八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx
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八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球
文:
付雨楼、段永建
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
方法:
找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2a2b2c2,即2R■,a2b2c2,求岀R
例1
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)
A.16B.20C.24D.32
(2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为,3,则其外接球的表面积是9
解:
(1)Va2h16,a2,4R2a2a2h2441624,S24,选C;
(2)4R23339,S4R29
(3)在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AMMN,若侧棱SA2.3,则正三棱锥SABC外接球的表面积是。
36
解:
引理:
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下:
如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正
BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球的表面积
6、4、3,那么它的外接球的表面积是
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为
(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和
边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为
ab
12
bc
8,abc24,
a3,b4,c2,(2r)2a2b2c229
ac
6
S4R2
29,
2•题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤:
第一步:
确定球心0的位置,取ABC的外心0勺,则P,O,O1三点共线;
第二步:
先算岀小圆01的半径A01r,再算岀棱锥的高P01h(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
0A201A20102R2(hR)2r2,解岀R
方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()C
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)
1.题设:
如图9-1,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)
第一步:
易知球心0必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求岀小圆的直径AC2r;
三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P
点也是圆锥的顶点解题步骤:
第一步:
确定球心0的位置,取ABC的外心01,则P,0,01三点共线;
第二步:
先算岀小圆0勺的半径A01r,再算岀棱锥的高P01h(也是圆锥的高);
222222
第三步:
勾股定理:
0A201A20102R2(hR)2r2,解岀R
4•如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22R「PA2(2r)2;
②R2r20012R.r200:
例3
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的表面积为。
(2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为•2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积
为
(2)方法一:
找球心的位置,易知r1,h
1,hr,故球心在正方形的中心ABCD处,R1,
SAC的外接圆,此处特殊,RtSAC的斜边是球半径,
棱锥外接球的体积为()
解:
选D,圆锥代B,C在以r
O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球0
)A
A.迈B.5c.辽D.辽
6632
22彳/.3、262飞11、32.6.2
解:
OO^i.Rr1(——),h,VSh-
\33333436
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
题设:
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第一步:
确定球心O的位置,01是ABC的外心,则001平面ABC;
11
第二步:
算岀小圆01的半径A01r,001-AA-h(AA1h也是圆柱的高);
22
第三步:
勾股定理:
0A201A20Q2R2(h)2r2R..r2(h)2,解岀R
2¥2
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为
8
解:
设正六边形边长为
a,
正六棱柱的高为
h,底面外接圆的关径为
r,则a-,
2
V3
底面积为S6—
Q)2
口,V柱
3.39.
Shh,h
3,R2(仝)2
(-)21
4
2
8
88
2
2
R1,球的体积为V
(2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若ABACAA,2,BAC120,
则此球的表面积等于。
第二步:
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;
222
第三步:
解OEU,算岀0比,在RtOCH1中,勾股定理:
OH;CH12OC2
正三角形,则三棱锥PABC外接球的半径为
解析:
2ri2r2
2
sin60
石
2
.3
O2H
1
.3
2
1
4
5
15
r1
R-
3
3
3
3
1
.3
,O1H
1
3
,AH1,
R2O2H2
O2
O
A
O1
H
R2AO2AH2
O1H2O1O2
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
题设:
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(
ACBD)
第一步:
画岀一个长方体,标岀三组互为异面直线的对棱;
ABCD,AD
BC,
第二步:
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c,AD
BCx,AB
CD
y,ACBD
z,列方
程组,
2
a
b2
2
c
b2
2
c
2
a
2
x
2
y
2
z
(2R)a
b2
补充:
Va
BCD
abc
4】abc
3
第三步:
根据墙角模型,
2R
222
a2b2c2,x;z
R2
222
xyz
8
222
xyz
求岀R,
8
例如,
正四面体的外接球半径可用此法。
例6
(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一
个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是
邑C邑D毎
3412
A.Hb.
4
解:
(1)截面为
PCO1,面积是2;
1,底面外接圆的半径为
设底面边长为a,则2R
2
sin60'
三棱锥的体积为V
丄Sh
3
(3)在三棱锥A
BCD中,ABCD
29
的表面积为。
-
1的球面上,其中底面的三个顶点()
R1,直径为
a.3,S
2,ADBC
2R2,
■-32
a
4
3,AC
33
~T,
A
(1)题解答图
。
2
BD4,则三棱锥ABCD外接球
解析:
如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,则a2b29,
55
b2
2c
4,c2
a216
222222
2(abc)941629,2(abc)941629,
2
■2
2
29
2
29
9
a
b
c
4R
S-
2
2
2
(4)如图所示三棱锥ABCD,其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.
解析:
同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c.
2(a2b2c2)253649110,a2b2c255,4R255,S
【55;对称几何体;放到长方体中】
(5)正四面体的各条棱长都为,2,则该正面体外接球的体积为
解析:
这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,2R、3,
.3、,43、3.3
—,V——
2382
题设:
APBACB90,求三棱锥PABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点0,连
接
1
OP,OC,则0AOBOCOPAB,O为三棱锥PABC外接球球心,然后在0CP中
求岀半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。
BACD,
例7
(1)在矩形ABCD中,AB4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角则四面体ABCD的外接球的体积为()
125
125125
125
A.-
B.C.
D.
12
96
3
解:
(1)2R
5
AC5,R-,
V
4R3
4
2
3
3
125
125
,选C
8
6
(2)在矩形ABCD中,AB2,BC
3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所
D
图15
C
得三棱锥ABCD的外接球的表面积为
解析:
(2)BD的中点是球心O,2RBD13,S4R213;
类型八、锥体的内切球问题
1•题设:
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥,求其外接球的半径。
第一步:
先现岀内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
1
第二步:
求DHBD,POPHr,PD是侧面ABP的高;
3
第三步:
由POE相似于PDH,建立等式:
匹,解岀r
DHPD
2•题设:
如图15,四棱锥PABC上正四棱锥,求其外接球的半径
第一步:
先现岀内切球的截面图,P,0,H三点共线;
第二步:
求FHBC,POPHr,PF是侧面PCD的高;
2
第三步:
由POG相似于PFH,建立等式:
OG竺,解岀
HFPF
3•题设:
三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径
方法:
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步:
先画岀四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:
设内切球的半径为r,建立等式:
VpABCVoABCVopabV。
pacVpbc
第三步:
解出r
3VpABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
习题:
1.若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直,且SA2,的外接球半径为()
A.3B.6C.36D.9
解:
【A】(2R)2J416166,R3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】
2.三棱锥SABC中,侧棱SA
SBSC4,
则该三棱锥
则该三棱锥的外接球体积等于
平面ABC,底面ABC是边长为
32
3
..3的正三角形,
SA2.3,
2,(2R)2
2
41216,R4,R2,
解析:
2rsin60
【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】
3•正三棱锥SABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为积等于.
外接球体积-
3
2,则该三棱锥的外接球体
解析:
ABC外接圆的半径为,
三棱锥SABC的直径为2R
2
sin60
43
-R3
3平面PAC平面ABC,
ABC外接球的半径为
2
或R2(R
4.三棱锥
ABBC,
..3)21,R
PABC中,则三棱锥P
2,外接球体积V
3
42
——,外接球半径R
■.3■-3
323
27,
8
3、3
PAC边长为2的正三角形,
解析:
PAC的外接圆是大圆,2R——
sin60
5.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,则三棱锥P
2
,R3,
AC2,PAPC3,
ABBC,
解析:
cos
ABC外接球的半径为.
PA2PC2AC2
2PAPC
7,sin2p1◎
162
81,
sinP
4.2
2R
2
4*2
2、24
9
BC,则
6.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,AB三棱锥PABC外接球的半径为.
解:
AC是公共的斜边,AC的中点是球心0,球半径为R1
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- 八个 无敌 模型 搞定 空间 几何 外接 内切球 问题