普通高等学校招生全国统一考试数学93北京文.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学93北京文
1993年全国普通高等学校招生统一考试(文史类)
数学
(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
第I卷
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是
(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为
(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为
(A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0
(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0
(4)i2n-3+i2n-1+i2n+1+i2n+3的值为
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
(A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数
(C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数
(8)sin20cos70+sin10sin50°的值是
(9)圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是
(A)6 (B)4 (C)5 (D)1
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则
(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线的一支 (D)抛物线
(12)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是
(A)-40 (B)10
(C)40 (D)45
(15)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则
(A)a1+a8>a4+a5
(B)a1+a8 (C)a1+a8=a4+a5 (D)a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定. (16)设有如下三个命题: 甲: 相交两直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内. 乙: l,m之中至少有一条与β相交. 丙: α与β相交. 当甲成立时 (A)乙是丙的充分而不必要的条件 (B)乙是丙的必要而不充分的条件 (C)乙是丙的充分且必要的条件 (D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 (17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 第Ⅱ卷 二、填空题: 把答案填在题中横线上. (20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有 种取法(用数字作答). (21)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= . (22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元. (23)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为 度. 三、解答题: 解题应写出文字说明、演算步骤. (24)求tg20°+4sin20°的值. (Ⅰ)求f(x)的定义域; (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)求使f(x)>0的x取值范围. (26)已知数列 Sn为其前n项和.计算得 观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明. (27)已知: 平面α∩平面β=直线a. α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b. 求证: (Ⅰ)a⊥γ; (Ⅱ)b⊥γ. 标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程. 1993年全国普通高等学校招生统一考试(文史卷) 数学参考答案 (北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题) 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算. (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题. (24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力. (25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力. 而从(Ⅰ)知1-x>0,故①等价于1+x>1-x,又等价于x>0.故对a>1,当 x∈(0,1)时有f(x)>0. 而从(Ⅰ)知1-x>0,故②等价于-1 00. (26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 证明如下: (Ⅱ)设当n=k时等式成立,即 由此可知,当n=k+1时等式也成立. 根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立. (27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,以及空间想象能力和逻辑思维能力. 证法一: (Ⅰ)设α∩γ=AB,β∩γ=AC. 在γ内任取一点P并于γ内作直线 PM⊥AB,PN⊥AC. ∵γ⊥α, ∴PM⊥α, ∴PM⊥a. 同理PN⊥a. ∴a⊥γ. (Ⅱ)于a上任取一点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2. ∵ b∥α,∴b∥a1. 同理b∥a2. ∵ a1,a2同过Q且平行于b, ∴ a1,a2重合. ∴ a1,a2都是α、β的交线,即都重合于a. ∵ b∥a1,∴b∥a. 而a⊥γ, ∴b⊥γ. 证法二: (Ⅰ)在a上任取一点P,过P作直线a′⊥γ. ∵α⊥γ,P∈α, 可见a′是α,β的交线. 因而a′重合于a. 又a′⊥γ,∴a⊥γ. (Ⅱ)于α内任取不在a上的一点,过b和该点作平面与α交于直线c.同法过b作平面与β交于直线d. ∵b∥α,b∥β. ∴b∥c,b∥d. 于是c∥β. ∴c∥a. ∴b∥a. 而a⊥γ. ∴b⊥γ. (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力. 解法一: 如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角 在△MNP中,│MN│=2c,MN上的高为点P的纵坐标,故 由两点间的距离公式 解法三: 同解法一建立坐标系. 由余弦定理,得 (2c)2=│PM│2+│PN│2-2│PM│·│PN│cosP =(│PM│+│PN│)2-2│PM│·│PN│(1+cosP) ∴c2=a2-3,即b2=3. 由正弦定理,得
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