高中数学选修11232 双曲线的几何性质.docx
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高中数学选修11232双曲线的几何性质
2.3.2 双曲线的几何性质
[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.
活动一知识梳理引入新课
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0)
图形
性质
范围
对称性
对称轴:
________.
对称中心:
________.
顶点坐标
实轴和虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴;线段B1B2叫做双曲线的虚轴
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做________.,它的渐近线是________.
[思考]
(1)椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样吗?
(2)若双曲线确定,则渐近线确定吗?
反过来呢?
活动二数学应用
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
例3 直线l在双曲线-=1上截得的弦长为4,其斜率为2,求直线l的方程.
例4 已知双曲线方程为2x2-y2=2.
(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1,P2两点,当点P(2,1)是弦P1P2的中点时,求此直线方程;
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l,使l与此双曲线交于Q1,Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点?
若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
活动三课堂反馈单
1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为________.
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为________.
3.双曲线-=1的渐近线方程为____________.
4.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为____________.
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________.
活动四课堂小结
1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双曲线的标准方程-=1(a>0,b>0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by=0变为a2x2-b2y2=λ(λ≠0),再结合其他条件求得λ,可得双曲线方程.
2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解 将9y2-4x2=-36化为标准方程-=1,
即-=1,
∴a=3,b=2,c=.
因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0),
焦点为F1(-,0),F2(,0),
实轴长2a=6,虚轴长2b=4,
离心率e==,
渐近线方程为y=±x=±x.
反思与感悟 讨论双曲线的几何性质,先要将双曲线方程化为标准形式,然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.
跟踪训练1 求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
解 将方程x2-3y2+12=0化为标准方程-=1,
∴a2=4,b2=12,∴a=2,b=2,
∴c===4.
∴双曲线的实轴长2a=4,虚轴长2b=4.
焦点坐标为F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为A1(0,-2),A2(0,2),渐近线方程为y=±x,离心率e=2.
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
解
(1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,
又=,∴a=5,b==12,
故其标准方程为-=1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=.①
∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.②
联立①②,无解.
若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=.③
∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),
∵A(2,-3)在双曲线上,
∴-(-3)2=λ,即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可,当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y=±x时,可以将方程设为-=λ(λ≠0).
跟踪训练2 根据条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同渐近线,且过点(-3,2);
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
解
(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
由题意可知-=λ,解得λ=.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设所求双曲线方程为-=1(16-k>0,4+k>0),
∵双曲线过点(3,2),∴-=1,
解得k=4或k=-14(舍去).
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
题型三 直线与双曲线的位置关系
例3 直线l在双曲线-=1上截得的弦长为4,其斜率为2,求直线l的方程.
解 设直线l的方程为y=2x+m,
由得10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由根与系数的关系,
得x1+x2=-m,x1x2=(m2+2).
又y1=2x1+m,y2=2x2+m,
∴y1-y2=2(x1-x2),
∴AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2
=5[(x1+x2)2-4x1x2]
=5[m2-4×(m2+2)].
∵AB=4,∴m2-6(m2+2)=16.
∴3m2=70,m=±.
由(*)式得Δ=24m2-240,把m=±代入,
得Δ>0,∴m的值为±.
∴所求直线l的方程为y=2x±.
反思与感悟 直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系,根的判别式的应用.若与向量有关,则将向量用坐标表示,并寻找其坐标间的关系,结合根与系数的关系求解.
跟踪训练3 设双曲线C:
-y2=1(a>0)与直线l:
x+y=1相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设直线l与y轴的交点为P,若=,求a的值.
解
(1)将y=-x+1代入双曲线方程-y2=1(a>0),
得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
依题意有
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