高三高考数学国步分项分类题及析答案六.docx
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高三高考数学国步分项分类题及析答案六
高三高考数学国步分项分类题及析答案六
2-4指数与指数函数
基础巩固强化
1.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是( )
A.|a|>1 B.|a|<2
C.|a| [答案] D [解析] 由题意知,0 ∴1 2.(文)若指数函数y=ax的反函数的图象经过点(2,-1),则a等于( ) A. B.2 C.3 D.10 [答案] A [解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y=x对称,则函数y=ax过点(-1,2),故选A. (理)(2011·山东文,3)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为( ) A.0B. C.1D. [答案] D [解析] 由点(a,9)在函数y=3x图象上知3a=9, 即a=2,所以tan=tan=. 3.(2012·北京文,5)函数f(x)=x-()x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] 函数f(x)=x-()x的零点个数即为方程x=()x的实根个数,在平面直角坐标系中画出函数y=x和y=()x的图象,易得交点个数为1个. [点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象. 4.(文)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2x+1与g(x)=21-x的图象关于( ) A.原点对称B.x轴对称 C.y轴对称D.直线y=x对称 [答案] C [解析] y=2x+1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y=21-x,故选C. (理)(2011·聊城模拟)若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( ) A.m≤-1B.-1≤m<0 C.m≥1D.0 [答案] A [解析] ∵|1-x|∈[0,+∞),∴2|1-x|∈[1,+∞), 欲使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,应有m≤-1. 5.(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f(x)=且f(a)>1,则实数a的取值范围是( ) A.(0,1)B.(2,+∞) C.(0,1)∪(2,+∞)D.(1,+∞) [答案] C [解析] 由得02,所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞). (理)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是( ) A.(-1,+∞)B.(-∞,1) C.(-1,1)D.(0,2) [答案] C [解析] 由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有k-1<0 6.f(x)=则f(2+log23)的值为( ) A.B. C.D. [答案] D [解析] ∵1 ∴f(2+log23)=f(3+log23) 7.(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a*b=则函数f(x)=3x*3-x的值域是________. [答案] (0,1] [解析] 由a*b的定义知,f(x)取y=3x与y=3-x的值中的较小的,∴0 (理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中,若f(x)=2x,g(x)=x2,则h(3)的值等于________. [答案] 9 [解析] 由程序框图可知,h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的,∵f(3)=23=8,g(3)=32=9,9>8,∴h(3)=9. 8.若函数f(x)=则不等式|f(x)|≥的解集为________. [答案] [-3,1] [解析] f(x)的图象如图. |f(x)|≥⇒f(x)≥ 或f(x)≤-. ∴x≥或≤- ∴0≤x≤1或-3≤x<0,∴解集为{x|-3≤x≤1}. 9.定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为______,最小值为______. [答案] 4 2 [解析] 由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故f(x)=3|x|的值域为[1,9]时,其定义域可以为[0,2],[-2,0],[-2,2]及[-2,m],0≤m≤2或[n,2],-2≤n≤0都可以,故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2. 10.(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=. (1)求f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)证明: f(x)在(0,1)上是减函数. [解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0, 又当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1), ∴f(-x)==, ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=-, ∴f(x)在(-1,1)上的解析式为 f(x)= (2)当x∈(0,1)时,f(x)=. 设0 则f(x1)-f(x2)=- =, ∵0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在(0,1)上是减函数. (理)已知f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围. [分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(-x),看是否等于f(x)(或-f(x)); (2)可用单调性定义,也可用导数判断f(x)的单调性; (3)b≤f(x)恒成立,只要b≤f(x)min,由f(x)的单调性可求f(x)min. [解析] (1)函数定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)当a>1时,a2-1>0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数. 当0 y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数,所以f(x)为增函数. 故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由 (2)知f(x)在R上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f (1), ∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=·=-1. ∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,故b的取值范围是(-∞,-1]. 能力拓展提升 11.(文)(2012·四川文)函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( ) [答案] C [解析] 根据函数y=ax-a过定点(1,0),排除A、B、D选项,得C项正确. (理)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系内的图象大致是( ) [分析] 函数f(x)=1+log2x的图象可由函数y=log2x的图象变换得到;函数y=2-x+1可由函数y=()x的图象变换得到. [答案] C [解析] f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的;g(x)=2-x+1=()x-1的图象可由y=()x的图象向右平移一个单位长度得到. [点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点,解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数,含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律,相关性质,掌握平移伸缩变换和常见的对称特征,掌握识、画图的主要注意事项,学会识图、用图. 12.(文)(2011·广州市综合测试)函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上( ) A.有极大值B.有极小值 C.是增函数D.是减函数 [答案] C [解析] 设0 (理)(2011·大连模拟)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( ) A.[,3)B.(,3) C.(2,3)D.(1,3) [答案] C [解析] ∵{an}是递增数列, ∴f(n)为单调增函数, ∴∴2 13.(2011·陕西师大附中一模)设2a=5b=m,且+=2,则m=________. [答案] [解析] ∵2a=5b=m, ∴a=log2m,b=log5m, ∴+=+ =logm2+logm5=logm10=2, ∴m=. 14.(文)(2011·南通六校联考)已知a=,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为________. [答案] m [解析] ∵a=∈(0,1),∴y=ax是减函数, 故am>an⇒m (理)已知9的展开式的第7项为,则x的值为________. [答案] - [解析] T7=C(2x)3·6=×8x=, ∴3x=-1,∴x=-. 15.(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求a的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明; (3)求函数的值域. [解析] (1)∵f(x)的定义域为R,且为奇函数. ∴f(0)=0,解得a=1. (2)由 (1)知,f(x)==1-,∴f(x)为增函数. 证明: 任取x1,x2∈R,且x1 f(x1)-f(x2)=1--1+ =, ∵x1 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)为R上增函数. (3)令y=,则2x=, ∵2x>0,∴>0,∴-1 ∴函数f(x)的值域为(-1,1). (理)定义在D上的函数f(x),如果满足: 对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·x+x. (1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围. [解析] (1)当a=1时,f(x)=1+x+x. 因为f(x)在(-∞,0)上递减,所以f(x)>f(0)=3, 即f(x)在(-∞,0)上的值域为(3,+∞).故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立. 所以函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立. ∴-3≤f(x)≤3,即-4-x≤a·x≤2-x, ∴-4·2x-x≤a≤2·2x-x在[0,+∞)上恒成立, 设2x=t,h(t)=-4t-,p(t)=2t-, 由x∈[0,+∞)得t≥1, 设1≤t1 p(t1)-p(t2)=<0 所以h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增, h(t)在[1,+∞)上的最大值为h (1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为p (1)=1, 所以实数a的取值范围为[-5,1]. 1.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( ) A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1) C.(1,+∞)D.(0,) [答案] D [解析] 若a>1,如图
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