《步步高》高考数学第一轮复习03导数的应用一最新整理.docx
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《步步高》高考数学第一轮复习03导数的应用一最新整理
§3.2导数的应用
(一)
2014高考会这样考1.利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值、最值;2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题.
复习备考要这样做1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义,体会导数的工具作用;2.理解导数和单调性的关系,掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤.
1.函数的单调性
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)
在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步
骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
[难点正本疑点清源]
1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
2.f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.
3.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
x2+a
1.若函数f(x)=x+1在x=1处取极值,则a=.
答案3
2x2+2x-x2-ax2+2x-a
解析f′(x)==.因为f(x)在x=1处取极值,所以1是f′(x)=0
(x+1)2
的根,将x=1代入得a=3.
(x+1)2
2.函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.
答案[-3,+∞)
解析f′(x)=3x2+a,f′(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
则f′(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.∴a≥-3.
3.
如图是y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:
①f(x)在[-2,-1]上是增函数;
②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;
④x=3是f(x)的极小值点.
其中正确的判断是.(填序号)
答案②③
解析①∵f′(x)在[-2,-1]上是小于等于0的,
∴f(x)在[-2,-1]上是减函数;
②∵f′(-1)=0且在x=0两侧的导数值为左负右正,
∴x=-1是f(x)的极小值点;
③对,④不对,由于f′(3)≠0.
4.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()
3
A.-1B.0C.-D.3
答案C
33
解析g(x)=x3-x,由g′(x)=3x2-1=0,解得x1=3,x2=-3(舍去).
当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,3)
3
3
3
(3)
,1
3
1
g′(x)
-
0
+
g(x)
0
极小值
0
33
所以当x=3时,g(x)有最小值g(3)=-.
5.(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
答案B
解析设m(x)=f(x)-(2x+4),∵m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在R上是增函数.∵m(-1)
=f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).
题型一利用导数研究函数的单调性
例1已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
思维启迪:
函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论.解f′(x)=ex-a,
(1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,即f(x)在R上递增,
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.
因此当a≤0时,f(x)的单调增区间为R,当a>0时,f(x)的单调增区间是[lna,+∞).
(2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.
∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
又∵-2 当a=e3时,f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f′(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3.故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上为减函数. 探究提高 (1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤: ①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x); ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间. (2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论; (3)对已知函数的单调性的问题一定要掌握导数的条件.已知函数f(x)=x3-ax2-3x. (1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围; (2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间. 解 (1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3. 由f′(x)≥0,得a≤3(x-1). 记t(x)=3(x-1),当x≥1时,t(x)是增函数, 2x 3 ∴t(x)min=(1-1)=0.∴a≤0. 2 (2)由题意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 1 令f′(x)=0,得x1=-,x2=3. 3 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x 1 (-∞,-) 3 1 - 3 1 (-,3)3 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[3,+∞),f(x)的单调递减区间为[-1,3]. 33 题型二利用导数研究函数的极值 例2已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设a=2,求f(x)的单调区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.思维启迪: (1)单调区间即为f′(x)>0,f′(x)<0的解区间. (2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个. 解 (1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3x2-12x+3=3(x-2+ 3)(x-2- 3). 当x∈(-∞,2- 3)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)上单调递增; 当x∈(2- 3,2+ 3)时,f′(x)<0,f(x)在(2- 3,2+ 3) 上单调递减; 当x∈(2+ 3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞)上单调递增. 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞), f(x)的单调减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3x2-6ax+3=3[(x-a)2+1-a2]. 当1-a2≥0时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故f(x)无极值点; 当1-a2<0时,f′(x)=0有两个根x1=a-a2-1, x2=a+a2-1. 由题意,知2 或2 5555 ①无解,②的解为 4343 探究提高 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)本题的易错点为不对1-a2进行讨论,致使解答不全面. ex (2011·安徽)设f(x)=+2,其中a为正实数. 1ax 4 (1)当a=时,求f(x)的极值点; 3 (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 1+ax2-2ax 解对f(x)求导得f′(x)=ex·.① (1+ax2)2 4 (1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,3 31 解得x1=,x2=.结合①,可知 22 x (-∞,1) 2 1 2 (13) , 22 3 2 (3) ,+∞ 2 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 31 所以x1=是极小值点,x2=是极大值点. 22 (2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+ 1≥0在R上恒成立,即Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0 所以a的取值范围为{a|0 题型三利用导数求函数的最值 例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f′(x). 2 (1)若曲线f(x)在点(1,f (1))处的切线斜率为3,且x=时y=f(x)有极值,求函数f(x)的解 3 析式; (2)在 (1)的条件下,求函数f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值. 思维启迪: (1)构建方程f′ (1)=3,f′ (2)=0,求得a,b,进而确定函数f(x)的解析式. (2)列出f′(x)与f(x)的变化表,比较端点值和极值的大小. 解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b. 依题意f′ (1)=3,f′ (2)=0, 得Error! 解之得Error! 所以f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)由 (1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2). 2 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 3 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x -4 (-4,-2) -2 2 (-2,) 3 2 (,1)3 2 3 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -11 极大 值13 95 极小值 27 4 ∴f(x)在[-4,1]上的最大值为13,最小值为-11. 探究提高在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)在[a,b]内所有使f′(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内所有使f′(x)=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得. (2012·重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解 (1)因为f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b. 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有Error! 即Error! 化简得Error! 解得Error! (2)由 (1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f (2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,解得c=12. 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f (2)=-16+c=-4, 因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f (2)=-4. 典例: (14分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 审题视角 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)=x-a(x>0),[1分] 1 ①当a≤0时,f′(x)=x-a>0,即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).[3分] 11 ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, a 11-ax 当0 ax 11-ax 当x>时,f′(x)=<0, ax a 故函数f(x)的单调递增区间为(0,1], 单调递减区间为[1,+∞).[5分] 1 (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f (2)=lna 2-2a.[9分] 11 ②当≥2,即0 (1)=-a a2 .[10分] ③当1<1<2,即1 (2)-f (1)= a2aa ln2-a, 1
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