江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书文苏教版.docx
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江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书文苏教版
2.4二次函数与幂函数
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增;
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于x=-对称
2.幂函数
(1)定义:
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②幂函数的图象过定点(1,1);
③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
【知识拓展】
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.
2.幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( × )
(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(4)函数y=是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
1.(教材改编)若幂函数f(x)的图象经过点(2,2),则f(9)=________.
答案 27
解析 设f(x)=xα,则2α=2,
∴α=,∴f(x)=.∴f(9)==27.
2.(教材改编)设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值和为__________.
答案 4
解析 当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数;当α=-1时,y=的定义域是{x|x≠0,x∈R};当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.
∴满足题意的a值为1和3,其和为4.
3.(教材改编)函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f
(1)=______.
答案 -3
解析 f(x)=2(x-)2+3-,由题意=2,
∴m=8,∴f
(1)=2×12-8×1+3=-3.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].
5.(教材改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为________;在区间________上单调递减.
答案 y= (0,+∞)
解析 设f(x)=xa,则2a=,∴a=-,即幂函数的解析式为y=,单调减区间为(0,+∞).
题型一 求二次函数的解析式
例1
(1)(2016·南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
解 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
又f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1,
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
答案
(1)x2+2x+1
(2)-2x2+4
解析
(1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,
由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,
故f(x)=x2+2x+1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,
∴-a=-(-),即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,
又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是__________.
答案 [-3,0]
解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,
由f(x)在[-1,+∞)上递减知
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
引申探究
若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.
答案 -3
解析 由题意知a<0,又=-1,
∴a=-3.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.
解
(1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,
∴f(x)min=f
(1)=-2.
(2)当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上
且对称轴为x=.
①当0<≤1,即a≥1时,
f(x)=ax2-2x的对称轴在[0,1]内,
∴f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.
∴f(x)min=f()=-=-.
②当>1,即0 ∴f(x)在[0,1]上单调递减. ∴f(x)min=f (1)=a-2. (3)当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向下 且对称轴x=<0,在y轴的左侧, ∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f (1)=a-2. 综上所述,f(x)min= 命题点3 二次函数中的恒成立问题 例4 (1)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________. 答案 解析 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 当x=0时,-3<0,成立; 当x≠0时,a<2-, 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 当x=1时,右边取最小值,所以a<. 综上,实数a的取值范围是. (2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若t2-kt-1≤0在t∈[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围. 解 求二次函数f(t)=t2-kt-1在给定区间[-1,1]上的最大值M,二次函数f(t)的图象的对称轴为直线t=2k. ①当2k∈[-1,1],即k∈[-,]时,M=f(-1)或f (1),由M≤0,得f(-1)≤0且f (1)≤0,解得-≤k≤,又k∈[-,],故-≤k≤; ②当2k<-1,即k<-时,函数f(t)在[-1,1]上单调递增,故M=f (1)=-k-1,由M≤0,得k≥-,又k<-,故-≤k<-; ③当2k>1,即k>时,函数f(t)在[-1,1]上单调递减,故M=f(-1)=+k-1, 由M≤0,得k≤, 又k>,故 综上知,实数k的取值范围为[-,]. 思维升华 (1)二次函数最值问题的解法: 抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路: 一是分离参数;二是不分离参数. ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是: a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1 答案 解析 由题意得a>-对1 又-=-22+,<<1, ∴max=,∴a>. (2)已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值. 解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1. 综上,当-2 当a>1时,ymin=-1. 题型三 幂函数的图象和性质 例5 (1)若(2m+1)>(m2+m-1),则实数m的取值范围是__________. 答案 解析 因为函数y=x的定义域为[0,+∞) 且在定义域内为增函数, 所以不等式等价于 解2m+1≥0,得m≥-; 解m2+m-1≥0,得m≤或m≥; 解2m+1>m2+m-1,得-1 综上所述,m的取值范围是≤m<2. (2)已知函数f(x)=x-m+3(m∈N*)是偶函数,且f(3) 解 由f(3) 所以()-m+3<1=()0. 因为y=()x是减函数, 所以-m+3>0.解得m<3. 又因为m∈N*,所以m=1或2; 当m=2时,f(x)=x-m+3=x为奇函数, 所以m=2舍去. 当m=1时,f(x)=x-m+3=x2为偶函数, 所以m=1,此时f(x)=x2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4,2),若0 ①f(a) ②f() ③f(a) ④f() 答案 ③ 解析 设幂函数为f(x)=xα,将(4,2)代入得α=, 所以f(x)=x,该函数在(0,+∞)上为
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