安徽省示范高中皖江八校届高三第八联考数学理试题 word版含答案.docx

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安徽省示范高中皖江八校届高三第八联考数学理试题word版含答案

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,,若,则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

由题3是方程的一个根，从而得到由此能求出集合．

详解：

∵，∴，即，∴

故选B.

点睛：

本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2.已知是的共轭复数,且,则的虚部是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】分析：

设，则，由此可求出.

详解：

设，则，

∴．

故选D.

点睛：

本题考查了复数的定义和复数的模以及共轭复数的定义，属于基础题．

3.已知等差数列的前项和为,且,则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

由得，由等差数列的性质可得，又，则，由此可求出

详解：

由得，,又，∴，即.

故选C.

点睛：

本题考查等差数列的有关性质，属中档题.

4.如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（）

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.

C.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.

D.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.

【答案】D

【解析】分析：

解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．

详解：

由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.

故选D.

点睛：

本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．

5.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

由对称性分析可得点在双曲线上，代入求得，计算离心率.

详解：

由双曲线对称性可知，点在双曲线上，

且点一定不再双曲线上，则点在双曲线上，

代入可得，则，

所以，故选C.

点睛：

本题解题的关键是能够根据对称性判断出哪三个点在双曲线上，进而求解的值，利用公式求出离心率.

6.执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

根据框图的流程依次运行程序，直到满足条件s≤-1，确定输出的i值即可得解．

详解：

否；

否；

否；

否；

是，

输出故选B．

点睛：

本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．

7.已知满足时,的最大值为,则直线过定点（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线由直线系方程得答案．

详解：

由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：

，直线过定点.

故选A.

点睛：

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．

8.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:

55至21：

56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

由市民准备在19:

55至21：

56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．

详解：

如图，时间轴点所示，概率为

故选C.

点睛：

本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．

9.设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

取中点，则，进而得到，从而确定点的位置，进而求得的面积与的面积之比．

详解：

如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.

故选A.

点睛：

本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．属基础题．

10.函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）

A.B.或C.D.或

【答案】B

【解析】分析：

由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．

详解：

因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.

故选B.

点睛：

本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．

11.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，

外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，

可知是直线与面的交点，也是直线与直线的交点没有此可求三棱锥外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积

详解：

由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，

外接球球心在过中点且垂直于平面的直线上，

又点到距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上，

故是直线与面的交点，可知是直线与直线的交点

（分别是左侧正方体对棱的中点）

∴，，

故三棱锥外接球的半径，表面积为.

故选A.

点睛：

本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12.已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】分析：

由题得，令，，

利用导数性质能求出实数的取值范围．

详解：

由，得，

得，即，

令，，则，

显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.

故选D.

点睛：

本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.

13.的值为__________．

【答案】1

【解析】分析：

由，即两角差的余弦公式展开即可求值．

详解：

原式

即答案为1.

点睛：

本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键，属基础题．

14.已知则__________．

【答案】24

【解析】分析：

由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．

详解：

由题意根据，.

即答案为24.

点睛：

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

15.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则__________．

【答案】

【解析】分析：

设，得，所以，由向量的夹角公式可求.

详解：

由抛物线的对称性不妨设，则，得，

因为，所以，可得，

，所以.

点睛：

本题考查抛物线的方程与定义，考查向量的夹角公式的应用，属基础题．

16.设为数列的前项和,已知,对任意,都有,则的最小值为__________．

【答案】30

【解析】分析：

当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，由此得到，由可得，利用基本不等式可求的最小值............................

详解：

当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，∴，，

∴当且仅当即时，等号成立，

点睛：

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用基本不等式求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.

17.在锐角中,

（I）求角；

（Ⅱ）若,求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得，所以，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得，根据正弦定理可得，所以，然后根据可得bc的范围．

试题解析：

（1）由

且4分

（2）又

8分

12分

考点：

正弦定理、余弦定理的应用

18.如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,是的中点,且,.

（I）证明:

；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】分析：

（Ⅰ）设法证明四边形是平行四边形，则，由即可求出证明，

（Ⅱ）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.．

详解：

（Ⅰ）如图1所示，连接交于点，连接.

∵四边形是正方形，∴是的中点

又已知是的中点，∴

又∵且，∴

即四边形是平行四边形，∴，

∵，∴

（Ⅱ）如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

令，

则，，

∴，，，

设平面的法向量为，则由，，

可得：

，可令，则，

∴平面的一个法向量

设直线与平面所成角为，则.

点睛：

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间向量、线面角、线面平行的判定定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

19.2017年5月,来自“一带一路”沿线的国青年评选出了中国的“新四大发明”:

高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内个人口超过万的超大城市和个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为.

（I）求的值;

（Ⅱ）若一次抽取个城市,则:

①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;

②取出个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①见解析②

【解析】分析：

（Ⅰ）根据题意，共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，由古典概型可求全是小城市的概率；

（Ⅱ）①.，根据超几何分布可得到的分布列和期望;

②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；

由此可求全为超大城市的概率

详解：

（Ⅰ）共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，

故全是小城市的概率是，

∴，∴，故.

（Ⅱ）①.

；；；

；.

故的分布列为

3.0

.

②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；

故全为超大城市的概率为.

点睛：

本题考查古典概型的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布分布的性质的合理运用．

20.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐