二轮微专题以分段函数为载体的应用题.docx
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二轮微专题以分段函数为载体的应用题
微专题39 以分段函数为载体的应用题
数学源于生活,应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现.数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点,常以中档题(17或18题)的形式呈现,具有良好的区分度,是高考的重点与热点.本专题集中介绍以分段函数型的应用问题,常见的处理手段是结合实际问题,利用所给条件建立分段函数的数学模型,利用所学数学的知识与方法予以解决.
如图391所示,某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为p(x)=
x2+x+150万元.
图391
(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?
(2)现按
(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图所示).经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(m)=
(单位:
件).已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?
以分段函数为背景的应用题,解题的关键是体现分段函数的解题特点:
及时、正确运用分类讨论思想方法.本题分别计算1≤m≤30与m>30两种情况下,q(m)的最大值,然后求得日平均分拣量最大时的用人数和减少的比例.
某网店专卖当地某种特产,由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克,1<x≤5)满足:
当1<x≤3时,y=a(x-3)2+
(a,b为常数);当3<x≤5时,y=-70x+490,已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该特产700千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出该特产150千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克).
如图392,已知半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,其中该半圆的半径OA的长为1百米.为了保护景点,基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形,设DE=t百米,记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元,经测算f(t)=
(1)用t表示线段EF的长;
图392
(2)求修建参观线路的最低费用.
某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销完,公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图394所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.
图394
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元?
若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由.
某地发生某种自然灾害,使当地的水质受到了污染.某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知一次投放m个质量单位的药剂后,经过x(x∈N*)天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)=
,当投放的药剂在水中释放的浓度不低于6个浓度单位时称为水质达到有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6个浓度单位且不高于18个浓度单位时称为水质达到最佳净化.
(1)如果一次投放4个质量单位的药剂,试问水质达到有效净化一共可经过几天?
(2)一次投放m个质量单位的药剂后,经过1天至经过6天水质都能达到最佳净化,试确定m的最小值与最大值;
(3)通过控制一次投放药剂的质量m,可以使最佳净化的天数尽可能多,问:
一次投放多少药剂,可以使经过一天后水质开始连续达到最佳净化,且连续达到最佳净化的天数最多?
某公司代理销售某种品牌小商品,该产品进价为5元/件,销售时还需交纳品牌使用费3元/件,售价为x元/件,其中10≤x≤30,且x∈N*.根据市场调查,当10≤x≤15,且x∈N*时,每月的销售量h(万件)与(18-x)2成正比;当15≤x≤30,且x∈N*时,每月的销售量h(万件)与1-
成反比.已知售价为15元/件时,月销售量为9万件.
(1)求该公司的月利润f(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,该公司的月利润f(x)最大?
并求出最大值.
(本题满分16分)(2019·南通二模)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图395所示),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案.
方案①:
以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:
以l1为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
图395
(2)设l1的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
(1)
dm;
(2)2
.
设所得圆柱的半径为rdm,则(2πr+2r)×4r=100,
………………………………………………………………………………………2分(列出方程(2πr+2r)×4r=100)
解得r=
.………………………………………………………………………………………………4分(求出r)
所以圆柱的底面半径为
设所得正四棱柱的底面边长为adm,则
即
……………………………………………………………………………………6分(求出a与x满足的不等式组)
所得正四棱柱的体积V=a2x≤
………………………………………………………9分(求出正四棱柱的体积V关于x的函数及最值(关于x))
记函数p(x)=
则p(x)在(0,2
]上单调递增,在[2
,+∞)上单调递减,所以当x=2
时,
…………………11分(设p(x)=
利用导数判断p(x)的单调性)
p(x)max=20
.
答:
当x=2
,a=
时,Vmax=20
dm3.
……………………………………………………………14分(由p(x)的单调性求出p(x)max进而求出Vmax)
2a≤x≤
,从而a≤
.
所得正四棱柱的体积V=a2x≤a2
=20a≤20
.
所以当a=
,x=2
时,Vmax=20
dm3.
答:
当x为2
时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.16分
第一步:
由题设列出关于r的方程;
第二步:
从第一步的方程中求出r的值;
第三步:
由题设列出关于a与x的不等式组;
第四步:
写出正四棱柱的体积V(x)并得出V(x)≤p(x)(用x表示);
第五步:
利用导数判断p(x)的单调性;
第六步:
由p(x)的单调性导出V(x)max及对应的x.
作业评价
(2020·上海模拟)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:
exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:
E=t2+20t+16a;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;
(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
(其中c为小于6的正常数).
(注:
次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
(2020·江苏模拟)为了积极响应国家的环保政策,某公司购买了某种处理污水的机器,在每台机器的使用过程中,机器的去污指数y与时间x(单位:
年)的关系近似为y=
.已知使用7年时机器的去污指数为4.当机器的去污指数低于3时,排出的污水不能达到国家有关标准.
(1)求一台这种污水处理机最多可使用几年;
(2)若该公司先购买一台机器,当该机器使用3年时,又购买了一台机器,两台机器同时处理污水,写出两台机器共同使用时,去污指数y与时间x(从购买第一台机器开始计算时间)的函数关系式,并判断接下来的10年,该公司排出污水能否达到国家的标准.(注:
若多台机器共同使用,则某个时间的去污指数为每台机器在此时间的去污指数之和)
图396所示,某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园(ABCDEF围成的封闭区域),其中AB长12百米,BC长4百米,CD=8.5百米,AF长0.5百米,DEF是一段曲线形公路,该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域,且MP=PQ,植物园大门位于公路DEF上的M处,音乐广场P位于AB的中点处,为了能够让游客更好地观赏园中的景观,现决定修建一条观光栈道,起点位于距离音乐广场P处2百米的O点所示位置,终点位于美食广场Q处.图397所示,建立平面直角坐标系,若M(x,f(x))满足
f(x)=
(1)求f(x)的解析式;
(2)求观光栈道OQ的长度的最小值.
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