学年八年级上《第1章三角形的初步认识》习题含答案.docx
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学年八年级上《第1章三角形的初步认识》习题含答案
2017-2018学年八年级上《第1章三角形的初步认识》习题含答案
第1章 三角形的初步知识
1.1 认识三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
01 基础题
知识点1 三角形及相关概念
1.
(1)如图,点D在△ABC内,写出图中所有除△ABC外的三角形:
△ABD,△ACD,△BCD;
(2)在△ACD中,∠ACD所对的边是AD;在△ABD中,边AD所对的角是∠ABD.
知识点2 三角形内角和定理
2.(温州校级期中)在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的度数是(B)
A.40°B.60°
C.80°D.100°
3.如图,一个长方形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是(C)
A.30°B.60°
C.90°D.120°
第3题图 第4题图
4.(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为(A)
A.75°B.60°
C.65°D.55°
知识点3 三角形按角的大小分类
5.(诸暨期末)在△ABC中,若∠A=35°,∠B=55°,则△ABC为(C)
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.任意三角形
6.如图,图中有6个三角形,其中,△ABC,△ACD是锐角三角形,△ACE,△ABE,△ADE是直角三角形,△ABD是钝角三角形.
知识点4 三角形的三边关系
7.(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是(C)
A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm
8.(盐城中考)若a,b,c为△ABC的三边长,且满足|a-4|+
=0,则c的值可以为(A)
A.5B.6
C.7D.8
9.如图,从点A到点D有三条路线:
A—B—D,A—C—D,A—D,其中最短的路线是A-D.
10.
(1)在△ABC中,AB=3,AC=4,那么BC边的长度应满足什么条件?
(2)如果一个三角形的两边长分别为5cm,7cm,第三边的长为xcm,且x是一个奇数,求三角形的周长;
(3)如果三角形的三边为连续整数,且周长为24cm,求它的最短边长.
解:
(1)1 (2)三角形的周长为15cm或17cm或19cm或21cm或23cm. (3)它的最短边长为7cm. 02 中档题 11.若a,b,c是三角形的三边长,则化简: |a-b-c|+|a+c-b|-|c-a-b|=(B) A.3a-b-cB.-a-b+3c C.a+b+cD.a-3b+c 12.(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置,若∠1=60°,则∠2的度数为(B) A.85° B.75° C.60° D.45° 13.(义乌模拟)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为(D) A.6B.7 C.8D.9 第13题图 第14题图 14.(温州八中期中)如图,△ABC中,∠DBC= ∠ABC,∠DCB= ∠ACB,∠A=45°,则∠BDC=135°. 15.在农村电网改造中,四个自然村分别位于如图所示的A,B,C,D处,现计划安装一台变压器,使到四个自然村的输电线路的总长最短,那么这个变压器安装在AC,BD的交点E处,你知道为什么吗? 解: 另任取一点E′(异于点E),分别连结AE′,BE′,CE′,DE′, 在△BDE′中,DE′+BE′>DB. 在△ACE′中,AE′+CE′>AC. ∴AE′+BE′+CE′+DE′>AC+BD, 即AE+BE+CE+DE最短. 16.(杭州期中改编)若三角形的周长为18,且三边都是整数,则满足条件的三角形有多少个? 分别写出三角形的三边长. 解: 满足条件的三角形共有7个.三边长分别是8,8,2;8,7,3;8,6,4;8,5,5;7,7,4;7,6,5;6,6,6. 03 综合题 17.观察并探求下列各问题: (1)如图1,在△ABC中,点P为边BC上一点,则BP+PC (2)将 (1)中的点P移到△ABC内,得图2,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由; (3)将 (2)中的点P变为两个点P1,P2,得图3,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. 解: (2)△BPC的周长<△ABC的周长. 理由如下: 延长BP交AC于点M. 在△ABM中,BP+PM 在△PMC中,PC 两式相加,得BP+PC ∴BP+PC+BC 即△BPC的周长<△ABC的周长. (3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长, 理由如下: 分别延长BP1,CP2交于点M. 由 (2)知,BM+CM 又∵P1P2 ∴BP1+P1P2+P2C ∴BP1+P1P2+P2C+BC 即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长. 第2课时 三角形的重要线段 01 基础题 知识点1 三角形的角平分线 1.在△ABC中,∠B=60°,AD是△ABC的角平分线,∠DAC=31°,则∠C的度数为(D) A.62°B.60° C.92°D.58° 2.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的个数为(B) ①AD平分∠BAF;②AF平分∠DAC;③AE平分∠DAF;④AE平分∠BAC. A.1B.2C.3D.4 第2题图 第3题图 3.(邵阳中考)如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是(C) A.45°B.54° C.40°D.50° 知识点2 三角形的中线 4.如图所示,点D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(C) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.在△CDE中,∠C的对边是DE 5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1)若BC=6cm,则CD=3cm; (2)若CD=acm,则BC=2acm; (3)若S△ABD=8cm2,则S△ACD=8cm2. 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,已知AB=7cm,AC=5cm,则△ABD和△ACD的周长差为2cm. 知识点3 三角形的高线 7.(杭州上城区期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是(D) 8.如图,△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,图中线段可以作为△ABC的高的有(B) A.2条B.3条 C.4条D.5条 第8题图 第9题图 9.(嘉兴桐乡实验中学期中)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=110°,AD是BC边上高线,AE平分∠BAC,则∠DAE的度数为40°. 10.(温州新城学校初中部月考)如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点H,若∠BHC=110°,则∠A等于70°. 02 中档题 11.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质(D) A.是∠BAB′的平分线 B.是边BB′上的高 C.是边BB′上的中线 D.以上三种线重合 第11题图 第12题图 12.如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,则∠ADB的度数为(D) A.40°B.60° C.80°D.100° 13.(绵阳中考)如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=(C) A.118°B.119°C.120°D.121° 第13题图 第14题图 14.(温州永嘉县岩头中学期中)如图,在△ABC中,点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S△ABC=8cm2,则阴影部分△AEF的面积为1cm2. 15.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12cm和15cm两部分,求三角形的底边BC的长. 解: ①当AB+AD=15cm时, ∵D是AC的中点, ∴AD= AC= AB. ∴AB+AD=AB+ AB=15,解得AB=10cm. ∴AC=10cm. ∴BC=15+12-10×2=7(cm). 此时能构成三角形,且底边长为7cm; ②当AB+AD=12cm时, ∴AB+AD=AB+ AB=12,解得AB=8cm. ∴AC=8cm. ∴BC=15+12-8×2=11(cm). 此时能构成三角形,且底边长为11cm. 综上,底边BC的长为7cm或11cm. 16.如图,在△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC于点E,BD为△ABC的高线,BD=8,求PF+PE的值. 解: 连结PA. ∵S△ABC=S△APB+S△APC, ∴ AC·BD= AB·PF+ AC·PE. ∵AB=AC, ∴BD=PF+PE. ∴PF+PE=8. 03 综合题 17.(嵊州校级期中)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC. (1)若∠BAC=80°,∠C=30°,求∠DAE的度数; (2)若∠B=80°,∠C=40°,求∠DAE的度数; (3)探究: 小明认为如果只知道∠B-∠C=40°,也能得出∠DAE的度数? 你认为可以吗? 若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由. 解: (1)∵∠BAC=80°,∠C=30°, ∴∠B=70°. ∵AD⊥BC, ∴∠BAD=20°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE= ∠BAC=40°. ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°. (2)∵∠B=80°,AD⊥BC, ∴∠BAD=10°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C)= ×60°=30°. ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°. (3)能求得∠DAE= (∠B-∠C)=20°. 理由: ∵AD⊥BC, ∴∠BAD=90°-∠B. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C). ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= (180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)= (∠B-∠C)=20°. 1.2 定义与命题 第1课时 定义与命题 01 基础题 知识点1 定义 1.下列语句中,属于定义的是(C) A.两点之间线段最短 B.三人行,必有我师焉 C.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 D.两条直线相交,只有一个交点 2.下列语句中,属于定义的是(D) A.两点确定一条直线 B.同角或等角的余角相等 C.两直线平行,内错角相等 D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 3.下列语句中,属于定义的有(B) ①含有未知数的等式称为方程;②三角形内角和等于180°;③等式(a+b)2=a2+2ab+b2称为两数和的完全平方公式;④如果a,b为实数,那么(a-b)2=a2-2ab+b2. A.1个B.2个C.3个D.4个 知识点2 命题 4.(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是(C) A.作直线AB的垂线B.在线段AB上取点C C.同旁内角互补D.垂线段最短吗? 5.下列语句中,不是命题的是(A) A.延长线段AB B.自然数也是整数 C.两个锐角的和一定是直角 D.同角的余角相等 6.下列语句中,是命题的是(C) ①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③明天可能要下雪;④同旁内角不互补,两直线不平行;⑤作∠ACB的角平分线. A.①②③B.①②⑤ C.①②③④D.①②④ 7.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题? (1)若a (2)三角形的三条高交于一点; (3)在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B吗? (4)两点之间线段最短; (5)解方程x2-2x-3=0; (6)1+2≠3. 解: (1) (2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题. 知识点3 命题的条件和结论 8.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(D) A.垂直 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线 9.写出下列命题的条件和结论. (1)如果a2=b2,那么a=b; (2)同角或等角的补角相等; (3)同旁内角互补,两直线平行. 解: (1)条件: a2=b2;结论: a=b. (2)条件: 两个角是同角或等角的补角;结论: 这两个角相等. (3)条件: 同旁内角互补;结论: 两直线平行. 10.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式. (1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)绝对值相等的两个数一定相等; (3)每一个有理数都对应数轴上的一个点. 解: (1)在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行. (2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定也相等. (3)如果一个数是有理数,那么这个数一定对应着数轴上的一个点. 02 中档题 11.下列语句中,是命题的是(A) ①若∠1=60°,∠2=60°,则∠1=∠2;②对顶角相等吗? ③画线段AB=CD;④如果a>b,b>c,那么a>c;⑤直角都相等. A.①④⑤B.①②④ C.①②⑤D.②③④ 12.“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序,排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行.”这段话是对名称按行排列进行定义. 13.指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式: (1)对顶角相等; (2)同角的余角相等; (3)三角形的内角和等于180°; (4)角平分线上的点到角的两边距离相等. 解: (1)条件是“两个角是对顶角”, 结论是“这两个角相等”. 可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”. (2)条件是“两个角是同一个角的余角”, 结论是“这两个角相等”. 可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”. (3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”, 结论是“这三个角的和等于180°”. 可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”. (4)条件是“一个点在一个角的平分线上”, 结论是“这个点到这个角的两边距离相等”. 可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等”. 14.用语言叙述这个命题: 如图,AB∥CD,EF交AB于点G,交CD于点H,GM平分∠BGH,HM平分∠GHD,则GM⊥HM. 解: 两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直. 15.观察下列给出的方程,找出它们的共同特征,试给出名称,并作出定义. x3+x2-3x+4=0;x3+x-1=0; x3-2x2+3=x;y3+2y2-5y-1=0. 解: 共同特征: 都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高次数均为3; 名称: 一元三次方程; 定义: 含有一个未知数,且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程. 第2课时 真假命题及定理 01 基础题 知识点1 真命题和假命题 1.下列命题中的真命题是(C) A.锐角大于它的余角 B.锐角大于它的补角 C.钝角大于它的补角 D.锐角与钝角之和等于平角 2.在同一平面内,下列命题中,属于假命题的是(A) A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥c,b∥a,则b⊥c 3.下面给出的四个命题中,假命题是(D) A.如果a=3,那么|a|=3 B.如果x2=4,那么x=±2 C.如果(a-1)(a+2)=0,那么a-1=0或a+2=0 D.如果(a-1)2+(b+2)2=0,那么a=1或b=-2 4.已知四个命题: ①若一个数的相反数等于它本身,则这个数是0; ②若一个数的倒数等于它本身,则这个数是1; ③若一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是1; ④若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数. 其中真命题有(A) A.1个B.2个 C.3个D.4个 5.请在横线上填上适当的词,使所得到的命题是假命题: 相等的角是答案不唯一,如: 对顶角(或直角或平角等). 知识点2 举反例 6.(嵊州期末)对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是(C) A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=50°,∠2=50° C.∠1=∠2=45° D.∠1=40°,∠2=40° 7.(杭州萧山区戴村期中)已知命题A: 任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是(D) A.2kB.15 C.24D.42 8.(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a,b是有理数,那么|a+b|=|a|+|b|”是假命题的反例可以是a=-1,b=3(答案不唯一). 知识点3 基本事实和定理 9.下列不是基本事实的是(C) A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 10.下列说法中,正确的是(B) A.定理是假命题 B.基本事实不需要证明 C.定理不一定都要证明 D.所有的命题都是定理 11.“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示,请指出A,B,C,D,E,F分别与它们中的哪一个对应. 解: A表示命题,B表示假命题,C表示真命题,D,E,F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个. 02 中档题 12.下列命题中,是假命题的是(C) A.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行 B.对顶角相等 C.互补的角是邻补角 D.邻补角是互补的角 13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断: ①a∥b;②b∥c;③a⊥c;④a∥c;⑤b⊥c,以其中的两个论断为条件,一个论断为结论,写出一个真命题. 解: 答案不唯一,如: 如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 14.(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性,若是假命题,请举反例说明. (1)若a>b,则a2>b2; (2)两个无理数的和仍是无理数; (3)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形. 解: (1)是假命题,例如: 0>-1,但02<(-1)2. (2)是假命题,例如: - 和 是无理数,但- + =0,和是有理数. (3)是假命题,例如: 三条线段a=3,b=2,c=1满足a+b>c,但这三条线段不能够组成三角形. 15.如图,已知∠ACE=∠AEC,CE平分∠ACD,则AB∥CD,用推理的方法说明它是一个真命题. 解: ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ECD. ∵∠ACE=∠AEC, ∴∠ECD=∠AEC. ∴AB∥CD. ∴它是一个真命题. 16.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°. 图1 图2 (1)图1中∠DEF=45°,图2中∠DEF=135°; (2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题. 解: 图1中∠DEF=∠ABC, 图2中∠DEF+∠ABC=180°. 命题: 如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补. 1.3 证明 第1课时 证明的含义及表述格式 01 基础题 知识点1 证明的定义 1.下列能作为证明依据的是(D) A.已知条件B.定义和基本事实 C.定理和推论D.以上三项都可以 2.通过观察你能肯定的是(C) A.图形中线段是否相等 B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交 D.图形中线段是否垂直 知识点2 证明过程的书写 3.如图,直线a∥b,直线c与a,b都相交,∠1=55°,则∠2=(A) A.55°B.35°C.125°D.65° 第3题图 第4题图 4.如图,下面推理正确的是(B) A.∵∠1=∠2,∴AB∥CD B.∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD C.∵∠3=∠4,∴AB∥CD D.∵∠1+∠4=180°,∴AB∥CD 5.如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=20°,∠COD=100°,则∠C的度数是(C) A.80°B.70° C.60°D.50° 第5题图 第6题图 6.(海宁新仓中学期中)如图,FE∥ON,OE平分∠MON,∠FEO=28°,则∠MFE=56度. 7.如图所示,已知∠1=∠2=∠3=60°,则∠4=120°. 第7题图 第8题图 8.如图所示,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°,如果∠ECD=36°,那么∠A=54°. 9.已知: 如图,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,交AB于点G,交CA延长线于点E,∠1=∠2.求证: AD平分∠BAC. 填写分析和证明中的空白. 分析: 要证明AD平分∠BAC,只要证明∠BAD=∠CAD,而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论. 证明: ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴AD∥EF(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行). ∴∠BAD=∠1(两直线平行,内错角相等), ∠CAD=∠2(两直线平行,同位角相等). ∵∠1=∠2(已知), ∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC(角平分线的定义). 10.如图,已知AB∥CD,∠B=40°,∠D=40°,求证: BC∥DE. 证明: ∵AB∥CD, ∴∠C=∠B=40°. ∵∠D=40°, ∴∠C=∠D. ∴BC∥DE. 02 中档题 11.如图所示,已知直
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- 第1章三角形的初步认识 学年 年级 三角形 初步 认识 习题 答案