中考数学压轴题综合训练及答案详解.docx
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中考数学压轴题综合训练及答案详解
2019-2020年中考数学压轴题综合训练及答案详解
1.若实数a,b满足a﹣ab+b2+2=0,则a的取值范围是( )
A.a≤﹣2B.a≥4C.a≤﹣2或a≥4D.﹣2≤a≤4
2.如图,A、B是双曲线上的点,A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=9.则k的值是( )
A.9B.6C.5D.4
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:
①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
4.如图,将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处,三角板PCD绕点P在平面内转动,且∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,设AB=2,AN=x,BM=y,则能反映y与x的函数关系的图象大致是( )
5.如图,两个边长相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置,正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S,旋转的角度为θ,S与θ的函数关系的大致图象是( )
6.如图,D是△ABC的AC边上一点,AB=AC,BD=BC,将△BCD沿BD折叠,顶点C恰好落在AB边的C′处,则∠A′的大小是( )
A.40°B.36°C.32°D.30°
7.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为( )
A.3B.2C.2D.2
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是( )
A.B.C.D.
9.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:
①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中将正确结论的序号全部选对的是( )
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
10.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG的平分线,EF和BC的延长线交于点H.下列结论中:
①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;④△BEG和△HEG的面积相等;⑤若,则.以上命题,正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
11.已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=﹣x+3上,设点M坐标为(a,b),则y=﹣abx2+(a+b)x的顶点坐标为 .
12.如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.
(1)求证:
四边形ABCD是正方形;
(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)若EG=4,GF=6,BM=3,求AG、MN的长.
13.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上不同于A,B的两点,过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F,直线DB⊥CF于点E.
(1)求证:
∠ABD=2∠CAB;
(2)若BF=5,sin∠F=,求BD的长.
14.为深化“携手节能低碳,共建碧水蓝天”活动,发展“低碳经济”,某单位进行技术革新,让可再生资源重新利用.今年1月份,再生资源处理量为40吨,从今年1月1日起,该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨.月处理成本(元)与月份之间的关系可近似地表示为:
p=50x2+100x+450,每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元.若该单位每月再生资源处理量为y(吨),每月的利润为w(元).
(1)分别求出y与x,w与x的函数关系式;
(2)在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元?
15.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A出发,在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动,同时动点Q从点D出发,在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动,运动时间为t秒,连接.
⑴若与相似,求的值.
⑵连结,,若,求的值.
⑶连结,,请问能和平行吗?
若能,求出的值;若不能,说明理由.
16.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交x轴于点H,交直线AB于点F,作PG⊥AB于点G.求出△PFG的周长最大值;
(3)在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M,使得△ABM与△ABD的面积相等?
若存在,请求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图,抛物线经过原点,与轴的另一个交点为,将抛物线向右平移个单位得到抛物线,交轴于,两点(点在点的左边),交轴于点.
⑴求抛物线的解析式及顶点坐标.
⑵以为直角边向上作等腰(是直角),当点落在抛物线的对称轴上时,求抛物线的解析式.
⑶若抛物线的对称轴上存在点,使为等边三角形,求的值.
18.已知:
抛物线l1:
y=﹣x2+bx+3交x轴于点A,B,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,﹣).
(1)求抛物线l2的函数表达式;
(2)P为直线x=1上一动点,连接PA,PC,当PA=PC时,求点P的坐标;
(3)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.
答案详解
1.【解答】解:
∵b是实数,∴关于b的一元二次方程b2﹣ab+a+2=0,△=(﹣a)2﹣4×1×(a+2)≥0解得:
a≤﹣2或a≥4;∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥4.故选C.
2.【解答】解:
作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图,设反比例函数解析式为y=(k>0),
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a,∴A、B两点的纵坐标分别是、,
∵AD∥BE,∴△CEB∽△CDA,∴===,∴DE=CE,
∵OD:
OE=a:
2a=1:
2,∴OD=DE,∴OD=OC,∴S△AOD=S△AOC=×9=3,∴|k|=3,
而k>0,∴k=6.故选B.
3.【解答】解:
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=<0,∴a、b同号,即b>0,∴abc<0,故本选项错误;
②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2;故本选项正确;
③∵对称轴x=>﹣1,解得:
<a,∵b>1,∴a>,故本选项错误;
④当x=﹣1时,函数值<0,即a﹣b+c<0,
(1)又a+b+c=2,将a+c=2﹣b代入
(1),
2﹣2b<0,∴b>1故本选项正确;综上所述,其中正确的结论是②④;故选D.
4.【解答】解:
作PH⊥AB于H,如图,
∵△PAB为等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,AH=BH=AB=1,
∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形,∴PA=PB=AH=,∠HPB=45°,
∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,而∠CPD=45°,
∴1≤AN≤2,即1≤x≤2,
∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°,∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°,∴∠2=∠BPM,
而∠A=∠B,∴△ANP∽△BPM,∴=,即=,∴y=,
∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为1≤x≤2.故选:
A.
5.【解答】解:
如右图,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AB于点N,
∵点E是正方形的对称中心,∴EN=EM,
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL,在Rt△ENK和Rt△EML中,,故可得△ENK≌△EML
,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的.故选B.
6.解答:
解:
连接C'D,∵AB=AC,BD=BC,∴∠ABC=∠ACB=∠BDC,
∵△BCD沿BD折叠,顶点C恰好落在AB边的C′处,∴∠BCD=∠BC'D,
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,
∵四边形BCDC'的内角和为360°,∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°,
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°.故选B.
7.解答:
解:
过点E作EM⊥BC于M,交BF于N,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,
∵∠EMB=90°,∴四边形ABME是矩形,∴AE=BM,
由折叠的性质得:
AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM,
∵∠ENG=∠BNM,∴△ENG≌△BNM(AAS),∴NG=NM,∴CM=DE,
∵E是AD的中点,∴AE=ED=BM=CM,∵EM∥CD,∴BN:
NF=BM:
CM,∴BN=NF,∴NM=CF=,
∴NG=,∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣=,∴BF=2BN=5,
∴BC===2.故选B.
8.解答:
解:
连接CD,交MN于E,
∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD,且CE=DE,
∴CD=2CE,∵MN∥AB,∴CD⊥AB,∴△CMN∽△CAB,∴,
∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6,
∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24,∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18.故选C.
9.解答:
解:
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠BCD=90°,DF=MF,
由折叠的性质可得:
∠EMF=∠D=90°,即FM⊥BE,CF⊥BC,
∵BF平分∠EBC,∴CF=MF,∴DF=CF;故①正确;
∵∠BFM=90°﹣∠EBF,∠BFC=90°﹣∠CBF,∴∠BFM=∠BFC,
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN,∴∠BFE=∠BFN,
∵∠BFE+∠BFN=180°,∴∠BFE=90°,即BF⊥EN,故②正确;
∵在△DEF和△CNF中,,∴△DEF≌△CNF(ASA),∴EF=FN,
∴BE=BN,但无法求得△BEN各角的度数,∴△BEN不一定是等边三角形;故③错误;
∵∠BFM=∠BFC,BM⊥FM,BC⊥CF,∴BM=BC=AD=2DE=2EM,∴BE=3EM,
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF;故④正确.故选B.
10.解答:
解:
①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF,∵EB为∠AEG的平分线,∴∠AEB=∠GEB,∵∠AED=180°,∴∠BEF=90°,故正确;
②可证△EDF∽△HCF,DF>CF,故DE≠CH,故错误;
③只可证△EDF∽△BAE,无法证明BE=EF,故错误;
④可证△GEB,△GEH是等腰三角形,则G是BH边的中线,∴△BEG和△HEG的面积相等,故正确;
⑤过E点作EK⊥BC,垂足为K.设BK=x,AB=y,则有y2+(2y﹣2x)2=(2y﹣x)2,解得x1=y(不合题意舍去),x2=y.则,故正确.故正确的有3个.故选B.
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