H负指数幂的运算法则指数与指数幂的运算.docx
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H负指数幂的运算法则指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算
备课人:
余巍巍
【学习目标】理解指数的含义及指数幂的运算.
【自主梳理】
叫做根式n叫做根指数,
叫做被开方数.
【重点领悟】
根式的性质:
(1)当n为奇数时,
,();
(2)当n为偶数时,,();
,().
注意:
当n为偶数时,
包含两个隐含条件①;②.
【探究提升】
∙分数指数幂:
;
∙0指数幂:
,;
∙负指数幂:
,.
【学法引领】
幂运算法则:
(1),;
(2),;
(3).
【巩固训练】
1.化简下列各式:
(1)
=______________;
(2)
=______________.
5.设a≥0,化简:
=____________,由此推广可得:
=________(m,n,p∈N*).
6.若8<x<12,则
+
=
7.设a,b∈R,下列各式总能成立的是( )
A.(
-
)6=a-b
B.
=a2+b2
C.
-
=a-b
D.
=a+b
10.已知0<2x-1<3,化简
+2|x-2|.
【知识网络】
∙根式的定义:
叫做根式n叫做根指数,
叫做被开方数.
∙根式的性质:
∙当n为奇数时,
,();
∙当n为偶数时,,();
,().
注意:
当n为偶数时,
包含两个隐含条件①;②.
1.根式与指数幂的转化:
∙分数指数幂:
;
∙0指数幂:
,;
∙负指数幂:
,.
4.幂运算法则:
(1),;
(2),;
(3).
【学习反思】
1.进行指数幂运算时,要将指数化为正指数,还要善于利用幂的运算法则.
2.注意根式运算与有理数指数幂的相互转化.
3.利用指数幂的运算性质进行化简变化时,要注意次序.
4.含有绝对值或偶次方根的运算,必要时需要分类讨论.
2015年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题(每小题2分,共16分)
1.(2分)(2015•潜江)﹣3的绝对值是( )
A.
3
B.
﹣3
C.
D.
2.(2分)(2015•常州)要使分式有意义,则x的取值范围是( )
A.
x>2
B.
x<2
C.
x≠﹣2
D.
x≠2
3.(2分)(2015•常州)下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.(2分)(2015•常州)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是( )
A.
70°
B.
60°
C.
50°
D.
40°
5.(2分)(2015•常州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )
A.
AO=OD
B.
AO⊥OD
C.
AO=OC
D.
AO⊥AB
6.(2分)(2015•常州)已知a=,b=,c=,则下列大小关系正确的是( )
A.
a>b>c
B.
c>b>a
C.
b>a>c
D.
a>c>b
7.(2分)(2015•常州)已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是( )
A.
m=﹣1
B.
m=3
C.
m≤﹣1
D.
m≥﹣1
8.(2分)(2015•常州)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( )
A.
cm2
B.
8cm2
C.
cm2
D.
16cm2
二、填空题(每小题2分,共20分)
9.(2分)(2015•常州)计算(π﹣1)0+2﹣1= .
10.(2分)(2015•常州)太阳半径约为696000千米,数字696000用科学记数法表示为 .
11.(2分)(2015•常州)分解因式:
2x2﹣2y2= .
12.(2分)(2015•常州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是 .
13.(2分)(2015•常州)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD:
DB=1:
2,DE=2,则BC的长是 .
14.(2分)(2015•常州)已知x=2是关于x的方程a(x+1)=a+x的解,则a的值是 .
15.(2分)(2015•常州)二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 .
16.(2分)(2015•常州)如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 .
17.(2分)(2015•常州)数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想.
4=2+2; 12=5+7;
6=3+3; 14=3+11=7+7;
8=3+5; 16=3+13=5+11;
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11;
…
通过这组等式,你发现的规律是 (请用文字语言表达).
18.(2分)(2015•常州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是 .
三、解答题(共10小题,共84分)
19.(6分)(2015•常州)先化简,再求值:
(x+1)2﹣x(2﹣x),其中x=2.
20.(8分)(2015•常州)解方程和不等式组:
(1);
(2).
21.(8分)(2015•常州)某调查小组采用简单随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下的统计图:
(1)该调查小组抽取的样本容量是多少?
(2)求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数,并补全占频数分布直方图;
(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.
22.(8分)(2015•常州)甲,乙,丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛,他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.
(1)求甲第一个出场的概率;
(2)求甲比乙先出场的概率.
23.(8分)(2015•常州)如图,在▱ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形.
(1)求证:
AE=AF;
(2)求∠EAF的度数.
24.(8分)(2015•常州)已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元;中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是:
不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费.
(1)求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式;
(2)如果小张这天外出的消费还包括:
中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学?
为什么?
25.(8分)(2015•常州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;
(2)若AB+CD=2+2,求AB.
26.(10分)(2015•常州)设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.
(1)阅读填空
如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.
理由:
连接AH,EH.
∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°.
∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽ .
∴,即DH2=AD×DE.
又∵DE=DC
∴DH2= ,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.
(2)操作实践
平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.
如图②,请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).
(3)解决问题
三角形的“化方”思路是:
先把三角形转化为等积的 (填写图形名称),再转化为等积的正方形.
如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).
(4)拓展探究
n边形(n>3)的“化方”思路之一是:
把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.
如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).
27.(10分)(2015•常州)如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.
(1)写出点A的坐标;
(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.
28.(10分)(2015•常州)如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:
△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
2015年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题2分,共16分)
1.(2分)(2015•潜江)﹣3的绝对值是( )
A.
3
B.
﹣3
C.
D.
考点:
绝对值.菁优网版权所有
分析:
根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出.
解答:
解:
|﹣3|=﹣(﹣3)=3.
故选:
A.
点评:
考查绝对值的概念和求法.绝对值规律总结:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
2.(2分)(2015•常州)要使分式有意义,则x的取值范围是( )
A.
x>2
B.
x<2
C.
x≠﹣2
D.
x≠2
考点:
分式有意义的条件.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据分式有意义得到分母不为0,即可求出x的范围.
解答:
解:
要使分式有意义,须有x﹣2≠0,即x≠2,
故选D.
点评:
此题考查了分式有意义的条件,分式有意义的条件为:
分母不为0.
3.(2分)(2015•常州)下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
轴对称图形.菁优网版权所有
分析:
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案.
解答:
解:
A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项正确;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选:
B.
点评:
本题考查了轴对称图形,掌握轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
4.(2分)(2015•常州)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是( )
A.
70°
B.
60°
C.
50°
D.
40°
考点:
平行线的性质;垂线.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由BC与AE垂直,得到三角形ABC为直角三角形,利用直角三角形两锐角互余,求出∠A的度数,再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数.
解答:
解:
∵BC⊥AE,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,∠B=40°,
∴∠A=90°﹣∠B=50°,
∵CD∥AB,
∴∠ECD=∠A=50°,
故选C.
点评:
此题考查了平行线的性质,以及垂线,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
5.(2分)(2015•常州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )
A.
AO=OD
B.
AO⊥OD
C.
AO=OC
D.
AO⊥AB
考点:
平行四边形的性质.菁优网版权所有
分析:
根据平行四边形的性质:
对边平行且相等,对角线互相平分进行判断即可.
解答:
解:
对角线不一定相等,A错误;
对角线不一定互相垂直,B错误;
对角线互相平分,C正确;
对角线与边不一定垂直,D错误.
故选:
C.
点评:
本题考查度数平行四边形的性质,掌握平行四边形的对边平行且相等,对角线互相平分是解题的关键.
6.(2分)(2015•常州)已知a=,b=,c=,则下列大小关系正确的是( )
A.
a>b>c
B.
c>b>a
C.
b>a>c
D.
a>c>b
考点:
实数大小比较.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
将a,b,c变形后,根据分母大的反而小比较大小即可.
解答:
解:
∵a==,b==,c==,且<<,
∴>>,即a>b>c,
故选A.
点评:
此题考查了实数比较大小,将a,b,c进行适当的变形是解本题的关键.
7.(2分)(2015•常州)已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是( )
A.
m=﹣1
B.
m=3
C.
m≤﹣1
D.
m≥﹣1
考点:
二次函数的性质.菁优网版权所有
分析:
根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.
解答:
解:
抛物线的对称轴为直线x=﹣,
∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,
∴﹣≤1,
解得m≥﹣1.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的增减性,熟记性质并列出不等式是解题的关键.
8.(2分)(2015•常州)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( )
A.
cm2
B.
8cm2
C.
cm2
D.
16cm2
考点:
翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
分析:
当AC⊥AB时,重叠三角形面积最小,此时△ABC是等腰直角三角形,面积为8cm2.
解答:
解:
如图,当AC⊥AB时,三角形面积最小,
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm,
∴S△ABC=×4×4=8cm2.
故选:
B.
点评:
本题考查了折叠的性质,发现当AC⊥AB时,重叠三角形的面积最小是解决问题的关键.
二、填空题(每小题2分,共20分)
9.(2分)(2015•常州)计算(π﹣1)0+2﹣1= 1 .
考点:
负整数指数幂;零指数幂.菁优网版权所有
分析:
分别根据零指数幂,负整数指数幂的运算法则计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
解答:
解:
(π﹣1)0+2﹣1
=1+
=1.
故答案为:
1.
点评:
本题主要考查了零指数幂,负整数指数幂的运算.负整数指数为正整数指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1.
10.(2分)(2015•常州)太阳半径约为696000千米,数字696000用科学记数法表示为 6.96×105 .
考点:
科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
专题:
应用题.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.本题中696000有6位整数,n=6﹣1=5.
解答:
解:
696000=6.96×105.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
11.(2分)(2015•常州)分解因式:
2x2﹣2y2= 2(x+y)(x﹣y) .
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
分析:
先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
解答:
解:
2x2﹣2y2=2(x2﹣y2)=2(x+y)(x﹣y).
故答案为:
2(x+y)(x﹣y).
点评:
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.
12.(2分)(2015•常州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是 27π .
考点:
扇形面积的计算.菁优网版权所有
分析:
利用弧长公式即可求扇形的半径,进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积.
解答:
解:
设扇形的半径为r.
则=6π,
解得r=9,
∴扇形的面积==27π.
故答案为:
27π.
点评:
此题主要考查了扇形面积求法,用到的知识点为:
扇形的弧长公式l=;扇形的面积公式S=.
13.(2分)(2015•常州)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD:
DB=1:
2,DE=2,则BC的长是 6 .
考点:
相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
由平行可得对应线段成比例,即AD:
AB=DE:
BC,再把数值代入可求得BC.
解答:
解:
∵DE∥BC,
∴,
∵AD:
DB=1:
2,DE=2,
∴,
解得BC=6.
故答案为:
6.
点评:
本题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键.
14.(2分)(2015•常州)已知x=2是关于x的方程a(x+1)=a+x的解,则a的值是 .
考点:
一元一次方程的解.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
把x=2代入方程计算即可求出a的值.
解答:
解:
把x=2代入方程得:
3a=a+2,
解得:
a=.
故答案为:
.
点评:
此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
15.(2分)(2015•常州)二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 (1,﹣2) .
考点:
二次函数的性质.菁优网版权所有
分析:
此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其顶点的坐标.
解答:
解:
∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣(x2﹣2x+1)﹣2
=﹣(x﹣1)2﹣2,
故顶点的坐标是(1,﹣2).
故答案为(1,﹣2).
点评:
本题考查了二次函数的性质,求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法,②配方法.
16.(2分)(2015•常州)如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 (400,800) .
考点:
勾股定理的应用;坐标确定位置;全等三角形的应用.菁优网版权所有
分析:
根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB(SAS),进而得出C,A,D也在一条直线上,求出CD的长即可得出C点坐标.
解答:
解:
连接AC,
由题意可得:
AB=300m,BC=400m,
在△AOD和△ACB中
∵,
∴△AOD≌△ACB(SAS),
∴∠CAB=∠OAD,
∵B、O在一条直线上,
∴C,A,D也在一条直线上,
∴AC=AO=500m,则CD=AC=AD=800m,
∴C点坐标为:
(400,800).
故答案为:
(400,800).
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理,得出C,A,D也在一条直线上是解题关键.
17.(2分)(2015•常州)数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想.
4=2+2; 12=5+7;
6=3+3; 14=3+11=7+7;
8=3+5; 16=3+13=5+11;
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11;
…
通过这组等式,你发现的规律是 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和 (请用文字语言表达).
考点:
规律型:
数字的变化类.菁优网版权所有
分析:
根据以上等式得出规律进行解答即可.
解答:
解:
此规律用文字语言表达为:
所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和,
故答案为:
所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
点评:
此题考查规律问题,关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可.
18.(2分)(2015•常州)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是 .
考点:
全等三角形的判定与性质;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.菁优网版权所有
分析:
过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°,推出=,求出∠BAC=∠DAC,BC=CD,求出CE=CF,根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE,证△CBE≌△CDF,推出BE=DF,证△AEC≌△AFC,推出AE=AF,设BE=DF=x,得出5=x+3+x,求出x,解直角三角形求出即可.
解答:
解:
过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°,
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