K12教育学习资料高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理.docx
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K12教育学习资料高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理
【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理
简单的线性规划问题
1.(2013·全国Ⅱ,9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )
A.B.
C.1D.2
解析 作出约束条件表示的可行域如图所示,是△ABC的内部及边界.
由目标函数,得y=-2x+z,
当直线l:
y=-2x+z过点B(1,-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1.
∴2-2a=1,则a=.
答案 B
2.(2016·全国Ⅲ,13)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
解析 满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,过C时取得最大值为.
答案
3.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
解析 设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为目标函数z=2100x+900y.
作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2100×60+900×100=216000(元).
答案 216000
4.(2015·全国Ⅰ,15)若x,y满足约束条件则的最大值为________.
解析 约束条件下的可行域如下图,由=,则最大值为3.
答案 3
5.(2014·大纲全国,14)设x、y满足约束条件则z=x+4y的最大值为________.
解析 作出约束条件下的平面区域,如图所示.由图可知当目标函数z=x+4y经过点B(1,1)时取得最大值,且最大值为1+4×1=5.
答案 5
与线性规划有关的综合性问题
6.(2014·全国Ⅰ,9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2,p3B.p1,p4
C.p1,p2D.p1,p3
解析 画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x+2y经过可行域内的点A(2,-1)时,取得最小值0,故x+2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.
答案 C
简单的线性规划问题
1.(2015·广东,6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( )
A.B.6
C.D.4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示,
由z=3x+2y得y=-x+,依题当目标函数直线l:
y=-x+经过A时,z取得最小值即zmin=3×1+2×=,故选C.
答案 C
2.(2015·北京,2)若x,y满足则z=x+2y的最大值为( )
A.0B.1C.D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y=-x+z,当直线y=-x+z,过点A(0,1)时,z取得最大值2.
答案 D
3.(2015·福建,5)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于( )
A.-B.-2
C.-D.2
解析 如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z=2x-y可化为y=2x-z,由图形可知当y=2x-z过点时z最小,zmin=2×(-1)-=-,故选A.
答案 A
4.(2015·山东,6)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3B.2
C.-2D.-3
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
易知A(2,0),由得B(1,1).
由z=ax+y,得y=-ax+z.
∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.
答案 B
5.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
解析 设甲、乙的产量分别为x吨,y吨,
由已知可得
目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:
可得目标函数在点A处取到最大值.
由得A(2,3).
则zmax=3×2+4×3=18(万元).
答案 D
6.(2014·广东,3)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( )
A.5B.6
C.7D.8
解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z的值最大,由⇒则m=zmax=2×2-1=3.当直线y=-2x+z经过点B时,z的值最小,由⇒则n=zmin=2×(-1)-1=-3,故m-n=6.
答案 B
7.(2014·安徽,5)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1B.2或
C.2或1D.2或-1
解析 法一 由题中条件画出可行域,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.
法二 目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:
y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.
答案 D
8.(2016·山东,4)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
A.4B.9
C.10D.12
解析 满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界),x2+y2是可行域上动点(x,y)到原点(0,0)距离的平方,显然,当x=3,y=-1时,x2+y2取最大值,最大值为10.故选C.
答案 C
9.(2016·北京,2)若x,y满足则2x+y的最大值为( )
A.0B.3
C.4D.5
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×1+2=4.
答案 C
10.(2014·湖南,14)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=________.
解析 画出可行域(图略),由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线2x+y=0,可知在点(k,k)处z=2x+y取得最小值,故zmin=2k+k=-6.解得k=-2.
答案 -2
与线性规划有关的综合性问题
11.(2016·四川,7)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 如图,(x-1)2+(y-1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为的圆内区域所有点(包括边界);②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x,y满足②则必然满足①,反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.
答案 A
12.(2014·山东,9)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5B.4
C.D.2
解析 法一 不等式组表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2,两端平方得4a2+b2+4ab=20,又4ab=2×a×2b≤a2+4b2,所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4,当且仅当a=2b,即b=,a=时等号成立.
法二 把2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2+b2的最小值是坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即=4.
答案 B
13.(2013·北京,8)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
解析 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=x-1下方,也就是m<-m-1,即m<-.故选C.
答案 C
14.(2013·浙江,13)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________.
解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC,其中点A(4,4),B(0,2),C(2,0).目标函数z=kx+y,化为y=-kx+z.当-k≤即k≥-时,
目标函数z=kx+y,在点A(4,4)取得最大值12,故4k+4=12,k=2,满足题意;
当-k>即k<-时,目标函数z=kx+y在点B(0,2)取得最大值12,故k·0+2=12,无解,综上可知,k=2.
答案 2
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- K12 教育 学习 资料 高考 数学 一轮 复习 不等式 推理 证明 简单 线性规划 AB