上海工程技术大学答案概率论与数理统计复习1.docx
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上海工程技术大学答案概率论与数理统计复习1
复习题简答:
第一章
1、设A、B、C表示三个随机事件,试将下列事件用A、BC表示出来:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)解:
B,C都发生,而A不发生;
A,B,C中至少有一个发生;
A,B,C中恰有一个发生;
A,B,C中恰有两个发生;
A,B,C中不多于一个发生;
A,B,C中不多于两个发生。
(1)ABC
(2)ABC
(3)ABCABCABC
(4)ABCABCABC
(5)ABCABCABCABC
(6)ABC
2、把1,2,3,4,5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。
问:
(1)所得三位数是偶数的概率是多少?
(2)所得三位数不小于200的概率是多少?
3、甲乙丙三人去住三间房子。
求:
(1)每间恰有一个的概率;
(2)空一间的概率。
解:
(1)
(2)
c3c|c
4、设8支枪中有3支未经试射校正,5支已经试射校正。
一射击手用校正过的枪射击时,中靶概率为0.8,而用未校正过的枪射击时,中靶概率为0.3.今假定从8支枪中任取一
支进行射击,求:
(1)中靶的概率;
(2)若已知中靶,求所用这支枪是已校正过的概率。
解:
A:
中靶。
B:
已知中靶,所用这支枪是已校正过的。
8OS3OS8
5、设有甲乙两盒,其中甲盒内有2只白球1只黑球,乙盒内有1只白球5只黑球。
求从甲盒任取一球投入乙盒内,然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。
解:
A:
从乙盒取出一球得白球。
B:
从甲盒中任取一白球放入乙盒。
——22115
P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)3737-
373721
6、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%。
如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%。
现在待出厂产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率。
解:
A:
任取一个产品是次品。
B:
产品由甲车间生产。
P(BA)45%4%兰
45%4%35%2%20%5%35
7、对某种药物的疗效进行研究,假定这药物对某种疾病治愈率为0.8,现10个患此病的病
人都服用此药,求其中至少有6人治愈的概率。
9911010
C10(0.8)(0.2)C10(0.8)
解:
X:
治愈的人数,X~B(10,0.8)
664773882
P{X6}G°(0.8)(0.2)G°(0.8)(0.2)(0.8)(0.2)
0.9672
第二章
&某产品5件,其中有2件次品。
现从其中任取2件,求取出的2件产品中的次品数X的概率分布律及分布函数。
解:
次品数X可能的取值为0,1,2分布律为:
P{X0}3T0.3
分布函数为:
0,
0.3,F(x)
0.9,
1,
P{]X1},P{X1}及概率密度。
3
3x
x
0,
11、某元件寿命(按小时计)X服从参数为=0.001的指数分布,三个这样的元件使用
小时后,都没有损坏的概率是多少?
解:
f(x):
001e
0.001x
0001x
P{X1000}0.001e-dxe
1000
i
Y:
损坏的个数,Y~B(3,1e1)
0一1.033
P{Y0}C3(1e)ee
N(1.5,4),计算:
(1)P{X<-4},
(2)P{|X|>2}。
14、
X
-2
-1/2
0
2
4
p
1/8
1/4
1/8
1/6
1/3
求
(1)X2
(2)X
1,(3)X2的分布律。
X+2
0
3/2
2
4
6
P
1/8
1/4
1/8
1/6
1/3
-X+1
0
3/2
1
-1
-3
P
1/8
1/4
1/8
1/6
1/3
X2
4
1/4
0
16
p
7/24
1/4
1/8
1/3
设X的分布律为
第三章
15、一整数X随机地在1,2,3,4四个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1到X中
取一个值,试求(X,Y的分布律。
解:
P{X1,Y1}-,P{X
4
P{X3,Y1}P{X3,Y2}
P{X4,Y1}P{X4,Y2}
16、设(X,丫的概率密度为f(x,y)
(1)系数C;
(2)(X,丫落在D:
x2
解:
根据f(x,y)dxdy1
3
2,Y1}P{X2,Y2}-
8
1
P{X3,Y3}
12
1P{X4,Y3}P{X4,Y4}
C(1*y2),x2+y21,试求:
0,x2+y21
y2(1/2)2确定的区域内的概率。
X
1
1.5
1.3
1.2
P
2/5
1/5
1/5
1/5
Y
1
1.2
1.4
0.8
P
2/5
1/5
1/5
1/5
(2)P{X>Y}=3/5
解出C-
X,Y不相互独立
第四章
解:
VD3
6
XY,
23、设(X,Y服从D{(x,y)|0x1,0yx}上的均匀分布,试求X,Y的相关系数
并说明X与Y是否不相关。
2
求
(1)E(XY);
(2)D(XYZ)。
解:
E(XY)2D(XY)E2(XY)
D(X)D(Y)2x^.D(X)D(Y)[E(X)E(Y)]2
11
(2)26
D(XYZ)D(X)
3
D(Y)D(Z)2cov(X,Y)2cov(X,Z)2cov(Y,Z)
25、在n重贝努里试验中,若每次试验A出现的概率为0.75,试利用切比雪夫不等式求出n,
使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.9。
解:
事件A出现的次数
X~B(n,0.75)E(X)0.75n,D(X)0.1875n,
P(0.74X0.76)P{X0.75n0.01n}1°1875;118
n(0.01n)2n
“1875cc
10.9,n18750.
n
第五章
26、已知一批产品(批量很大)的次品率p0.1,现从这批产品中随机地抽取1000件进行检查,求次品数在90至110之间的概率。
解:
次品数X~B(1000,0.1)
27、设某电话交换台每秒种平均被呼叫2次(电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布)
试求在100秒钟内被呼叫次数在180至220次之间的概率。
解:
第i秒呼叫次数Xi~
(2)E(XJ
2,D(Xi)
2,100秒内呼叫次数为
X,则X
Xi
i1
100
180-200
X-200
220-200、
P{180Xi220}
P{
I1
}(1.41)・
-(-1.41)
0.8414
i1
V200
..200
、200
DX2,试求EX,DX。
第八早
28、设X1,X2,K,Xn来自总体X的简单随机样本,已知EX
29、设X1,X2,K,Xs来自总体X为标准正态分布的简单随机样本,试确定常数C,使得
T「C(X1X2)服从t分布。
X;X:
X;
解:
X1X2〜N(0,2)X1X2〜N(0,1)
V2
2222
X3X4X5~(3)
c.6/2
30、设有N个产品,其中有M个次品,进行放回抽样。
定义Xi如下,
解:
总体X的分布律为:
MXM1X
P(Xx)=)X(1—)1X,x0,1,
f*(Xi,X2,
则样本Xi,X2,K,Xn的联合分布律为
则样本X1,X2,K,Xn的联合分布律为
eXn
f(X1,X2,Xn)eX1e
n
Xi
ni1
e
32、在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本,如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95,贝Un至少为多少?
4
解:
X~N(7.6,—)
X7.6
n
吐7-6}0.95
2八n
P{5.6X9.6}P{5.6—7.6
2/Jn
(.n)(、.n)0.952(.n)10.95(、n)0.975n4
第七章
然估计$。
解:
似然函数:
两边取对数,
的极大似然估计量为
A2n
n
Xi
i1
A
用X替代E(X),得
1
2为矩估计量。
X
36、设X1,X2,X3是取自某总体的容量为3的样本,试证下列统计量都是该总体均值无偏估计,在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差?
111
(1)片TX1-X2-X3;
236
22
)的一个样本,对考虑如下三个估计
n
2
(XiX),
i1
1
1
1
(2)片
-X1
-X2
-X3;
3
3
3
(3)片
冬1
^2
2X3。
6
6
3
解:
验证无偏估计略。
第三个估计的有效性最差。
37、设Xi,X2,K,Xn是来自正态总体N(
1(Xix)2,吟丄(XiX)2
niin1ii
哪一个是
2
的无偏估计?
解:
第一个是2的无偏估计。
38、包糖某日开工包糖,抽取12包糖,称得重量(单位:
0.05Kg)为:
10.1,10.3,10.4,10.5,10.2,9.7,9.8,10.1,10.0,9.9,9.8,10.3
假定重量服从正态分布,试由此数据对该机器所包糖的平均重量及方差2,求置信水平
为95%的置信区间。
方差2置信水平为95%的置信区间为
o.025(11)21.920,0.975(11)3.816,s20.06629
22
(锦,咔)(0.03330.1911)
0.025(11)0.975(11)
39、随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:
cm):
2.14,2.10,2.13,2.15,
2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,设钉长的分布
为正态分布,分别对下列两种情况求出总体均值的90%置信度的置信区间。
(1)已知0.01cm;
(2)未知。
解:
已知0.01cm
2.580:
01,2.1252.58'001)(2.11855,2.13145)
44
未知
(Xt(n
1)S)
n
(2.1251.75310.01713,2.125
4
1.7531
0.01713
4
(2.1175,2.1325)
2
40、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108),现在测定了9炉铁水,其平
均含碳量为4.484,如果铁水含碳量的方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量
仍为4.55(0.05)?
解:
设原假设H0:
4.55,H1:
4.55
检验统计量U
X/占拒绝域W{UZ0.025}Z0.0251.96,W{U1.96}
X0
u厂
0/、n
4.4844.55
1.8333
0.108/3
因为uW,故接受H0.
可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(°.°5)
41、设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数为x11.2cm,样本标准差
s2.6cm,问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm(0.05)?
解:
11.212
设原假设H0:
12,H1:
12
X
检验统计量T0
S/Jn
拒绝域W{Tt0.05(99)}10.05(99)匸645,
W{T1.645}
tx011.212
s/.n2.6/10
3.0769
因为uW,接受H1,不能认为该批木材小头的平均直径不低于
12cm(0.05)?
42、某电工器材厂生产一种保险丝,测量其熔化时间,依通常情况方差为400,今从某天产
品中抽取容量为25的样本,测量其熔化时间并计算得X62.24,s2404.77,问这天保险
熔化时间分散度与通常有无显著差异(取0.05)?
解:
设原假设H。
:
2400,H1:
2400
检验统计量
2
2(n!
)S拒绝域w{2
0
為25(24),2
0.975(24)}
2
0.025(24)
39.364,0.975(24)12.401,W
2
239.364,
2
212.401}
2(n1)
s22440477
400
2-24.2862W
0
故接受H。
,可以认为这天保险熔化时间分散度与通常没有显著差异
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- 上海 工程技术 大学 答案 概率论 数理统计 复习