电磁场与电磁波第4版教学指导书第3章静态电磁场及其边值问题的解.doc
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第3章静态电磁场及其边值问题的解
3.1基本内容概述
静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。
本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件,位函数,能量和力,电容、电阻和电感,最后介绍静态场边值问题的几种解法(镜像法、分离变量法和有限差分法)。
3.1.1静电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式
基本方程的积分形式
边界条件
或(3.5)
或(3.6)
2.电位函数
(1)电位函数及其微分方程
根据电场的无旋性(),引入电位函数,使
(3.7)
电位函数与电场强度E的积分关系是
(3.8)
在均匀、线性和各向同性电介质中,已知电荷分布求解位函数
点电荷(3.9)
体密度分布电荷(3.10)
面密度分布电荷(3.11)
线密度分布电荷(3.12)
在均匀、线性和各向同性电介质中,电位函数满足泊松方程
(3.13)
或拉普拉斯方程(时)
(3.14)
(2)电位的边界条件
(3.15a)
(3.15b)
3.电场能量和电场力
(1)能量及能量密度
分布电荷的电场能量(3.16)
多导体系统电场能量(3.17)
能量密度为(3.18)
(2)电场力
用虚位移法求电场力
(3.19a)(3.19b)
4.电容及部分电容
在线性和各向同性电介质中,两导体间的电容为
多导体系统,每个导体的电位不仅与本身所带的带有关,还与其它导体所带电荷有关。
为表征这种关联性,引入部分电容的概念,分为自有部分电容和互有部分电容。
3.1.2恒定电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式
基本方程的积分形式
边界条件:
或(3.22a)
或(3.22b)
用电位表示为
(3.23a)
(3.23b)
2.静电比拟法
均匀导电媒质中的恒定电场(电源外部区域)与均匀电介质中的静电场(的区域)可以相互比拟。
根据这种可比拟性,可以利用已经得到的静电场的解来比拟地得到对应的恒定电场的解。
3.电导
导电媒质中两电极间的电导为
3.1.3恒定磁场
1.基本方程和边界条件
基本方程
微分形式
积分形式
边界条件
或(3.26a)
或(3.26b)
2.矢量磁位
(1)矢量磁位及其微分方程
根据恒定磁场的无源性(),引入矢量磁位A,使得
(3.27)
在均匀、线性和各向同性磁介质中,已知电流求解矢量磁位
体分布电流(3.28)
面分布电流(3.29)
线电流(3.30)
在均匀、线性和各向同性磁介质中,矢量磁位满足泊松方程
(3.31)
或拉普拉斯方程(时)
(3.32)
(2)矢量磁位的边界条件
(3.33a)
(3.33b)
3.标量磁位
在没有传导电流的区域()由于,可引入标量磁位,使得
(3.34)
在均匀、线性和各向同性磁介质中,标量磁位满足拉普拉斯方程
(3.35)
在两种磁介质的分界面上,标量磁位的边界条件是
(3.36a)
(3.36b)
4.磁场能量和磁场力
(1)能量和能量密度
多个电流回路的能量(3.37)
分布电流的能量(3.38)
能量密度(3.39)
(2)磁场力
用虚位移法求磁场力
(3.40a)
(3.40b)
5.电感
回路的自感(3.41)
回路的互感,(3.42)
纽曼公式(3.43)
3.1.4边值问题及其解的惟一性
1.边值问题的类型
第一类边值问题:
已知位函数在场域边界上的值。
第二类边值问题:
已知位函数在场域边界上的法向导数。
第三类边值问题:
已知在部分场域边界上的位函数值和另一部分场域边界上的位函数法向导数。
2.惟一性定理
在场域V的边界面S上给定位函数或的值,则位函数的泊松方程或拉普拉斯
方程在场域V内有惟一解。
3.1.5镜像法
1.点电荷(或线电荷)对无限大接地导体平面的镜像法
,(3.44)
2.点电荷对导体球面的镜像法
(1)导体球接地
(3.45)
(2)导体球不接地
(3.46)
3.线电荷对接地导体圆柱面的镜像法
(3.47)
4.介质分界平面的镜像法
(1)点电荷对电介质分界平面的镜像
(场点在介质1内)(3.48a)
(场点在介质2内)(3.48b)
(2)线电流对磁介质分界平面的镜像
(3.49a)
(3.49b)
3.1.6分离变量法
1.直角坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
(3.50a)
或
(3.50b)
2.圆柱坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
(3.51)
3.球面坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
(3.52)
3.1.7有限差分法
有限差分法的基本思想是将场域划分成网格,把求解场域内连续的场分布,用求解网格节点上离散的数值解来代替,即用网格节点的差分方程近似替代场域内的偏微分方程来求解。
采用正方形网格划分时,二维拉普拉斯方程的差分格式为
(3.53)
3.2教学基本要求及重点、难点讨论
3.2.1教学基本要求
掌握静电场的基本方程和边界条件,掌握静电场中的电位函数及其微分方程,掌握电位的边界条件;理解电场能量和能量密度的概念,会计算一些典型场的能量,会计算典型双导体的电容。
掌握恒定电场的基本方程和边界条件,了解静电比拟法,会计算典型导体的电阻。
掌握恒定磁场的基本方程和边界条件,理解矢量磁位及其微分方程,了解标量磁位的概念。
理解磁场能量和能量密度,会计算一些典型场的磁场能量,会计算典型回路的电感。
理解静电场的惟一性定理及其重要意义。
掌握镜像法的基本原理,会用镜像法求解一些典型问题。
了解分离变量法的基本思想和解题步骤,能够用分离变量法求解直角坐标系中的一些简单的二维问题。
3.2.2重点、难点讨论
1.静电场的基本方程
静电场的基本方程揭示了静电场的基本性质,是分析计算静电场问题的基础。
(1)静电场的基本方程有积分形式和微分形式两种表示。
积分形式的基本方程描述某个区域内静电场的整体性质,例如表示穿过任一闭合面S的电位移矢量D的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量,与束缚电荷无关。
微分形式的基本方程描述场中每一点的性质例如表明场中某点D的散度等于该点的自由体电荷密度。
(2)高斯定律及其微分形式表明静电场是有源场(有通量源),电荷是产生静电场的源;电力线从正电荷出发,终止于负电荷。
环路定理及其微分形式表明静电场是无旋场(无旋涡源),是保守场。
(3)在不同媒质的边界面上,场矢量E和D一般是不连续的,和失去意义。
所以,微分形式的基本方程在边界面上不再适用,而积分形式的基本方程仍然适用。
2.电位
电位是静电场中的一个重要概念。
在课程教学中,应注意以下几点:
(1)电位的定义虽然是从静电场的无旋性引入的,但它有明确的物理意义,它表示在电场中,将单位正电荷从P点移动到参考点Q时电场力所作的功。
表示为
(2)点电荷的电位计算公式为我们提供了对任何所要计算的场点r处电位的一种方法。
对于点电荷系,利用公式(3.9)求得所有点电荷在场点r处产生的电位,再由求得电场矢量E。
显然比直接计算各点电荷的电场矢量之和要容易些,这也是引入电位的优越性之一。
如果源电荷是连续分布的,则可以利用公式(3.10)、(3.11)和(3.12)来计算电位。
(3)计算电位的公式(3.9)~(3.12)中保留了一定程度的不确定性。
也就是说,电位总是包含有一个任意的附加常数,且可以对该常数任意赋值,而不会改变原问题的基本性质。
因为与有相同的结果。
(4)电位是一个相对量,在电场一定的情况下,空间各点的电位值,与参考点的选择密切相关。
如何选择电位参考点?
一般应考虑到以下几点:
首先,电位参考点的选择有一定的任意性。
因此可以选择适当的参考点,使电位表示式具有最简单的形式。
例如,点电荷的电位,若选无限远处为参考点,则得;若选距离点电荷处为参考点,表达式则为。
通常就是选择无限远处为电位参考点。
其次,电位参考点的选择不是完全不受限制的。
为了能应用电位来描述电场各点的特性,在选择参考点后,场中各点的电位应有确定的值。
具体来说有以下四种限制:
一是不能选择点电荷所在点为电位参考点,否则会使场中各点电位为无穷大,这是没有意义的。
二是只有当电荷分布在有限区域时,才可
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