1718版 第1章 第2课 四种命题和充分必要条件.docx
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1718版第1章第2课四种命题和充分必要条件
第2课四种命题和充分、必要条件
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
命题的四种形式
√
充分条件、必要条件、充分必要条件
√
1.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图21
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)如果p⇔q,那么p与q互为充分必要条件.
(3)如果pD
q,且qD
p,则p是q的既不充分又不必要条件.
3.集合与充分必要条件
设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件.
(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充分必要条件.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p则q”的否命题是“若p,则非q”.( )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
[解析]
(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
(3)正确.q是p的必要条件说明p⇒q,所以p是q的充分条件.
(4)正确.原命题与逆否命题是等价命题.
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是________.
若tanα≠1,则α≠
[“若p则q”的逆否命题是“若非q,则非p”,显然非q:
tanα≠1,非p:
α≠
,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”.]
3.(2016·镇江期中)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,则“ac<0”是“该方程有实数根”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)
充分不必要 [一元二次方程ax2+bx+c=0有实根,则判别式Δ=b2-4ac≥0,即b2≥4ac.当ac<0时,显然有b2≥4ac;但b2≥4ac未必推出ac<0,故“ac<0”是一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的充分不必要条件.]
4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.
2 [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.
因此4个命题中有2个假命题.]
5.(2017·南京三模)记不等式“x2+x-6<0”的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________.
(-∞,-3] [由x2+x-6<0得-3 由x-a>0得x>a,即B={x|x>a}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, ∴A⊆B, ∴a≤-3.] 四种命题的关系及其真假判断 (1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是________. (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是________.(填序号) ①真,假,真;②假,假,真;③真,真,假;④假,假,假. (1)若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数 (2)② [ (1)“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”. (2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题. 当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不共轭,所以逆命题为假命题,从而它的否命题也为假命题.] [规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可. 3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. [变式训练1] (1)已知命题p: 正数a的平方不等于0,命题q: 若a不是正数,则它的平方等于0,则p是q的________.(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”) (2)给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) (1)否命题 (2)①③ [ (1)把命题p可改成“若a是正数,则它的平方不等于0”,显然q是p的否命题. (2)①的逆命题为: 若x,y互为相反数,则x+y=0,显然是真命题;②的否命题为: 不全等的三角形的面积不相等,显然是假命题; ③若x2+x+q=0有实根,则Δ=1-4q≥0,即q≤ .故当q≤-1时,方程x2+x+q=0有实根是真命题,其逆否命题也是真命题; ④是假命题,如a=2,b= ,则ab=1.] 充分条件与必要条件的判断 (1)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p: f′(x0)=0;q: x=x0是f(x)的极值点,则p是q的________条件.【导学号: 62172006】 (2)(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα ③“a=0”是函数“f(x)=x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中真命题的序号为________. (1)必要不充分 (2)③ [ (1)当f′(x0)=0时,x=x0不一定是f(x)的极值点, 比如,y=x3在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点. 由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0. 综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件. (2)①∵y=3x是单调递增函数,∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件,故①错误; ②由于α,β的范围不明确,故当α>β时无法判断“cosα,cosβ”的大小关系.故②错误; ③当a=0时,f(x)=x3是奇函数;反之由f(x)为奇函数可知a=0,故③正确.] [规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. [变式训练2] (2017·南昌调研)m=-1是直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+9=0垂直的________条件. 充分不必要 [由直线mx+(2m-1)y+1=0与3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴m=-1是两直线垂直的充分不必要条件.] 充分条件、必要条件的应用 (典例迁移) 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.【导学号: 62172007】 [解] 由x2-8x-20≤0得 -2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件, 则S⊆P, ∴ ∴0≤m≤3. 综上可知,当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件. [迁移探究1] 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. [解] 由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ ∴ 即这样的m不存在. [迁移探究2] 本例条件不变,若非P是非S的必要不充分条件,求实数m的取值范围. [解] 由例题知P={x|-2≤x≤10}. ∵非P是非S的必要不充分条件,∴P是S的充分不必要条件, ∴P⇒S且SD P, ∴[-2,10][1-m,1+m], ∴ 或 ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). [规律方法] 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. [变式训练3] (1)(2017·徐州模拟)已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. (2)方程ax2+2x+1=0(a∈R,a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________. (1)(0,3) (2)a≤0或a=1 [
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