高考数学一轮总复习第8章平面解析几何87抛物线模拟演练理.docx
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高考数学一轮总复习第8章平面解析几何87抛物线模拟演练理
2019-2020年高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.7抛物线模拟演
练理
1.[xx•江西九校联考]若点P到直线x=—1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()
A.圆
C.双曲线
答案
解析
物线.
D
依题意,点
2.[xx
线方程为(
A.x=—1
-陕西质检
C.x=—3
答案
解析
因为抛物线
B.椭圆
D.抛物线
P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛
]设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准
B.x=-2
D.x=—4
op
y=2px的焦点^,0在2x+3y—8=0上,所以p=8,所以抛物线的
准线方程为
3.[xx
两点.已知
A.2
x=—4,故选D.
•全国卷I]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E
|AB|=4^2,|DE=2^5,则C的焦点到准线的距离为()
B.4
C.6
答案
D.8
解析
A4,2血
以选B.
由题意,不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),由|AB=42,|DE=25,可取
p•-16p2
D—士5,设O为坐标原点,由|OA=|OD,得P+8=2+5,得p=4,所
2、p4
4.
垂足为
A.
2
[XX•福建模拟]设抛物线y=6x的焦点为F,代如果△APF为正三角形,那么|PF等于(
4,3
6
B.
C.
答案C
D.
准线为I,P为抛物线上一点,PA丄I,
)
63
12
3
解析设点P的坐标为(xp,yp),则|PF=xp+2-过点
P作x轴的垂线交x轴于点M则
/PFMkZAPF=60°,所以|PF|=2|MF,即xp+|=2xp—3,解得xp=2,所以|PF=6.
3」■■和■—?
"I少、I■■i—1,w|■i?
"厂八。
i2
5.已知直线I仁4x—3y+6=0和直线12:
x=—1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线I2的距离之和的最小值是()
A.
3,5
~5~
B.2
11
c.—
D.3
答案B
解析由题可知12:
x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动
点P到12的距离等于|PF,则动点P到直线1i和直线12的距离之和的最小值,即焦点F到直
|4—0+6|
线I仁4x—3y+6=0的距离,所以最小值是=2.
6.[xx
线过抛物线
答案
•延安模拟]在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段
y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.
5
x=—4
0A勺垂直平分
解析
如图所示,线段
得x=5,即
5
OA所在的直线方程为y=2X,其中垂线方程为2x+y—°=0,/
5
F4,0,
55
•••p=2,y2=5x,其准线方程为x=—4.
7.[xx•长春模拟]过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于AB
两点,0为坐标原点,则△OAB勺面积为.
答案2:
2
y=x—1,
y2=4x,
解析由题意知抛物线焦点为(1,0),直线l的方程为y=x—1,与抛物线方程联立,得
2
消去x,得y—4y—4=0,设A,B的坐标分别为(X1,y",(X2,y2),贝U屮+
y2=4,yy=—4,两交点纵坐标差的绝对值为<'2,从而△OAB的面积为2,:
‘2.
8.[xx•邯郸模拟]设点P在圆C:
x2+(y—6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ的最小值为.
答案,:
5
解析设Qx,y),其中x2=4y.又圆心C(0,6),则|QC=.:
x2+y—6
:
4y+y—62='寸—8y+36(y>0).
当y=4时,|Q(Cmin=2:
5,所以|PQmin=|QQmin—r=25—'5=■'5.
9.[xx•全国卷I]在直角坐标系xOy中,直线l:
y=t(t丰0)交y轴于点M交抛物线C:
y=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H
求空;求|ON;
除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?
说明理由.
t2
(1)由已知得MO,t),P^,t.
N为M关于点P的对称点,故,t,ON的方程为y=px,代入y2=2px,整理得
2t
pt
2t.
222t22t2
px—2tx=0,解得X1=0,X2=—.因此H—
pp
所以N为OH的中点,即pON=2.
(2)直线MHWC除H以外没有其他公共点.
p2t
理由如下:
直线MH的方程为y—t=2^x,即x=—(y—t).
代入y2=2px,得y2—4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MHWC没有其他公共点.
10.已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(—2,0)的直线l交抛物线于AB两点,坐标原
点为OOAOB=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
2
解
(1)设I:
x=my-2,代入y=2px中,
2
得y—2pmy^4p=0.(*)
22
yw设A(x1,y",0X2,y2),贝Vy1+y=2pmW=4p,贝VX1X2=-4^2=4.
ff
2因为OAOB=12,所以X1X2+yy=12,即4+4p=12,得p=2,抛物线的方程为y=4x.
2
(2)
(1)中(*)式可化为y—4my+8=0.
y1+y2=4my1y2=8.
设AB的中点为M则IAB=2xm=X1+X2=n(y1+y2)—4=4ni—4,①
又|AB=;1+m|y1—y2|='1+m16m—32,②
2222
由①②得(1+m)(16m—32)=(4m—4),
解得m=3,m=±3.
所以,直线I的方程为x+.3y+2=0或x—■3y+2=0.
[B级知能提升](时间:
20分钟)
11.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为I,P是I上一点,Q是直线PF与C的一
个交点,若
7
A.2
FP=4FQ则|QF=()
5
B.2
C.3
D.2
答案
过点Q作QQ丄I交I于点Q
的距离为4,所以|QF=|QQ|
12.[xx•四川高考]设0为坐标原点,点,M是线段PF上的点,且|PM=2|MF,
解析
F到准线I
,因为FP=4FQ所以|PQ:
|PF=3:
4,又焦点=3.
P是以
则直线
F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意
0M勺斜率的最大值为()
A.
2
B.—
3
C.
D.1
答案C
解析设
P^,t,易知Fp0,则由|PM=2|MF,得
t2
挣,3,当t=0时,直
线0M的斜率
k=0,当t工0时,直线OM的斜率k=—^t
p+2p
11
2=—,所以|k|=
t2p|t|2p
OM勺斜率的最大值为彳,故
-2,当且仅当吉=畧时取等号,于是直线
1
<=
_P|t||t|2p
选C.
2
13.已知抛物线y=2px(p>0),过其焦点且斜率为—1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为.
答案x=—1
p
解析由题意可设直线方程为y=—x—,设A(X1,y”,0X2,y2),联立方程
y=-x-2,
(0,—1)到直线I的
2
x—4kx—4t=0,
消参得4x2-12px+p2=0,二xi+X2=3p.•••p=2,即抛物线方程为y2=
2
y=2px,4x,其准线方程为x=—1.
14.圆P恒过点F(0,1),且与直线y=—1相切.
(1)求圆心P的轨迹方程T;
22
(2)与圆x+(y+1)=1相切的直线I:
y=kx+1交曲线T于不同的两点MN,若曲线
T上存在点C满足OO入(OM-ONK入>0),求入的取值范围.
解
(1)由题意可得点P到点F的距离等于到定直线y=—1的距离,•点P的轨迹是以点F为焦点,直线y=—1为准线的抛物线,其方程为x2=4y.
(2)如图,由直线I:
It+1|22
距离d=——2=1?
k=t+2t.
设交点Mx1,y",Nx2,y2),
y=kx+1,由2
x=4y
22X1+X2=4k,2
其中A=16k2+16t>0?
t2+3t>0?
t>0或t<—3,?
y1-y2=4k2+2t,
X1X2=—4t
fff
2
•OC=入(OM-ON=入(X1+X2,y1+y2)=入(4k,4k+2t),即C(4kX,(4k-2t)入).
代入X=4y,得(4k入)=4入(4k+2t),
2
k+1t11
即入=彳=1+2k2=1+2后
11
•••t>0或t<—3,在(—a,—3),(0,+s)都是单调递减函数,•入€-,1U
2019-2020年高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程模
拟演练理
1•已知点F:
0,直线I:
x=-1,点B是I上的动点•若过B作垂直于y轴的直线
与线段BF的垂直平分线交于点M则点M的轨迹是()
A.
B.椭圆
双曲线
C.圆D.抛物线
答案D
解析由已知得|MF=|MB・由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,I为准线的抛物线.
2.[xx•大同模拟]设点A为圆(x—1)+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA=1,
则P点的轨迹方程为()
B.
A.y2=2x
C.y2=—2x
(x—1)2+y2=4
22
D.(x—1)+y=2
解析
答案
如图,设Rx,y),圆心为M1,0),连接MA则MALPA且|MA=1.
又•••|PA=1,•••|PM=.|MA2+|PA2=,2,即|PM2=2,「.(x—1)2+y2=2.
3.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为()
22
A.y=8xB.y=—8x
22
xy
22
xy
C.4+3=1
D.
22
xy-
3+召=3工±.3)
22
xy
4+3=1g士2)
答案D
解析TIBC,|CA,|AB成等差数列,...IBQ+|BA=2|CA=4.•••点B的轨迹是以A,
C为焦点,半焦距c=1,长轴长2a=4的椭圆.又B是三角形的顶点,AB,C三点不能共
22
线,故所求的轨迹方程为x+詈=1,且XM士2.
5.
[xx•津南模拟]平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(—1,3),若点C满足0(=
t
入10用
入20B0为原点),其中入1,入2€R,且入1+入2=1,则点C的轨迹是()
A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线
答案
解析
设C(x,y),因为0C=入1OAF
入2OB所以(X,y)=入1(3,1)+入2(—1,3),即
x=3入1—
入2,
入1=兽,
10'
y=入1+3入2,
解得
3y—x
入2=P,
又入1+入2=1,所以10
y+3x3y—x阳
—+—1T=1即x
+2y=5,所以点
C的轨迹为直线,故选A.
x,y轴上移动,动点qx,
y)满足AC=2CB,
6.长为3的线段AB的端点A,B分别在则动点C的轨迹方程.
答案
x2+1y2=1
解析
=2(—x,
设A(a,0),B(0,b),则b—y).
t
9.又C(x,y),则由AC=2CB,得(x—a,y)
x—a=—2x,即
y=2b—2y,
a=3x,
3
b=2y,
7.设F1,F2为椭圆
2
3=1的左、
右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向/RAF
的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是.
答案x+y2=4
解析由题意,延长F1D,HA并交于点B,易证Rt△ABD^Rt△AFD,•|F1D=1BD,
11
1F1A|=|AB,又0为F1F2的中点,连接OD•-OD/F2B,从而可知IDO=2F2B=?
(lAF|+
22
|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),贝Ux+y=4.
上,则顶点C的轨迹方程是.
22
“宀xy
答案6—詁1(x>)
解析如图,|AD=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD=|CF[,所以|CA—ICB=8—2=
2
x
6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-—
2
y16=1(x>3).
2
x2
9.已知双曲线——y=1的左、右顶点分别为A,A,点P(X1,y",Qx1,—y"是双曲
线上不同的两个动点.求直线AP与AQ交点的轨迹
E的方程.
解由题设知|刈>_2,A(—2,0),A(2,
0),
则有直线AP的方程为y=
yi
X1+
屜x-萌,②
联立①②,解得交点坐标为
y亠
X1
2y
y1==
+,2),①
—y1直线AQ的方程为y=—-
X1—
则XM0,|x|<2.
而点P(X1,y"在双曲线
y2=1上,所以
2
X1
2
y2=1•将③代入上式,整理得所求轨迹E
2
Xo
的方程为—+y=1,x工0.
2
10.设椭圆方程为x+^4=1,过点M0,1)的直线I交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,
———
点P满足OP=2(OA+OB),当I绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.
解直线l过点Mo,1),当斜率存在时,设其斜率为k,
则I的方程为y=kx+1.设A(xi,yi),B(x2,y2),
由题设可得点A,B的坐标(xi,yi),(X2,y2)是方程组
y=kx+1,
2
x2+4=i,②
的解,
将①代入②并化简,得(4+k2)x2+2kx—3=0,
2k
xi+x2=—寸,所以
8
yi+y2=4TF,
是OP=2(OA+OB)
xi+X2yi+y2
2,
—k
4+k2,
4
4+k2.
—k
x=2,
4+k
设点P的坐标为(x,y),贝U
4
y=4+T,
消去参数k得4x2+y2—y=0,③
当斜率不存在时,AB中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为
.22
4x+y—y=0.
[B级知能提升](时间:
20分钟)
22
xy
ii.[xx•呼和浩特调研]已知椭圆g+b2=i(a>b>0),M为椭圆上一动点,Fi为椭圆的左
焦点,则线段MF的中点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
答案B
解析设椭圆的右焦点是F2,由椭圆定义可得|MF|+|MF|=2a>2c,所以|PFi|+|PO
i
=/IMF+|MF])=a>c,所以点P的轨迹是以Fi和O为焦点的椭圆.
i2•已知A(0,7),B(0,—7),C(i2,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,椭圆的另
A.
2
2x
y—48=i(y<—1)
个焦点F的轨迹方程是(
2x
By-48=i
C.y
48=—i
D.
2
y_
48
答案A
解析由题意,得|AC=i3,|BC|=i5,|AB=i4,又|AF+|AC]=|BF+|BC,「•IAF
—IBF=|BC—|AQ=2.故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.tc
2
22x
=7,a=i,「.b=48,二点F的轨迹方程为y—=i(y<—i).
48
13•已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A—1,0),政1,0)且以圆的切线为准线,
则抛物线的焦点轨迹方程是
22
“宀xy
答案7+暫=1(y丰0)
43
解析设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA,BB,00则|AA|+|BB|=2|0O=4,由抛物线定义得|AA|+|BB|=|FA+|FB,所以|FA+|FB=4,故F点的轨迹是以AB为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).
14•[xx•全国卷川]已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)
⑵
若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR//FQ
若厶PQF勺面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
.设I1:
y=a,12:
y=b,贝Uab*0,
1
由题知F2,0
11
b,p—2,a,Q—2,b,
b2
a+b
2
B2,
.记过A,B两点的直线为I,贝UI的方程为2x—(a+b)y+ab=0.
(1)证明:
由于
记AR的斜率为
F在线段AB上,故1+ab=0.
k1,FQ的斜率为k2,则
a—ba—b1—ab
k1=2=~2=—==—b=k2.
1+aa—abaa
所以AR//FQ
1
PQF=
21
⑵设I与x轴的交点为Qx1,0),贝U&abf=2|b—a|•]FD|=^|b—a|X1—?
&
|a—b|11|a—b|
2:
由题设可得2x才b—a|•X1—,所以X1=0(舍去),或X1=1.
设满足条件的AB的中点为日x,y).
2y
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE,可得=(x*1).
a+bx—1
a+b2
而一厂=y,所以y=x—1(x*1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x—1.
1
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