中线倍长法及截长补短经典讲义.docx
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中线倍长法及截长补短经典讲义
中线倍长法及截长补短
经典讲义
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOnel
几何证明中常用辅助线
(一)中线倍长法:
例1、求证:
三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知:
如图,AABC中,AD是BC边上的中线,求证:
AD<丄
2
(AB+AC)
小结:
涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角ZBAD和ZCAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。
方式3:
CF丄AD于F,
丄AD的延长线于E
C连接BE
例3.AABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范圉
例4、已知在Z\ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:
BD=CE
课堂练习:
已知CD=AB,ZBDA二ZBAD,AE是Z\ABD的中线,求证:
ZC=ZBAE作业:
1.在四边形ABCD中,AB〃DC,E为BC边的中点,ZBAE=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、论
2、已知:
如图,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE
3:
已知在ZiABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE二AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
(二)截长补短法
教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用•而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特姝方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗•请看几例.
例1・已知,如图id,在四边形ABCD中,BC>AB.AD=DC,BD
平分ZABC.求证:
ZB^D+ZBCD=180°・
分析:
因为平角等于180。
因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直的延长线于点E,作DF丄BC于点只如图
•:
BD平分ZABC.:
.DE=DF9
在Rt/\ADE与Rt/^CDF中,
[DE=DF
\AD=CD
:
.Rt^ADE竺Rt/\CDF(HLb:
.上DAE二ZDCF.
又ZBAD^ZDAE=180",AZB/4D+ZDCF=180°,
即ZB4D+ZBCD二18(T・
例2.如图2・1,AD//BC,点F在线段上,ZADE二ZCDE、ZDCE二ZECB・求证:
CD二AD+BC.
证明:
在CD上截取CQBC,如图2-2在AFCE与ABCE中,
CF=CB
分析: 结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的. CE=CE /.AfC£^ABC£(SAS)/.\Z2=Z1. 又•: AD〃BC,: .ZADC^ZBCD=180",ZDC£+ZCD£=90°, AZ2+Z3=90°,Zl+Z4=90°,AZ3=Z4. 任Z^FDE与厶ADE中, ZFDE=ZADE DE=DE Z3=Z4 : .^FDE^/\ADE(ASA),ADF=DA. TCD二M+CF,: .CD=AD+BC. 例3.已知,如图3」Z1=Z2,P为BN上一点,且PD丄BC于点6 AB+BC=2BD. 求证: ZBAP+ZBCP=180D・分析: 与例1相类似,证两个角的和是180。 可把它们移到一起,让它们是 图3-2 邻补角,即证明ZBCP^ZEAP.因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明: 过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2 VZ1=Z2,且PD丄BC,: .PE=PD9 在Rt/^BPE与RtABPD中, fPE=PD \bp=bp /.RtZ^BPE竺Rt厶BPD(H0: .BE二BD・ 9: AB+BC=2BD.: .AB+BDWC=B[>BE.: .ABWC=BE即DC二BF・A3“E・ 在Rt/\APE与Rt/^CPD中, PE=PD AE=DC : .RtAAPE竺RtACPD(SAS),: .ZPAE二ZPCD又IZBAP^ZPAE=180c,/.Z8>4P+Z5CP=180o 例4.已知: 如图44,在“ABC中,ZC=2ZB,Z1=Z2.求证: AB=AC^CD・ 分析: 从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长&C至F使CE=CD,或在上截取AF=AC. 证明: 方法一(补短法)延长AC到E.使DC=CE.则ZCDE=ZCED. 2 AZ>4CB=2ZE, VZACB=2AB,AZB=ZE, 在厶ABD与中, Z1=Z2 AD=AD /./XABD^^AED(AAS),: .ab=ae.又AE=AC+CE=AC+DC.: .AB=ACWC. 方法二(截长法) 在AB±截取AF=AC.如图4・3 在△AFD与△&CD中, AF=AC AD=AD A/^AFD^AACD(SAS): DF=DC、乙AFD= AACD・ 又VZ>4CB=2ZB.;・ZFDB=ZB、: .FD=FB. 9: AB=AF^FB=AC+FD.: .AB=AC^CD. 上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。 让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。 作业: 1、已知: 如图,ABCD是正方形,ZFAD=AFAE.求证: BE+DF=AE. 2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD.ZABC+Z求证: AD平分 ZCDE (三)其它几种常见的形式: 1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。 例1、如图1: 已知AD为ZiABC的中线,且Zl=Z2,Z3=Z4z求证: BE+CF>EF. 2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。 例: : 如图2: AD为AABC的中线,且Z1=Z2,Z3=Z4,求证: BE+CF>EF. 练习: 已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向 形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD。 3、延长已知边构造三角形: 例如: 如图6: 已知AC=BD,AD丄AC于A,BC丄BD于 B, 求证: AD=BC 4. 连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如: 如图7: AB〃CD,AD//BC求证: AB=CDo 5.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如: 如图8: 在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=90°, 延长于Eo求证: BD=2CE・ 6、连接已知点,构造全等三角形。 例如: 已知: 如图9;AC、BD相交于O点,且AB=DC, Z1=Z2,CE丄BD的 ZD. 8、取线段中点构造全等三有形。 例如: 如图10: AB=DC,ZA=ZD求证: ZABC=ZDCB. 图IO 截长补短专题训练作业: 1、如图,等腰梯形ABCD中,ADIIBC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE (1)求证: BE=CE; (2)若ZBEU90。 ,过点B作BF丄CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证: BG=DG+CD・ 2.如图,口ABCD中,E是BC边的中点,连接AGF为CD边上一点,且满足 ZDFA=2乙BAE. (1)若ZD=105°,ZDAF=35°.求ZFAE的度数; (2)求证: AF=CD+CF. 3、如图,直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZB=90°,ZD=45°・ (1)若AB=6cm,sinZBCA=-*求梯形ABCD的面积; 5 (2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA±一点,且满足 EF=GH,ZEFH=ZFHG,求证: HD=BE+BF. 4、如图,梯形ABCD中,ADIIBC,点E在BC上,AE二BE,且AF丄AB,连接EF・ (1)若EF丄AF,AF=4,AB=6,求AE的长. (2)若点F是CD的中点,求证: CE二BE・AD. 5•在口ABCD中,对角线丄BC,G为3D延长线上一点且AABG为等边三角形,ABAD.ZCBD的平分线相交于点E,连接交BD于F,连接GE. (1)若DABCD的面积为9血,求AG的长; (2)求证: AE=BE+GE・ 6•已知: 如图,在矩形ABCD中,AC是对角线•点P为矩形外一点且满AP=PC,AP丄PC.PC交AD于点、N,连接DP,过点P作PM丄PZ烽AD于M・ (1): ^AP=y/5.AB=-BC,求矩形A3CD的面秘 3 (2): 若CD=PM,求证: AC=AP+PN・ 7、如图,在正方形ABCD中,点P是AB的中点,连接QP,过点B作 BE丄DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF丄AE交QP于点F,连接 (1) 若A£=2,求EF的长; (2)求证: PF=EP+EB° 9.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O•点E是线段DO上一点,连结CE.点F是ZOCE的平分线上一点,且BF丄CF与CO相交于点M.点G是线段CF上一点,且CO=CG. (1)若OF=4,求FG的长;A只 (2)求证: BF=OG+CF.\ 9题图
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