以若6天抽完，共需抽水机（60+2×6）÷6=12台 

6.有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问第三块草地可供19头牛吃多少天？

将三块草地的面积统一起来：

即[5，6，8]=120 

第一块草地可供11头牛吃10天，120/5=24，变为120公顷草地可供11×24=264头牛吃10天 

第二块草地