第4章空中交通系统整数规划.docx
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第4章空中交通系统整数规划
空中交通系统优化与管理
第四章整数规划
4.1.1整数规化数学模型的一般形式:
☐纯整数线性规划问题:
所有xj的解为整数
☐混合整数规划问题:
部分xj的解为整数
☐0-1整数规划问题:
所有xj的解为0或者1
4.1.1模型的一般形式:
maxz
=CX
⎧AX≤b
X
s.t.⎨
⎩≥0
且为整数
•若线性规划问题xj不取整,则称该线性规划为对应该整数问题的
松弛问题,解为整数问题解的松驰解
4.1.2整数规化的例子及模型建立:
例4.1:
某厂用集装箱托运甲、乙两种货物,每个集装箱的体积、积重量、可获利及托运限制如下表所示。
问两种货物各托运多少箱可使获得的利润最大?
货物
体积(米3)
重量(百斤)
利润(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
解:
设x1,x2分别为甲、乙两种货物托运的箱数。
则数学模型为:
maxz
=20x1
+10x2
⎧5x1
⎪
+4x2
≤24
s.t.⎨2x1+5x2
≤13
⎪x,x≥0
且为整数
⎩12
例4.2设备生产计划问题
某设备可以生产两种产品,需要三种资源,已知各产品的利润
、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如表4-1,问题是如何安排生产计划,使得获利最多?
表4-1
产品A
产品B
资源限量
劳动力
8
4
360
设备
3
5
200
原材料
2
10
300
利润元/台
60
80
解:
建模分析步骤为:
1、确定决策变量:
设生产A产品
x1台,B产品x2台
2、确定目标函数:
3、确定约束条件:
maxz
=60x1
+80x2
人力约束设备约束
8x1
3x1
+4x2
+5x2
≤360
≤200
原材料约束
2x1
+10x2
≤300
非负性整数约束
x1≥
0,x2≥0
且取整数
例4.2人员安排问题
对于一个零售企业的部门经理,需要根据实际情况安排职员的
工作时间。
根据统计和调查,每天需要在班上工作的职员数目分别为:
工作日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
要求人数
20
13
10
12
16
18
20
每个职员要求5天一次轮班,即连续工作5天,然后连续休息2天;正常工作日(星期一~星期五)每个员工每天工资60元,星期六、星期日每人每天工资分别为85元和95元。
在满足如上要求的前提下,如何安排每天(星期一~星期日)
开始轮班的人数,才能使企业每周所支出的总工资最少,试建立该问题的数学模型。
解:
设星期一到星期日开始轮班的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7,根据分析计算,对应每人每周的工资分别为:
300元/人、325元/人、360
元/人、360元/人、360元/人、360元/人、335元/人。
要求每周支出总工资最小,且满足每天的职员数目要求,即:
Minz
=300x1
+325x2+360(x2
+
x4
+
x5
+x6)+335x7
⎧x1+
x4+x5+x6+x7
≥20
⎪x+x+
x+x+x
≥13
⎪12567
⎪x1+x2
⎪x+x
+x3+
+x+x+
x6+x7
x
≥10
≥12
⎪12347
⎨x+x+x+x+x
≥16
⎪12345
⎪x2+x3+x4+x5+x6
⎪x+x+x+x+x
≥18
≥20
⎪34567
⎩
⎪xj(j=1,,7)为非负整数
例4.3设备购置问题
某个航空公司为了扩大经营规模想购置一批航空维修设备,投
资的资金总额为N元,想购买的设备种类为n种分别为A1,A2,......
An,其中设备Ai单价为Pi(i=1,2,…,n),现有m个不同的分公司B1,B2,......,Bm需要安装这些设备,其中Bj公司最多可需要bj台(j=1,2,…,m)。
预计将一台设备Ai装置于Bj公司可以盈利cij元,则该航空公司应如何购买安装这些设备,使得航空公司获得的整体利润最大。
解:
分别设yi为购买设备Ai的台数,xij为将设备Ai装置于Bj公司的台数,z为预计总利润(元)。
根据题意得数学规划模型为
max
nm
z=∑∑
cijxij
i=1j=1
⎧∑mx
-y≤
i=12n
⎪
⎪j=1
⎪n
iji
0,,,,
s.t.⎪∑
xij
≤bj,j
=1,2,,m
⎨i=1
⎪n
⎪∑piyi≤M
⎪i=1
⎪x≥0,y≥0,x,y均为整数
⎩ijiiji
例4.4机场选址问题
为了实现n个城市间实现航线连接要修建机场,不同城市间的
客流量为bj人/天(j=1,2,…,n),现拟在m个城市中进行选择修建机场,来满足客流量的需求,备选的每个城市最多只能修建一个机场。
若选择i城市修建机场,将来的运输能力为ai人/天,固定费用为di元/天(i=1,2,…,m),已知i城市至j城市运输成本为cij元/人
。
如何选择机场的位置,能使总的运输成本最低?
解:
设
yi=
⎧1,若在i城市修建机场
⎩
⎨0,否则
xij表示从城市i到城市j的运量(人次/天),z表示预计总费用(元/天)mnm
minz=∑∑
cijxij
+
∑diyi
⎧∑n
i=1j=1i=1
x≤ai=12
根据题意,该问题的数学模型为
⎪
m
⎪j=1
⎪∑x
ijiyi,,,,m
=bj=12
s.t.⎨
⎪
⎪
i=1
ijj,,,,n
⎪x≥0为整数,y
=0或1
⎩⎪iji
⏹松驰问题的可行解是凸集,两个可行解的线性组合还是可行解;
⏹整数规划问题的可行解是松驰问题可行解的一个子集,两个线性组合不一定是可行解。
⏹整数规划的最优解≤其松弛问题的最优解
⏹整数规划的解是可数个的,最优解不一定发生在极点
松驰问题最优解:
x1*=24/5,x2*=0,z*=96
整数问题最优解:
x1*=4,x2*=1,z*=90
4.1.4整数规化的解题方法:
☐割平面法
☐分枝定界法
☐隐枚举法
4.2整数规化的割平面法
☐用割平面法(cuttingplaneapproach)解整数规划时,若其松弛问题的最优解x*不满足整数规划条件,则从x*的非整分量中选取一个,用以构造一个线性约束条件,将其加入原松弛问题中,形成一个新的线性规划、然后求解之。
☐若新的最优解满足整数要求,则它就是整数规划的最优解;否则,重复上述步骤,直到获得整数最优解为止。
☐每次增加的线性约束条件应当具备两个基本性质:
⏹其一是己获得的不符合整数要求的线性规划最优解不满
足该线性约束条件,从而不可能在以后的解中再出现;
⏹其二是凡整数可行解均满足该线性约束条件,因而整数最优解始终被保留在每次形成的线性规划可行域中。
☐考虑纯整数规划问题:
maxz
=c1x1
+c2x2
++
cnxn
s.t.
⎧a11x1
⎪a21x1
⎪
⎨
+a12x2
+a22x2
++
++
a1nxna2nxn
≤b1
≤b2
⁝
ax
⎪
⎪m11
+
am2x2
++
amnxn
≤bm
⎩⎪x1,
x2,,xn
≥0且为整数
•设aij和bi均为整数
☐纯整数规划的松弛问题是一个线性规划问题
☐记Q为m个基变量的下标集合,K为n-m个非基变量的
下标集合,则m个约束方程可表示为:
xi+
∑aijxjj∈K
=bi
i∈Q,
j∈K
对应的最优解为:
X*
=[x*,x
*,...,x
*]T
j
其中:
x*
12
n
⎧⎪bj
⎩
=⎨⎪0
j∈Qj∈K
•若各b皆j
为整数.是纯整数规划的最优解;
•若各bj(
j∈Q)不全为整数,不是纯整数规划的可
行解,自然也不是原整数规划的最优解。
若bi0(i∈Q)不是整数,其约束方程为:
i
x0+∑
j∈K
ai0
jxj
=bi0
i0∈Q
(1)
i
其中:
x
0
为整数,bi0不是整数,ai0,j不一定是整数
分解bi0和ai0,j为两部分,一部分为最大的整数,
一部分为余下的小数.
ai,j=N+f,N≤ai,j且为整数,0≤f
<1
(2)
0
0i0,ji0,ji0,j0i0,j
bi=N
i
0
0
+
f,N
i
i
00
且为整数,0 i 0 <1(3) i x0+∑ Ni,jxj+∑ fi,jxj =N+f i i 00 0 j∈Kj∈K 0 i 0 i i 0 0 x0+∑Ni,jxj-N=f0-∑ fi,jxj (4) 0 j∈Kj∈K xj≥0⇒∑ fi,jxj ≥0⇒-∑ fi,jxj ≤0⇒ f0-∑ fi,jxj≤ f<1 i 0 0 0 i j∈Kj∈Kj∈K i 而(4)式左边是整数,右边<1,所以有f 0 -∑ 0 j∈K fi,jxj ≤0,即 ∑(-fi0,j)xjj∈K ≤-f i 0 (5) •(5)式为整数规化的割平面法所要增加的约束 •(5)式 ∑(- j∈K fi,j)xj ≤-f i 0 的性质: a) 0 将现有的有非整解的X*代入,有 矛盾,则X*不满足(5)式 0≤-f i 0 和(3)式 bi0=Ni+fi,Ni 0000 b) i 0 整数规划模型的整数解一定满足(5)式(前提x ☐(5)式的实际意义: 是整数) 记R为原松弛问题可行域,R’为新约线性规划可行域。 从几何 意义上看,(5.10)实际上对R做了一次“切割”,在留下的R’中,保留了整数规划的所有整数可行解,但不符合整数要求的X*被“切割’掉了。 随着”切割”过程的不断继续,整数 规划 最优解最终有机会成为某个线性规划可行域的顶点,作为该线性规划的最优解而被解得。 例: 用割平面法求解纯整数规划: maxz =3x-x maxz =3x1-x2 12 ⎧3x-2x≤3 ⎧3x1-2x2 +x3=3 ⎪ 12⎪ 5x+4x-x =10 ⎪5x1+4x2 ≥10 s.t.⎪124 s.t.⎨ ⎨2x+x+x=5 ⎪2x1+x2≤5 ⎪125 ⎪⎩x1,x2≥0且为整数 ⎪⎩x1,x2≥0且为整数 解: 加入松驰变量化为标准形并用单纯形法解得松驰最优解: Cj 3 -1 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 3 x1 13/7 1 0 1/7 0 2/7 -1 x2 9/7 0 1 -2/7 0 3/7 0 x4 31/7 0 0 -3/7 1 22/7 σ 0 0 -5/7 0 -3/7 由约束的第一行产生割平面约束: -1x-2x≤-6,引入松驰变量x得: 737576 -1x-2x+x=-6,代入单纯形表,用对偶单纯形法解得: 737567 Cj 3 -1 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 x1 13/7 1 0 1/7 0 2/7 0 -1 x2 9/7 0 1 -2/7 0 3/7 0 0 x5 31/7 0 0 -3/7 1 22/7 0 0 x6 -6/7 0 0 -1/7 0 -2/7 1 σ 0 0 -5/7 0 -3/7 0 Cj 3 -1 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 x1 13/7 1 0 1/7 0 2/7 0 -1 x2 9/7 0 1 -2/7 0 3/7 0 0 x4 31/7 0 0 -3/7 1 22/7 0 0 x6 -6/7 0 0 -1/7 0 -2/7 1 σ 0 0 -5/7 0 -3/7 0 Cj 3 -1 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 x1 1 1 0 0 0 0 1 -1 x2 5/4 0 1 0 -1/4 0 -5/4 0 x3 5/2 0 0 1 -1/2 0 -11/2 0 x5 7/4 0 0 0 1/4 1 -3/4 σ 0 0 0 -1/4 0 -17/4 4.2.2割平面法举例: 第四行割平面约束: -1x-1x≤-3,引入松驰变量x得: 444647 -1x-1x+x=-3,代入单纯形表,用对偶单纯形法解得: 444674 Cj 3 -1 0 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 3 x1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 x2 2 0 1 0 0 0 -1 -1 0 x3 4 0 0 1 0 0 -5 -2 0 x5 1 0 0 0 0 1 -1 1 0 x4 3 0 0 0 1 0 1 -4 σ 0 0 0 0 0 -4 -1 4.2.3 切割平面的几何意义: 由原约束: maxz=3x1-x2 ⎧3x1-2x2 +x3=3得: ⎪5x+4x-x=10 s.t.⎪124 ⎨2x+x+x=5 ⎧x=3-3x+2x ⎪125 ⎨312 ⎪⎩x1,x2≥0 且为整数 ⎩x5 =5-2x1-x2 代入: -1 7 x-2x 375 ≤-6 7 得: x1≤1 而: -1x-2x+x=-6 737567 ⎧x4 =5x1+4x2 -10 113 ⎪代入: -x- x≤- 得: x+x≥3 ⎨x=1x-12x-x 4446412 ⎩⎪673712 4.3整数规划的分枝定界法 4.3.1思路与解题步骤 o只解松弛问题 1、在全部可行域上解松弛问题 ⏹若松弛问题最优解为整数解,则其也是整数规划的最优解 2、分枝过程 ⏹若松弛问题最优解中某个xk=bk不是整数,令⎣bk⎦为bk的整数部分 ⏹构造两个新的约束条件xk≤⎣bk⎦和xk≥⎣bk⎦+1,分别加于 原松弛问题,形成两个新的整数规划 3、求解分枝的松弛问题—定界过程 ⏹设两个分枝的松弛问题分别为问题1和问题2,它们的最优解有如下情况 表4.3.1分枝问题解可能出现的情况 序号 问题1 问题2 说明 1 无可行解 无可行解 整数规划无可行解 2 无可行解 整数解 此整数解即最优解 3 无可行解 非整数解 对问题2继续分枝 4 整数解 整数解 较优的一个为最优解 5 整数解,目标函 数优于问题2 非整数解 问题1的解即最优解 6 整数解 非整数解,目标 函数优于问题1 问题1停止分枝(剪枝),其整数解为界, 对问题2继续分枝 o情况2,4,5找到最优解 o情况3在缩减的域上继续分枝定界法 o情况6问题1的整数解作为界被保留,用于以后与问题2 的后续分枝所得到的解进行比较,结论如情况4或5 4.3.2分枝定界法举例 x2B(2,9/4) 7OBJ: 21 6 A(2.5,2) OBJ: 23 例4.2.1 max f(x) =6x1 +4x25 4 C(3,1) ⎧2x1 +4x2≤133 OBJ: 22 ⎪ ⎨2x1 +x2≤72 ⎩ 1 ⎪x1,x2≥0 且为整数 1234567x1 解: 松弛问题的最优解为x1=2.5,x2=2,OBJ=23 由x1=2.5得到两个分枝如下: max f(x) =6x1 +4x2 max f(x) =6x1 +4x2 ⎧2x1 +4x2 ≤13 ⎧2x1 +4x2 ≤13 ⎪ ⎨ 问题I 2x1 +x2≤7 ⎪ ⎨ 问题II 2x1 +x2≤7 ⎪x1≤2⎪x1≥3 ⎪⎩x1,x2≥0 且为整数 ⎪⎩x1,x2≥0 且为整数 表4.3.3分枝问题的松弛解 问题I 问题II x1 2 3 x2 9/4 1 f(x) 21 22 问题II的解即原整数问题的最优解 ☐可能存在两个分枝都是非整数解的情况,则需要两边同时继续分枝,直到有整数解出现,就可以进行定界过程 ☐当有很多变量有整数约束时,分枝即广又深,在最坏情况下相当于组合所有可能的整数解 ☐一般整数规划问题属于一类未解决的难题,NP-complete,只有少数特殊问题有好的算法,如任务分配问题、匹配问题 4.3.2分枝定界法举例 例: maxZ=40X1+90X2 9X1+7X2≤56 7X1+20X2≤70X1,X2≥0 X1,X2为整数 解: 先解 (1)的松弛问题 X*= 4.809 1.817 Z*=355.890,上界Z* 选X1分枝 (1) 问题 (2) X1≤4 问题(3) (1) X1≥5 解为X1=4 X2=2.1 Z=349.0解为X1=5 X2=1.571 Z=341.39 先选 (2)继续分枝 问题(4) (2) X2≤2 问题(5) (2) X2≥3 (1) S0=0 4.809 1.817 355.890 X1≤4 X1≥5 (3) S0=0 5 1.571 341.39 (2) S0=0 4 2.1 349.0 X2≤2X2≥3 X2≤12 X2≥ (4) S0=0 4 2 340 (5) 340 1.428 3 327.12 (6) 340 5.444 1 307.76 (7) 无解 分枝定界法一般步骤: (1)、(A),先解(A)的松弛问题(B) (2)、①(B)无可行解→(A)无可行解。 ②(B)最优解符合(A)要求,停。 ③(B)最优解不符合(A)要求,转(3)。 (3)、估整数解S0,作下界 (4)、选(B)解中不符合整数条件的分量Xj(Xj=bj)分枝,作(B)的后续问题(C)、(D)。 (C): (B)加约束Xj≤[bj](D): (B)加约束Xj≥[bj]+1 (5)、解(C)、(D) 剪枝条件: ①(C),[(D)]无可行解 ②(C),[(D)]对应的目标值S≤S0 ③(C),[(D)]对应的目标值Sc>S0 且解为整数解,令Sc⇒S0 且解为非整数解,令(C),[(D)]取代(B)返回(4) (6)、全部枝剪完,停 优点: (1)、任何模型均可用; (2)、思路简单、灵活; (3)、速度快;(4)、适合上机。 (1)、分枝变量选择原则: ①按目标函数系数: 选系数绝对值最大者变量先分。 对目标值升降影响最大。 ②选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 ③按使用者经验,对各整数变量排定重要性的优先顺序。 (2)、分枝节点选择: ①深探法(后进先出法): 最后打开的节点最先选,尽快找到整数解。 整数解质量可能不高。 ②广探法: 选目标函数当前最大值节点,找到的整数解质量高。 慢。 4.40-1规划 4.4.10-1规划举例 0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形,它的变量xi仅取值0或1,这时xi称为0-1变量,或称二进制变量。 可以引入0-1变量的实际问题很多,如相互排斥的计划,相互排斥的约束条件等等。 【例4.4.1】(厂址的选定)某公司拟在市东、西、南三区建立门市部,拟议中有7个位置(点),Ai(i=1,2,…,7)可供选择。 规定: 在东区,由A1,A2,A3三个点中至多选两个;在西区,由A4,A5两个点中至少选一个; 在南区,由A6,A7两个点中至少选一个; 如选用Ai点,设备投资估计为bi元,每年可获利润估计为Ci元,但投资总额不能超过B元。 问应选择哪
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