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教案
第八章二元一次方程组
青海省海南州共和县中学
衡青霞
教学目标:
1、经历列出二元一次方程组解决有关多个未知量的实际问题,理解二元一次方程组及其解的基本概念,体会二元一次方程组是解决这类问题的一种有效的数学模型。
2、会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组,并能根据方程组的特点,灵活选用适当的解法。
3、通过探求二元一次方程组的解法,经历把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体会消元的思想,以及化“求知”为“已知”,化复杂问题为简单问题的化归思想。
4、会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解,能检验所得结果是否符合实际意义。
课时安排:
本章的教学时间为12课时,分配如下:
§7.1二元一次方程组和它的解--------------1课时
§7.2二元一次方程组的解法------------------6~7课时
§7.3实践与探索------------2课时
复习-----------------------2课时
8.1二元一次方程组和它的解
教学目的
1.使学生了解二元一次方程,二元一次方程组的概念。
2.使学生了解二元一次方程;二元一次方程组的解的含义,会检验一对数是不是它们的解。
3.通过引例的教学,进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性。
重点、难点
1.重点:
了解二元一次方程。
二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义,会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2.难点;了解二元一次方程组的解的含义。
教学过程
一、复习提问
1.什么叫一元一次方程?
什么叫一元一次方程的解?
怎样检验一个数是否是这个方程的解?
2.列方程解应用题的步骤。
3.问题1:
规则:
本次比赛采用单循环赛,每个队参赛的场次都一样.
每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分
章引言:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负分别是多少?
这个问题可以用算术方法来解,胜的场数:
(16-10)÷(2-1);
也可以列一元一次方程来解,若设这个队胜x场,则有:
2x+(10-x)×1=16请同学们比较以上两种解法,算术方法与方程方法哪一种更简便?
解后反思:
既然是求两个未知量,那么能不能同时设两个未知数,是不是更容易表示数量关系呢?
二、新授
1.让学生在教科书中表格中填人数字或式子:
2.那么根据填表结果可知x十y=10①2x+y=16②
思考问题:
这两个方程有什么共同的特点?
(都含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是1)
这里的x、y要同时满足两个条件:
一个是胜与负的场数和是10场;另一个是这些场次的得分一共是16分,也就是说,两个未知数x、y必须同时满足方程①、②。
因此,把两个方程合在一起,并写成
x+y=10①
2x+y=16②
上面,列出的两个方程与一元一次方程不同,每个方程都有两个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程,叫做二元一次方程。
把这两个二元一次方程①、②合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释;“元”与“未知数”相通,几个元是指几个未知数,“次”指未知数的最高次数。
3.用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得胜了6场,负了4场,即x=6,y=4
这里的x=6,y=4
既满足方程①即6十4=10
又满足方程②,即2×6十4=16
我们就说x=6,y=4
是二元一次方程组的解。
一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解的检验范例。
三、巩固练习
1.判断:
是不是二元一次方程组,为什么?
2.选择题:
下列各对数值中是二元一次方程x+2y=2的解的是()
3.把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来:
4.教科书24页练习。
列出二元一次方程组,并根据实际意义,找出问题的解.
四、小结
1.什么是二元一次方程,什么是二元一次方程组?
2.什么是二元一次方程组的解?
如何检验一对数是不是某个方程组的解?
五、作业
教科书第24页习题7.1全部。
教学后记
1.4有理数的乘法
青海省海南州共和县中学
衡青霞
教学目的:
1.知识与技能
体会有理数乘法的实际意义;
掌握有理数乘法的运算法则和乘法法则,灵活地运用运算律简化运算。
2.过程与方法
经历有理数乘法的推导过程,用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则,感悟中、小学数学中的乘法运算的重要区别。
通过体验有理数的乘法运算,感悟和归纳出进行乘法运算的一般步骤。
3.情感、态度与价值观
通过类比和分类的思想归纳乘法法则,发展举一反三的能力。
教学重点:
应用法则正确地进行有理数乘法运算。
教学难点:
两负数相乘,积的符号为正。
教具准备:
多媒体。
教学过程:
一、引入
前面我们已经学习了有理数的加法运算和减法运算,今天,我们开始研究有理数的乘法运算.
问题一:
有理数包括哪些数?
回答:
有理数包括正整数、正分数、负整数、负分数和零.
问题二:
小学已经学过的乘法运算,属于有理数中哪些数的运算?
回答:
属于正有理数和零的乘法运算.或答:
属于正整数、正分数和零的乘法运算.
计算下列各题;
以上这些题,都是对正有理数与正有理数、正有理数与零、零与零的乘法,方法与小学学过的相同,今天我们要研究的有理数的乘法运算,重点就是要解决引入负有理数之后,怎样进行乘法运算的问题.
二、提出问题
我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数以后,怎样进行有理数的乘法运算呢?
问题:
怎样计算
(1)(—4)×(—8)
(2)(—5)×6
三、新课探究
我们以蜗牛爬行距离为例,为区分方向,我们规定:
向左为负,向右为正,为区分时间,我们规定:
现在前为负,现在后为正。
如图,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置恰在l上的点O。
1.正数与正数相乘
问题一:
如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行,3分后它在什么位置?
讲解:
3分后蜗牛应在l上点O右边6cm处,这可表示为
(+2)×(+3)=+6
答:
结果向东运动了6米.
2.负数与正数相乘
问题二:
如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行,3分后它在什么位置?
讲解:
3分后蜗牛应在l上点O右边6cm处,这可表示为
(-2)×(+3)=(-6)
3.正数与负数相乘
问题三:
如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行,3分前它在什么位置?
讲解:
3分后蜗牛应为l上点O左边6cm处,这可以表示为
(+2)×(-3)=-6
4.负数与负数相乘
问题四:
如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行,3分前它在什么位置?
讲解:
3分前蜗牛应为l上点O右边6cm处,这可以表示为
(-2)×(-3)=+6
5.零与任何数相乘或任何数与零相乘
问题五:
原地不动或运动了零次,结果是什么?
答:
结果都是仍在原处,即结果都是零,若用式子表达:
0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0.
综合上述五个问题得出:
(1)(+2)×(+3)=+6;
(2)(-2)×(+3)=-6;
(3)(+2)×(-3)=-6;
(4)(-2)×(-3)=+6.
(5)任何数与零相乘都得零.
根据你对有理数乘法的思考,填空:
正数乘正数积为_数;负数乘正数积为_数;
正数乘负数积为_数;负数乘负数积为数;
乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___.
零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是。
观察上述
(1)~(4),思考后回答:
1.积的符号与因数的符号有什么关系?
2.积的绝对值与因数的绝对值有什么关系?
答:
1.若两个因数的符号相同,则积的符号为正;若两个因数的符号相反,则积的符号为负.2.积的绝对值等于两个因数的绝对值的积.
由此我们可以得到:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
(1)~(5)包括了两个有理数相乘的所有情况,综合上述各种情况,得到有理数乘法的法则:
口答:
确定下列两数积的符号:
例题:
例1、计算下列各题:
(1)(-3)×9
(2)(—
)×(—2)
(3)7×(-1)(4)(-0.8)×1
例2 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6℃,攀登3km后,气温有什么变化?
解题步骤:
1.认清题目类型.
2.根据法则确定积的符号.
3.绝对值相乘.
练习:
1.口答下列各题:
(1)6×(-9);
(2)(-6)×(-9);
(3)(-6)×9;(4)(-6)×1;
(5)(-6)×(-1);(6)6×(-1);
(7)(-6)×0;(8)0×(-6);
(9)(-6)×0.25;(10)(-0.5)×(-8);
注意:
由(4)(5)(6)得:
一个数与1相乘得原数,一个数与-1相乘,得原数的相反数.
2.练习:
计算下列各题:
3.计算下列各题:
(1)(-36)×(-15);
(2)-48×1.25;
4.填空:
(1)1×(-5)=____;(-1)×(-5)=____;
+(-5)=____;-(-5)=____;
(2)1×a=____;(-1)×a=____;
(3)1×|-5|=____;-1×|-5|=____;
-|-5|=____
(4)1+(-5)=____;(-1)+(-5)=____;
(-1)+5=____.
三、小结
(1)指导学生看书,精读乘法法则.
(2)强调运用法则进行有理数乘法的步骤.
(3)比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别,以达到进一步巩固有理数乘法法则的目的.
四、作业
A组水平检测
1.计算:
(1)(-16)×15;
(2)(-9)×(-14);
(3)(-36)×(-1);(4)13×(-11);
(5)(-25)×16;(6)(-10)×(-16).
2.计算:
百货商场降价销售某种品牌衣服,每件降价15元,售出80件后,与原价销售同样数量的衣服相比,销售额有什麽变化?
3.计算:
B组拓展练习
1.填空:
(用“>”或“<”号连接)
(1)如果a<0,b>0,那么,ab____0;
(2)如果a<0,b<0,那么,ab____0;
(3)当a>0时,a____2a;
(4)当a<0时,a____2a.
2.制作20张卡片,卡片上分别写有正数和负数,包含分数、小数、带分数、整数几个类型,同桌之间进行摸卡片、列算式,并计算结果的游戏。
自己选择卡片的张数,卡片最少为两张。
板书设计
1.4有理数的乘法
法则:
练习
1.
2.
教学后记
15.2整式的乘法
(1)
青海省海南州共和县中学
衡青霞
教学目标
①感受生活中幂的运算的存在与价值.
②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程,能用代数式和文字正确地表述这些性质,并会运用它们熟练地进行计算.
③逐步形成独立思考、主动探索的习惯.
④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证,培养学生一定的说理能力和归纳表达能力.
教学重点与难点
重点:
幂的三个运算性质.
难点:
幂的三个运算性质.
教学设计
一、创设情境导入新课
问题:
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒.地球距离太阳大约有多远?
你能用学过的知识解决吗?
解:
3×105×5×102=15×105×102(千米)
105×102等于多少呢?
从实际问题的导入,让学生自己动手试一试,主动探索,在自己的实践中获得知识.从而构建新的知识体系,同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的,学生可能生疏或遗忘,在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习.
怎样计算105×102?
怎样计算1012×103?
二、知识回顾
什么叫乘方?
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
根据乘方的意义可以知道:
105×102
=(10×10×10×10×10)×(10×10)
=107
三.探究新知.
1..探一探
问题:
25表示什么?
10×10×10×10×10可以写成什么形式?
根据乘方的意义填空:
思考:
式子103×102的意义是什么?
这个式子中的两个因数有何特点?
请同学们观察下面各题左右两边,底数、指数有什么关系?
103×102=10()
23×22=2()
a3×a2=a()
学生独立思考后回答,教师板演.
2.猜一猜
猜想:
am·an=?
(当m、n都是正整数)
分组讨论,并尝试证明你的猜想是否正确。
问:
看看计算结果,你能发现结果有什么规律吗?
学生小组讨论后交流结果:
不管底数是什么数,只要底数相同,结果就是指数相加.
3.说一说
am×an(m,n是正整数)?
学生说出理由,教师板演共同得出结论:
am×an=am+n(m,n都是正整数)
即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
注意性质中的m、n的取值范围.
注:
要求学生用语言叙述这个性质,即“同底数的幂相乘,底数不变,指数相加”,这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的.
从引例到“探一探”,“猜一猜”,“说一说”是一个从特殊到一般,从具体到抽象,把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程.在这一过程中,要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.
4.想一想
am×an×ap=?
am·an=am+n(当m、n都是正整数)
am×an×ap=am+n+p(m、n、p都是正整数)
四.巩固新知
1.做一做
例1教科书第140页的例1
(1)~(4)
(1)108×103;
(2)x3·x5.
(3)23×24×25
(2)y·y3·y5
(5)-a3·a5;(6)(x+1)2·(x+1)3
同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘.
在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么,指数是什么,引导学生观察是不是同底数幂相乘,再利用性质进行计算.例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”.性质中的字母可以是单项式也可以是多项式,如例1(6),把底数进一步扩充到式的范围.
2.自主学习
根据乘方的意义及同底数幂的乘法,让学生自主探究教科书第170页探究问题.学生在独立思考、合作交流的基础上,得出结论。
开头问题中地球距离太阳到底大约有多远呢?
15×105×102
=1.5×108(千米)
答:
地球距离太阳大约有1.5×108千米.
3.做一做
练习一
(1)76×74
(2)a7·a8
(3)x5·x3
(4)b5·b
4.议一议
下面的计算对不对?
如果不对,应当怎样改正.
(1)a3·a3=a6;
(2)b4·b4=2b4;
(3)x5+x5=x10;
(4)y7·y=y8;
(5)(a3)5=a8;
(6)a3·a5=a15;
注:
补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论,加强对运算性质的掌握,同时也培养学生一定的批判性思维能力.
5.思考题
计算:
(1)xn·xn+1
(2)(x+y)3·(x+y)4
公式中的a可代表一个数、字母、式子等。
五.小结
这节课你学到了什么?
你有什么收获?
组织学生讨论和辨析“同底数幂的乘法”运算性质.同时组织引导学生从知识和方法两方面小结。
六.课外巩固
1.必做题:
教科书第142页习题15.2第1、2、3题.
2.趣味创新
计算:
2-22-23-24-25-26-27-28-29+210
设计思想
本节课需要掌握“同底数幂的乘法”运算性质:
“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”,这三个运算性质是整式乘法运算的基石,又是在幂的意义的基础上发展的.教师以“计算与问题—观察与猜想—归纳与概括”为教学主线引导学生探索运算性质,淡化推理论证,强调留给学生探索与交流的空间,重视性质的探索过程和数学感受.通过设置问题情境和操作情境,运用乘方的意义进行有理数的幂的乘法,让学生在主动的探索中获得同底数幂的乘法运算性质,再通过学生的动手实践,突破难点,从而构建新的知识体系.
对于容易混淆的概念,诸如“a3+a3与a3·a3,a2·a3之类的问题,通过组织学生讨论和辨析,加强对幂的运算的掌握,同时也培养了一定的思维批判性.
在课堂教学中,通过口答、动手做一做等,组织学生进行比赛,培养学生一定的计算能力.在具体实施中,采用小组学习的方式,培养学生的合作意识;引导全班同学一起探索、交流与讨论,在激发了学生的学习热情的同时,获得知识的提升.
课后记
15.3乘法公式
15.3.1平方差公式
青海省海南州共和县中学
衡青霞
教学目标
①经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征,能运用公式进行简单的计算.
③了解平方差公式的几何背景,体会数形结合的思想方法.
教学重点与难点
重点:
平方差公式的推导及应用.
难点:
用公式的结构特征判断题目能否使用公式.
教学准备
卡片及多媒体课件
教学设计
引入
同学们,前面我们刚刚学习了整式的乘法,知道了一般情形下两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.下面请同学们应用你所学的知识,自己来探究下面的问题:
问题:
1.速算王的绝招
在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题:
①102×98=?
②100.5×99.5=?
主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来
抢答说:
“第一题等于9996,第二题等于9999.75。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
从“一次智力抢答赛中速算王的绝招”引入课题,引发学生思考。
举例
再举几个这样的运算例子.
注:
让学生独立思考,每人在组内举一个例子(可口述或书写),然后由其中一个小组的代表来汇报.
动手操作
探究:
计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
(1)(x+1)(x-1)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括.
注:
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则,利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程,对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义,同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力,因此在教学中,首先应让学生思考:
你能发现什么?
让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规律进行证明.
验证
我们再来计算(a+b)(a-b)=
公式的推导既是对上述特例的概括,更是从特殊到一般的归纳证明,在此应注意向学生渗透数学的思想方法:
特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示.
注:
这里是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的结构特征,为下一步运用公式进行简单计算打下基础.
概括
平方差公式及其形式特征.
(a+b)(a-b)=a²-b²
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点:
如公式左、右边的结构,并尝试说明这些特点的原因.
应用
填表:
(a+b)(a-b)
a
b
a2—b2
最后结果
(3x+2)(3x-2)
2
(3x)2-22
(b+2a)(2a-b)
(-x+2y)(-x-2y)
教科书第180页例1运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成,然后抢答的形式完成;第三小题可采用小组讨论的形式,要求学生在给出表格所提示的解法之后,思考别的解法:
提取后一个因式里的负号,将2y看作“a”,将x看作“b”,然后运用平方差公式计算.
注:
(1)正确理解公式中字母的广泛含义,是正确运用这一公式的关键.设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照,进一步体会字母a、b的含义,加深对字母含义广泛性的理解:
即它们既可以是数,也可以是含字母的整式.
(2)在具体计算时,当有一个二项式两项都负时,往往不易判明a、b,如第三小题,此时可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,有助于学生思维互补、有条理地思考和表达,更有助于学生合作精神的培养.
(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题,可以加深对公式的理解.
还记得开始我们提到的那个速算王吗?
教科书第180页例2计算:
(1)102×98
100.5×99.5
我也行!
速算71×69
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
此处仍先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,允许他们算法的多样化,然后通过比较,优化算法,达到简便计算的目的.
注:
(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征,把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式,教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征.
(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系,强调:
只有符合公式要求的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按整式乘法法则进行.
巩固
教科书第18l页练习1、2
练习1:
运用平方差公式计算
(2a+3)(2a-3)
(3b+2a)(2a-3b)
练习2:
判断正误:
练习1口答完成;练习2采用大组竞赛的形式进行,其中
(1)(4)由两个大组完成,
(2)(3)由另两个大组完成.
注:
让学生通过巩固练习,达成本节课的基本学习目标,并通过丰富的活动形式,激发学习兴趣,培养竞争意识和集体荣誉感.
解释
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?
多媒体动画演示图形的变换过程,体会过程中不变的量,并能用代数恒等式表示.
注:
(1)重视公式的几何背景,可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.
(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形,是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练;利用两个图形可以清楚变化的过程,便于联想代数的形式.
练习3:
计算
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)(x-3)(x+3)(x²+9)
小结
谈一谈:
你这一节课有什么收获?
注:
这儿采取的是先由每个学生自己小结,然后由小组代表作
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