高考数学文北师大版大一轮复习讲义第九章 平面解析几何第九章 92.docx

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高考数学文北师大版大一轮复习讲义第九章平面解析几何第九章92

1．两条直线的位置关系

（1）两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

（ⅰ）对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

（ⅱ）当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：

（ⅰ）如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

（ⅱ）当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

（2）两条直线的交点

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组

的解．

2．几种距离

（1）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离

|P1P2|＝

.

（2）点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离

d＝

.

（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2）间的距离d＝

.

【知识拓展】

1．直线系方程

（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．

（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0（n∈R）．

2．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.

3．两直线垂直的充要条件

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

4．过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.

5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（　×　）

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（　×　）

（3）已知直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.（　√　）

（4）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为

.（　×　）

（5）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（　√　）

（6）若点A，B关于直线l：

y＝kx＋b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于－

，且线段AB的中点在直线l上．（　√　）

1．（2016·天津模拟）过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（　　）

A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　直线x－2y－2＝0可化为y＝

x－1，

所以过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝

x＋b，

将点（1,0）代入得b＝－

.

所以所求直线方程为x－2y－1＝0.

2．（教材改编）已知点（a,2）（a>0）到直线l：

x－y＋3＝0的距离为1，则a等于（　　）

A.

B．2－

C.

－1D.

＋1

答案　C

解析　依题意得

＝1.

解得a＝－1＋

或a＝－1－

.

∵a>0，∴a＝－1＋

.

3．已知p：

直线x－y－1＝0与直线x－my＋2＝0平行，q：

m＝1，则p是q的（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由于两直线平行的充要条件是

＝

≠

，

即m＝1.

4．已知直线l1与l2：

x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是

，则直线l1的方程为________________．

答案　x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

解析　设l1的方程为x＋y＋c＝0，则

＝

.

∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.

∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

5．（教材改编）若直线（3a＋2）x＋（1－4a）y＋8＝0与（5a－2）x＋（a＋4）y－7＝0垂直，则a＝________.

答案　0或1

解析　由两直线垂直的充要条件，得（3a＋2）（5a－2）＋（1－4a）（a＋4）＝0，解得a＝0或a＝1.

题型一　两条直线的平行与垂直

例1　

（1）设不同直线l1：

2x－my－1＝0，l2：

（m－1）x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　当m＝2时，代入两直线方程中，

易知两直线平行，即充分性成立．

当l1∥l2时，显然m≠0，从而有

＝m－1，

解得m＝2或m＝－1，

但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，

故必要性成立，故选C.

（2）已知直线l1：

ax＋2y＋6＝0和直线l2：

x＋（a－1）y＋a2－1＝0.

①试判断l1与l2是否平行；

②当l1⊥l2时，求a的值．

解　①方法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，

l2：

x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：

y＝－3，

l2：

x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：

y＝－

x－3，

l2：

y＝

x－（a＋1），

l1∥l2⇔

解得a＝－1，

综上可知，a＝－1时，l1∥l2.

方法二　由A1B2－A2B1＝0，

得a（a－1）－1×2＝0，

由A1C2－A2C1≠0，得a（a2－1）－1×6≠0，

∴l1∥l2⇔

⇔

⇒a＝－1，

故当a＝－1时，l1∥l2.

②方法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，l2：

x＝0，

l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l1：

y＝－3，l2：

x－y－1＝0，l1不垂直于l2；

当a≠1且a≠0时，

l1：

y＝－

x－3，l2：

y＝

x－（a＋1），

由（－

）·

＝－1⇒a＝

.

方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2（a－1）＝0

⇒a＝

.

思维升华　

（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

　已知两直线l1：

x＋ysinα－1＝0和l2：

2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：

（1）l1∥l2；

（2）l1⊥l2.

解　

（1）方法一　当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，

l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.

当sinα≠0时，k1＝－

，k2＝－2sinα.

要使l1∥l2，需－

＝－2sinα，即sinα＝±

.

所以α＝kπ±

，k∈Z，此时两直线的斜率相等．

故当α＝kπ±

，k∈Z时，l1∥l2.

方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，

所以sinα＝±

，所以α＝kπ±

，k∈Z.

又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.

故当α＝kπ±

，k∈Z时，l1∥l2.

（2）因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，

所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.

故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.

题型二　两条直线的交点与距离问题

例2　

（1）（2016·长沙模拟）求经过两条直线l1：

x＋y－4＝0和l2：

x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．

（2）直线l过点P（－1,2）且到点A（2,3）和点B（－4,5）的距离相等，则直线l的方程为________________．

答案　

（1）x＋2y－7＝0　

（2）x＋3y－5＝0或x＝－1

解析　

（1）由

得

∴l1与l2的交点坐标为（1,3）．

设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.

（2）方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为

y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知

＝

，

即|3k－1|＝|－3k－3|，

∴k＝－

.

∴直线l的方程为y－2＝－

（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－

，

直线l的方程为y－2＝－

（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为（－1,4）．

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

思维升华　

（1）求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

（2）利用距离公式应注意：

①点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

（1）如图，设一直线过点（－1,1），它被两平行直线l1：

x＋2y－1＝0，l2：

x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：

x－y－1＝0上，求其方程．

解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.

设所求直线方程为（x＋2y－2）＋λ（x－y－1）＝0，

即（1＋λ）x＋（2－λ）y－2－λ＝0.

又直线过（－1,1），

∴（1＋λ）（－1）＋（2－λ）·1－2－λ＝0，

解得λ＝－

.

∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.

（2）正方形的中心为点C（－1,0），一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三条边所在直线的方程．

解　点C到直线x＋3y－5＝0的距离

d＝

＝

.

设与x＋3y－5＝0平行的一条边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0（m≠－5），

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝

＝

，

解得m＝－5（舍去）或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.

设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝

＝

，

解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.

题型三　对称问题

命题点1　点关于点中心对称

例3　过点P（0,1）作直线l，使它被直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

答案　x＋4y－4＝0

解析　设l1与l的交点为A（a,8－2a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

命题点2　点关于直线对称

例4　如图，已知A（4,0），B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

A．3

B．6C．2

D．2

答案　C

解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P（2,0）关于直线AB的对称点为D（4,2），关于y轴的对称点为C（－2,0）．则光线经过的路程为|CD|＝

＝2

.

命题点3　直线关于直线的对称问题

例5　（2016·泰安模拟）已知直线l：

2x－3y＋1＝0，求直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

解　在直线m上任取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′（a，b），则

解得

∴M′

.

设直线m与直线l的交点为N，则

由

得N（4,3）．

又∵m′经过点N（4,3）．

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

思维升华　解决对称问题的方法

（1）中心对称

①点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

（2）轴对称

①点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点A′（m，n），则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

　已知直线l：

3x－y＋3＝0，求：

（1）点P（4,5）关于l的对称点；

（2）直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

（3）直线l关于（1,2）的对称直线．

解　

（1）设P（x，y）关于直线l：

3x－y＋3＝0的对称点为P′（x′，y′），

∵kPP′·kl＝－1，即

×3＝－1.①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×

－

＋3＝0.②

由①②得

把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，

∴P（4,5）关于直线l的对称点P′的坐标为（－2,7）．

（2）用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，

得关于l的对称直线方程为

－

－2＝0，

化简得7x＋y＋22＝0.

（3）在直线l：

3x－y＋3＝0上取点M（0,3），

关于（1,2）的对称点M′（x′，y′），

∴

＝1，x′＝2，

＝2，y′＝1，∴M′（2,1）．

l关于（1,2）的对称直线平行于l，∴k＝3，

∴对称直线方程为y－1＝3×（x－2），

即3x－y－5＝0.

18．妙用直线系求直线方程

一、平行直线系

由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．

典例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点（1,2）的直线l的方程．

思想方法指导　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠1）．

规范解答

解　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠1），

又因为直线过点（1,2），

所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.

因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

二、垂直直线系

由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．

典例2　求经过A（2,1），且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

思想方法指导　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．

规范解答

解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点（2,1），所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.

三、过直线交点的直线系

典例3　求经过两直线l1：

x－2y＋4＝0和l2：

x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：

3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

思想方法指导　可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．

规范解答

解　方法一　解方程组

得P（0,2）．

因为l3的斜率为

，且l⊥l3，

所以直线l的斜率为－

，

由斜截式可知l的方程为y＝－

x＋2，

即4x＋3y－6＝0.

方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，

即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.

又∵l⊥l3，∴3×（1＋λ）＋（－4）×（λ－2）＝0，

解得λ＝11.

∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.

1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　

（1）充分性：

当a＝1时，

直线l1：

x＋2y－1＝0与直线l2：

x＋2y＋4＝0平行；

（2）必要性：

当直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行时有a＝－2或1.

所以“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.

2．（2016·合肥模拟）已知两条直线l1：

x＋y－1＝0，l2：

3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于（　　）

A．－

B.

C．－3D．3

答案　C

解析　由l1⊥l2，可得1×3＋1×a＝0，

∴a＝－3.

3．（2016·山东省实验中学质检）从点（2,3）射出的光线沿与向量a＝（8,4）平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为（　　）

A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0

C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0

答案　A

解析　由直线与向量a＝（8,4）平行知：

过点（2,3）的直线的斜率k＝

，所以直线的方程为y－3＝

（x－2），其与y轴的交点坐标为（0,2），又点（2,3）关于y轴的对称点为（－2,3），所以反射光线过点（－2,3）与（0,2），由两点式知A正确．

4．（2016·兰州模拟）一只虫子从点O（0,0）出发，先爬行到直线l：

x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1），则虫子爬行的最短路程是（　　）

A.

B．2C．3D．4

答案　B

解析　点O（0,0）关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′（－1,1），

则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝

＝2.

故选B.

5．（2016·绵阳模拟）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　因为

＝

≠

，所以两直线平行，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

即

＝

，

所以|PQ|的最小值为

，故选C.

6．（2016·厦门模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）与点（m，n）重合，则m＋n等于（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　A

解析　由题意可知，纸的折痕应是点（0,2）与点（4,0）连线的中垂线，

即直线y＝2x－3，它也是点（7,3）与点（m，n）连线的中垂线，

于是

解得

故m＋n＝

，故选A.

7．（2016·忻州训练）已知两直线l1：

ax－by＋4＝0和l2：

（a－1）x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.

答案　0或

解析　由题意得

解得

或

经检验，两种情况均符合题意，

所以a＋b的值为0或

.

8．已知直线l1：

ax＋y－1＝0，直线l2：

x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为

，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．

答案　－1　1　2

解析　若直线l1的倾斜角为

，则－a＝k＝tan

＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×（－1）＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：

x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝

＝2

.

9．点P（2,1）到直线l：

mx－y－3＝0（m∈R）的最大距离是________．

答案　2

解析　直线l经过定点Q（0，－3），

如图所示，由图知，

当PQ⊥l时，点P（2,1）到直线l的距离取得最大值|PQ|＝

＝2

，

所以点P（2,1）到直线l的最大距离为2

.

10．点P为x轴上的一点，A（1,1），B（3,4），则|PA|＋|PB|的最小值是________．

答案　

解析　点A（1,1）关于x轴的对称点A′（1，－1），

则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长为

.

11．已知两条直线l1：

ax－by＋4＝0和l2：

（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

（1）l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）；

（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解　

（1）∵l1⊥l2，∴a（a－1）－b＝0，

又∵直线l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0.

故a＝2，b＝2.

（2）∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在．

∴k1＝k2，即

＝1－a.

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，

即

＝b.

故a＝2，b＝－2或a＝

，b＝2.

12．（2016·北京朝阳区模拟）已知△ABC的顶点A（5,1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

解　依题意知：

kAC＝－2，A（5,1），

∴lAC为2x＋y－11＝0，

联立lAC、lCM得

∴C（4,3）．

设B（x0，y0），AB的中点M为（

，

），

代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

∴

∴B（－1，－3），

∴kBC＝

，∴直线BC的方程为y－3＝

（x－4），

即6x－5y－9＝0.

13.已知三条直线：

l1：

2x－y＋a＝0（a＞0）；l2：

－4x＋2y＋1＝0；l3：

x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是

.

（1）求a的值；

（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的

；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是

∶

.

若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

解　

（1）直线l2：

2x－y－

＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝

＝

，

所以

＝

，即

＝

，

又a＞0，解得a＝3.

（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．

若点P满足条件②，

则点P在与l1，

l2平行的直线l′：

2x－y＋c＝0上，

且

＝

×

，

即c＝

或

，

所以直线l′的方程为2x0－y0＋

＝0或2x0－y0＋

＝0；

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，

有

＝

×

，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；

由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．

联立方程2x0－y0＋

＝0和x0－2y0＋4＝0，

解得

（舍去）；

联立方程2x0－y0＋

＝0和x0－2y0＋4＝0，

解得

所以存在点P

同时满足三个条件．