阿拉伯的三角学与几何学.docx

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阿拉伯的三角学与几何学

阿拉伯的三角学与几何学

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，（《苏利耶历数全书》是天文著作，是印度第一个正弦表，年代距阿耶波多不远）以及希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。

三角形的建立是亚历山大后期几何学最富创作性的成就，而托勒玫就是最卓越的代表人物。

梅内劳斯（约公元1世纪人）,古希腊亚历山大后期的数学家、夭文学家,三角术（主要是球面三角术）创始人之一他写过关于圆中的弦6本书,可惜都已失传,幸好他著的一本《球面论》以阿拉伯文本保存了下来.该书共3册,第一册讨论球面几何,第二册以夭文为主题,第三册是球面三角术.现今所谓“梅内劳斯定理”即在这第三册之中。

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼作出的，他约858年生于哈兰（在今土耳其东南部）；929年卒于伊拉克，萨马拉附近。

而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。

其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。

在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。

他称正弦为jība，来源于阿耶波多的印度语术语jīva，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影。

后来演变成拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克（T.Fink，1561—1656）的《圆的几何》（1583）一书中。

而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法最先引入的。

阿尔·巴塔尼还发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式

阿尔巴塔尼是阿拉伯天文学家。

希腊天文学最后经托勒密*去粗存精，由阿拉伯人保留下来了，但并无多大进展。

仅有的较小发展是阿尔巴塔尼做出的，他是一天文仪器制造者之子，是穆斯林中最伟大的天文学家。

阿尔巴塔尼仔细检查了托勒密的计算，做了少量改进。

例如，他发现太阳看起来最小时的位置（现在称为远日点）已不再位于托勒密所说的位置。

由此，他推断其位置的移动是缓慢的，并相当准确地求出该运动的值。

他用的仪器超过了希腊人用的（这是由于他父亲为他创造了条件），因而在一年有多少天的问题上，他获得了更为精确的结果。

（此值在七百年后用于儒略历的格里改革。

）他还将二分点的时间确定在误差小于一、两小时之内，从而得出地轴与其公转平面的精确倾角值。

他第一个在天文计算方面利用了正弦表，也为天文学引进一种新的数学计算法。

阿拉伯人在天文学上最大贡献就是完善了球面三角学。

由于天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制。

9世纪的海拜什·哈西卜（约卒干864—874）在印度人的基础上制定间隔为15′的60进制正弦表，并目还编制了间隔为1°的正切表。

艾布·瓦法和比鲁尼等人进一步丰富了三角学公式。

艾布·瓦法在哈西卜的基础上又进一步编制出间隔为10′的正弦表和余弦表，特别是比鲁尼利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。

艾布·瓦法（940~997） 中世纪阿拉伯著名天文学家、数学家。

生于波斯呼罗珊的布兹占，一说系内沙布尔人。

出身于一穆斯林学者家庭。

小时受过传统的宗教和文化教育。

后到内沙布尔、撒马尔罕从师学习数学和天文学，对花刺子密的《代数学》有深入的研究，并作过注释。

曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大成》。

在天文学方面，他把正切和余切这两种三角函数用到天文观测上，最早发现了月球的“二钩差”，即月球的中心差和出差不仅在朔望和上下弦，在弦望之间也有盈缩之差。

他的这一重大发现被人们误认为是600年后弟谷，布拉赫的功绩。

他根据月球运动的速度差，发明了月球运行的加速方程。

他还提出了地球绕太阳运转的初步假说，论证了地球是一个球体，纠正了古希腊托勒密地球中心说的错误。

在三角学方面，他首先发现了球面三角形的正弦定理，并证明了它的普遍性；设计了开三、四、五次方根计算的新方法，引入了“正割线”、“余割线”的概念。

他编制的正弦表、正切表精确到1／60。

近代西方著名数学家笛卡尔称艾布·瓦发是“解析几何的先驱”。

据传，他还对欧几里德的《几何原本》有关部分作了重译和注释。

其主要著作除了《天文学大典》还有《综合天文历表》、《文书和商人算术科学须知》、《工匠的几何制图法须知》等。

比鲁尼（973—1050）生于波斯花刺子模城的比伦郊区。

据传比鲁尼出身于一突厥贵族后裔家庭。

信奉伊斯兰教什叶派教义。

青年时曾到朱尔占师从艾布·纳西尔·曼苏尔等著名学者。

他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣。

他还通晓希腊及东方各宗教哲学，谙熟伊斯兰经典及各教派学说，并掌握阿拉伯语、波斯语、突厥语、希伯来语、叙利亚语和梵语。

比鲁尼一生从事多学科的研究，著述宏富。

约于1000年所著的《古代遗迹》（一译《东方民族编年史》）记载了东方各国人民的历史、地域、文化及宗教，着重讨论了古代各族的历法和纪元。

并在该书的序言中指出：

智慧只有在完全不受传统、政治影响及主观意志不受束缚时才能得到发挥。

1030年成书的《印度志》（一译《印度考察记》）记述了印度的自然地理、历史、古迹、宗教信仰、哲学、文学、天文学、法律飞税制、风俗习惯，尤其对佛教哲学的基本观点进行了系统的阐述，并与希腊哲学及其他宗教哲学进行了对比研究，指出了佛教哲学对伊斯兰教苏菲派思想的影响。

1037年写有《麦斯欧迪天文学和占星学原理》，是对当时天文学研究的总结，将天文学与地理学结合，提出了地球以地轴为中心自转的理论，并推测到地球是绕太阳运转的，还对地球的经纬度作了精密的测量。

《占星学入门解答》是一部关于数学、几何、天文和占星的基本知识的问答。

他还著有《药学》以及矿物学、物理学方面的著作。

他用流体静力学的原理对泉水的喷涌作出解释，并用物理原理解释地质现象，指出印度河谷曾是一个盆地。

他还将欧几里得和托勒密的数学天文著作择要翻译介绍给印度。

在哲学思想上，比鲁尼追随伊本·西那，推崇理性和知识，主张双重真理论，有朴素的唯物主义思想。

他认为物质本身在创造和支配自然界中所发生的，一切活动都是属于物质的，物质是在不断演变和发展着，并不断改变具体物体的形态，自然界是判断人们对它的认识正确与否的标准，精神的能力（灵魂、思维等）都是肉体的特性，哲学是一种最高的理性认识，而宗教是约束人们思想行为的一种道德准则，旨在扬善止恶，宗教和科学是两个不同范围的问题，宗教不要过多地干涉科学。

比鲁尼被后世学者誉为“百科式的学者”、“各种文化交流的使者”，在阿拉伯科学文化史上享有崇高的声誉。

他曾经得到马蒙哈里发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作。

他给出一种测量地球半径的方法，他的做法首先用边长带有刻度的正方形ABCD[如图4.5（i）]测出一座山高。

比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式.

后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl°的值.阿尔·卡西首先求出sin72°和sin60°的值,以求sin12°=sin（72°－60°）的值,再用半角公式求sin3°的值,由三倍角公式得出sin3°=3sinl°－4sin31°,即sinl°是三次方程sin3°=3x—4x3的解.阿尔·卡西用相当于牛顿迭代法的算法：

早期阿尔卡西的生活并不富裕，以致到处流浪兼职来谋生，直到1418年，他才在撒马尔干的一所学校内谋得职位，就在此时，阿尔卡西开始对于数学有极重大的贡献。

1942年，他逼近圆周率近似值精确至小数点一下十六位，他是采取与阿基米德同样的方式打破。

，以圆内接多边形的周长来逼近圆周长来算的，在人类研究圆周率的历史上留下辉煌的一页。

他这个记录保持了近两百年，在十七世纪初期才由荷兰数学家卢道夫另外1427年他撰写了关于算术、代数及测量的作品《算数者之论》，书中对于十进位计数系统、数的开高次方根、及求解代数问题皆有详细论述。

正弦函数sinl°的近似值，就目前所知是他在1929年过世前最后作品。

如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变。

1201年纳西尔·丁出生于伊朗的图斯，生于十字军和蒙古人的侵占时代，是一位知识渊博的学者。

由于蒙古伊儿汗帝国的君主旭烈兀十分重视科学文化，纳西尔·丁受到他的的礼遇，他建议在马拉盖建造大型天文台，得到旭烈兀的允许和支持，其后他一直在这里从事天文观测与研究。

他的天文学著作《伊儿汗天文表》（1271）是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51″/每年。

其《天文宝库》则对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。

他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著。

所谓完全四边形，即指平面上的两两相交的四条直线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。

该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理。

讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系（C为直角）

cosc=cosacosb;cosc=cotAcotB;

cosA=cosasinB;cosA=tanbcotC;

sinb=sincsinB；sinb=tanacotB。

并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形。

他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一个重要标志。

纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用。

纳西尔丁也常被称为阿尔图斯，源于他的诞生地图斯．图斯是当时阿拉伯的文化中心之一，出现过许多知名学者．纳西尔丁的父亲是图斯伊斯兰教什叶派的法理学家．纳西尔丁早年跟随父亲学习宗教，又跟随住在同一城市的舅舅学习逻辑学、自然哲学和玄学，同时接受了代数学和几何学的教育．后来到内沙布尔深造，受到正规教育．内沙布尔当时也是阿拉伯的主要学术中心之一，人才荟萃．纳西尔丁的老师达马德是阿拉伯著名哲学家、科学家伊本西那（拉丁名阿维森纳）的第5代门徒，因此纳西尔丁能够读到伊本西那流传下来的课本，并开始研究医学和数学，逐渐成名．

此时蒙古人正大举西进，阿拉伯帝国已到末日，人心惶惶．为了寻求宁静的学者生活，纳西尔丁应伊斯梅利要塞统治者穆赫塔希姆邀请，于1232年前到了那里，辗转于库希斯坦、阿拉穆特等要塞居住，写下一批数学、哲学、伦理学和逻辑学方面的论著．

1256年蒙古远征首领旭烈兀（约1217-1265，成吉思汗之孙）征服波斯北方，占领了阿拉穆特等要塞．旭烈兀喜爱天文学，因而敬重天文学家．他将纳西尔丁收入朝中，担任科学顾问，并奉以厚薪．1258年纳西尔丁随旭烈兀远征巴格达．后来又到过伊拉克什叶派中心城镇希拉等地．旭烈兀建立伊儿汗国后，经旭烈兀批准，纳西尔丁于1259年在迈拉盖（今伊朗西北部大不里士城南）开始建造天文台，后担任该天文台的科学领导工作．他招贤纳士，著书立说，使迈拉盖天文台成为当时的重要学术中心．他还制作了许多先进的天文观测仪器，进行了精密的观测，于1271年完成《伊儿汗历数书》的编制工作．1274年纳西尔丁在巴格达患病．一月后逝于巴格达附近的卡济迈因，葬于距巴格达几英里处的7世纪伊斯兰什叶派首领穆萨阿尔卡济姆陵墓附近．

　纳西尔丁在数学上主要有三部著作，分别论述算术、几何和三角学．

　　《算板与沙盘计算方法集成》主要讲算术．他继承了阿拉伯数学家、天文学家奥马海亚姆的算术成果，将数的研究扩展到无理数等领域，并在书中采用了印度数码．该书还涉及帕斯卡三角形，即二项式系数构成的三角形．它在阿拉伯国家最早是由11世纪数学家凯拉吉（al－Karajī）构造出来的，纳西尔丁可能受此启发而载述．书中还讨论了求一个数的四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法的最早论著．纳西尔丁与他在迈拉盖的同事一起发展的计算技术后来由卡西等数学家继续研究，取得若干重要成果．数论中“两个奇平方数的和不可能是一个平方数”这一定理归功于纳西尔丁．

　　《令人满意的论著》主要论述几何学，特别是欧几里得平行公设．此外，纳西尔丁曾两次修订和注释欧几里得的《几何原本》，同样对平行公设作了较深入的探讨．欧几里得平行公设是阿拉伯数学家研究几何学的主要内容，塔比伊本库拉、奥马海亚姆等人都对此做出过贡献．纳西尔丁试图利用欧几里得的其他公理和公设证明第五公设（即平行公设），他沿用奥马海亚姆的四边形方法，假设一个四边形ABCD中，AB和CD相等且均垂直于BC边，∠A与∠D相等他证明了如果∠A与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°．这正是非欧几何中罗氏几何的基本命题．纳西尔丁在有关平行公设的论述中得到一系列与平行公设等价的命题，成为非欧几何前史的重要里程碑．他的工作由意大利数学家G．萨凯里等人发扬光大，并最终导致19世纪非欧几何学的建立．

　　《横截线原理书》被称为是纳西尔丁最重要的数学论著，主要研究三角学．书名的字面意思为“由截线组成的图形”，其中的图形指“完全四边形”，即四根直线，或是球面上四个大圆弧的总合，要求任一直线或弧都与其余直线或大圆弧相交于三点，因此该论著也常被译为《论完全四边形》．这是数学史上流传至今的最早的三角学专著．在此之前，三角学知识散见于天文学论著中，是附属于天文学的一种计算方法．纳西尔丁的工作开始使三角学脱离天文学，使之成为纯粹数学的一个独立分支．

　　《横截线原理书》共分5卷．卷1为了论述三角学的需要而发展了希腊数学中的比例论．纳西尔丁从比的乘积的定义出发，认为每一个比都是一个数，从而成对的比值遵循乘法的交换律．他还给出合成比的一系列性质，扩展了数的运算；卷2论述完全四边形，给出与之相关的一些定理的证明；卷3论述平面三角函数，用平面圆定义了弧的正弦，并首次明确陈述了正弦定理。

卷4论述球面完全四边形；卷5对球面三角形进行分类，引入了除弧的正弦外其他5种球面三角函数概念，第一次给出球面直角三角形中的6种边角关系式：

设c是该三角形的斜边，则有cosc=cosa·cosb，cotA=tanb·costc，cosc=cotA·cotB，sinb＝sinc·sinB，cosA＝cosa·sinB，sinb=tana·cotA，这实际已表明，由球面三角形的三个角，可以求得其三边；由三条边亦可求得三个角．这是平面三角与球面三角差异的重要标志．纳西尔丁没有借用古希腊的门纳劳斯定理或有关的天文学知识，开始了对三角函数本身的研究．他还借助球面极三角形来求解一般的球面三角形．他的著作于15世纪传入欧洲，促进了三角学的创立和传播．

除了欧几里得《几何原本》外，纳西尔丁还修订和注释过古希腊数学家、天文学家奥托利科斯、阿利斯塔克、阿波罗尼奥斯、阿基米德、许普西克勒斯、西奥多修斯、门纳劳斯和托勒密等人的著作，其中一些成为当时学生学习数学的教本，在伊斯兰世界广泛流传．

与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的。

例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式sin2a+cos2a=1作代数运算而求解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步。

他们和印度人一样，用弧的正弦而不用双倍弧的弦，正弦（或半弦）的单位取决于半径的单位。

与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。

但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花。

最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，对第五公设产生了兴趣，不少人试图证明这条公设，如焦赫里（约830）、塔比·伊本·库拉（约826－901）、伊本·海塞姆（965－1040？

）、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁等人。

　奥马出生之前，西亚地区政局动荡不安．11—12世纪，塞尔柱突厥人在那里建立一个庞大但不稳固的军事帝国，占有两河流域和现在的伊朗、叙利亚、巴勒斯坦、格鲁吉亚、亚美尼亚等地．奥马早年在家乡受教育，以后成为一名家庭教师，生活是清苦的，没有很多闲暇去从事科学研究．奥马在他的《代数学》中写道：

“我不能集中精力去学习这种‘代数学’，时局的变乱阻碍着我，……．”尽管如此，奥马仍然写出了颇有价值的《算术问题》）和一本关于音乐的小册子．

　1070年左右，奥马来到撒马尔罕（今属乌兹别克）．在当地统治者阿布·塔希尔的庇护下，奥马写成他的主要代数著作《还原与对消问题的论证》，简称《代数学》．不久，他又接受塞尔柱苏丹（最高统治者的称号）杰拉勒丁·马利克沙（1055—1092）和他的大臣尼赞·穆勒克的邀请，前往伊斯法罕（今伊朗西部），管理那里的天文台，进行历法改革．他在那里工作了18年之久．这是他一生中最安谧的日子．

　　1092年，政治气候突变，马利克沙去世，庇护人尼赞·穆勒克遭到暗杀，奥马备受冷遇．马利克沙的第二个妻子土坎·哈通）接替执政二年，对奥马很不友善，撤消了天文台的资助，研究工作被迫止，历法改革半途而废．奥马虽已失去昔日的恩宠，但仍留在塞尔柱的宫廷里，尽力劝说马利克沙的继承者重新支持天文台和开展一般的科学研究．他描述伊朗古代的统治者宽宏大量，尊重学者，致力于兴办教育，发展科学，为文化事业立下不朽的功勋．

　　奥马始终未能说服当权者．1118年，马利克沙的第三子桑贾尔（1084？

—1157）登上王位．奥马离开伊斯法罕，到塞尔柱王朝的新首都梅尔夫[今马雷，属土库曼]．他和弟子们一起写了《智慧的天平》等书，研究如何利用金属比重去确定合金的成分，所用方法是纯粹代数的．这问题源出于阿基米德的研究．

　　奥马是一个渊博的科学家，但在西方却以诗人而闻名．他写了很多四行诗，其中透露出无神论的自由思想．这在他的一生中导致很多麻烦．晚年的时候，他甚至到麦加去朝觐，力图洗刷人们对他的无神论的指控．

　奥马在伊斯法罕期间，领导一批天文学家编制天文表，为了纪念庇护人，定名为《马利克沙天文表》，现在只有一小部分流传下来，其中包括黄道坐标表和100颗最亮星的星表等．

　天文台更重要的工作是进行历法改革．波斯地区自古以来就使用阳历，公元前1世纪施行琐罗亚斯德教（中国史称祆教、拜火教）的阳历，定一年为365天，分12个月．萨珊王朝（公元226—621年）定阳历为官历。

阿拉伯人征服这个地区以后，实行伊斯兰教的阴历．这种历分一年为12个月，6个大月，6个小月，大月30天，小月29天，全年354天．闰年增加一个闰日成为355天，30年加11个闰日．阴历一年和实际的回归年365.2422日相差约11天，因此和四季是不合拍的，这对农业很不方便．奥马时代，波斯人继续使用传统的阳历，但因置闰的方法不精，渐渐产生误差．有识之士看到，历法要符合天时，必须进行根本的改革．

　马利克沙执政后，在伊斯法罕兴建天文台，聘请以奥马为首的一群天文学家去完成改革的任务．奥马提出在平年365天的基础上，每33年365.2422日仅相差19.37秒钟，积4460年才差1天．而现行的公历（格里历）400年置97个闰日，历年长365.2425日，3333年差1天．

　值得注意的是，如将0.2422展成连分数，可知各个渐近分数是

　128年差1天．第2个分数是29年7闰，1218年差1天．根据有理逼近的理论，比奥马闰法（33年8闰）更精密的闰法有95年23闰，1万年以上才差1天．如果限定周期小于95年，那么33年8闰就是最佳的选择．这表明奥马有较高的理论水平．他以1079年3月16日为历法的起点，定名为“马利克纪元”或“杰拉勒纪元”．可惜改历工作随着领导人的死亡而夭折．

　伊斯兰教的阴历主要用于宗教，它最大的缺点是和寒暑完全脱节，夏天有时在1月，有时在6月．而奥马改革后的阳历和四季是一致的．

生平贡献：

提出开高次方根

奥马在《代数学》一书中写道：

“印度人有他们自己的开平方、开立方方法，……我写过一本书，证明他们的方法是正确的．我并加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．这些代数的证明仅仅以《几何原本》的代数部分为根据．”

这里所说他写的书可能就是《算术问题》．现在莱顿大学藏有奥马著作的手稿，但只有《算术问题》的封面，内容已遗失．

奥马所了解的“印度算法”，实际来自两本较早的书．一本是吉利的《印度计算原理》；另一本是奈塞维的《印度计算必备》．然而这些书所记述的开平方、开立方法和印度文献所载的相去颇远，倒是和中国古代的方法密近．中国的《九章算术》早已给出开平方、开立方的完整法则，并推广用于方程的数值解．伊斯兰数学很可能受到中国直接或间接的影响，因为自古以来丝绸之路就是中国和中亚的交通要道．不过由于他们使用了10个印度数码，于是被误认为“印度算法”．

在现存的阿拉伯文献中，最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是纳西尔丁编纂的《算板与沙盘算术方法集成》．他没有指出发明者，但他非常熟悉奥马的工作，故很可能来自奥马．

用圆锥曲线解三次方程

　中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索．最值得称道的是奥马海亚姆用圆锥曲线来解三次方程．这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯，事实上他就是为了解决倍立方问题（相当于三次方程x3=2a3）而发现圆锥曲线的．后来阿基米德在《论球与圆柱》卷2命题4提出这样的问题：

用一平面把球截成两部分，使这两部分的体积成定比．这问题导致三次方程x2（a-x）=bc2．

解法的要点是求两条圆锥曲线的交点，一条是双曲线（a－x）y=ab，另一条是抛物线ax2=c2y．

阿基米德的“平面截球问题”引起阿拉伯数学家的极大兴趣．巴格达的马哈尼最先试图用代数方法去解，但没有成功．后来哈津用圆锥曲线来解．研究这问题的还有库希、伊本·海塞姆、艾布尔·朱德等．

奥马的功劳，在于考虑了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系数也只限于正数，因此三次方程有各种不同的类型．他将一、二、三次方程归结为25类，属于三次方程的14类：

缺一、二次项的x3=a；缺二次项的3类：

x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次项的3类：

x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺项的7类：

x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．

每一类都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根．奥马在《代数学》中，专门阐述了方程的几何解法．1851年，F．韦普克将此书从阿拉伯文译成法文，书名为《奥马海亚姆代数学》．以后又有D．S．卡西尔英译校订本《奥马海亚姆代数学》．下面取出其中的一个例子，用现代术语和符号来分析奥马的方法（文献[1]，p．75）．

要解的方程是

x3+ax=b．

（1）

按照希腊人的观点，将一个数看作一个线段，那么两个数之积就是矩形，三个数之积是长方体．同维数的量才能相加，所以先将方程改成齐次的形式

x3+c2x=c2h．

（2）

右端c2h表示一个以c，c，h为边的长方体．

用解析几何的语言来说，方程

（2）的根就是抛物线

x2=cy（3）

和半圆周

y2=x（h-x）（4）

　交点的横坐标x．因为从（3），（4）两式消去y，就得到

（2）．

此题在原书中是第6章第1题，完全用文字叙述，没有方程的形式．方程

（2）表述为“立方与边（根）等于一个数”．解题的步骤是：

以BO=h为直径作半圆BPO，作AOD⊥BO，以O为顶点，OA=C为参数”（正焦弦）作抛物线POQ交半圆周于P．作PD⊥AD，PE⊥BO，则PD就是

（2）的根（图1）．

事实上，记PD=x，PE=y，在半圆内，

PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x（h-x），

根据抛物线的性质，

PD2=x2=OA·PE=cy，

这正是（3），（4）两式．

奥马曾探索过三次方程的算术（代数）解法，但没有成功．他在《代数学》中写道：

“对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程，也许后人能够