圆锥曲线压轴难题解答.docx
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圆锥曲线压轴难题解答
圆锥曲线提高题
1设抛物线y2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,
则B到该抛物线准线的距离为。
2
解析:
利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2,B点坐标为(二,)所
4
以点B到抛物线准线的距离为
3_
-42,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易
4
题
uuuuuu
2.已知以F为焦点的抛物线y4x上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准
线的距离为.
解析:
设BF=m,由抛物线的定义知
AA-i3m,BBim
ABC中,AC=2m,AB=4nk>AB、3
直线AB方程为y.3(x1)
与抛物线方程联立消y得3x210x30
所以AB中点到准线距离为空空i5i8
233
3.已知m>1,直线l:
xmy
2
x
~2
m
y21,RE分别为椭圆C的左、
右焦点.
(I)当直线I过右焦点f2时,求直线I的方程;
(H)设直线l与椭圆C交于A,B两点,VARF2,VBF1F2的
重心分别为G,H.若原点0在以线段GH为直径的圆内,求实数m
的取值范围解析:
本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
(I)解:
因为直线l:
xmy
m2
0经过F2(-m21,0),所以■-m21
m2
得m22,
又因为m1所以m,2,故直线1的方程为x,2y-f
(n)解:
设A(x1,y1),B(x2,y2)。
且有y1y2
由于Fi(c,0),F2(c,0),,
故O为F1F2的中点,
uuuruuurumruuir由AG2GO,BH2HO,
由题意可知2MO
即4[(X^2'2上
(X1
X2)2
9
(力y2)2
即x-ix2yy20
22
曲/mm、
而X1X2y〃2(myi)(my2)y』2
22
所以
(m2即m24
又因为mi且0
所以1m2。
所以m的取值范围是(1,2)。
22
4.己知斜率为1的直线I与双曲线C:
务笃1a>0,b>0相交于ab
的中点为M1,3•
(I)求C的离心率;
(H)设C的右顶点为A,右焦点为F,DFgBF17,证明:
过Ax轴相切.
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,
知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力
【参考答案】
B、D两点,且BD
B、D三点的圆与
既考查考生的基础
(1>由题设知•/的方和为:
y=x42.代入C的方程.井化简.爲
(b2-a2)^-4a2x-4a2-a2b2=0.
〃佃・必)、Ofxj.y,)*
4a24a2+a2fr2
由M(I.3>为BD的中点知△上殳=].故2
1心尹耳円•b2=3a31
c=>/a:
♦Z>2=2^
所以C的离心率e<£・2・
a
(II)由①、②知.C的方程为:
3?
-/=3o2,人(仏0)・F(2a.0).X|+x,=1Xy-x,=-^^-<0.
故不妨设斗Wt.©Na・
I财匸Jg_2d)'+y;=丁3-卯+3彳4=«-2^.
IFDI=Jcxj_2a)‘十y;35&・加)‘+3g-如二耳-c•
I=(a-2為X2x,r)
■Sa'*"亠8.
/z
9
或
R
为
徑的
(1)
(2)
由
1
e
2
2
设
M
yi
2c
a2
M(
丙此以M
故x
!
>・MA
B.D
b2
2
222C
bc2c,有2
a
it结AM・別由A(LO)・W(J.3)^\MA\-3・从而
22
5.设椭圆C1:
a2b21(ab°),抛物线C2:
x?
by『。
3
的垂心为B0,—b,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程。
4
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。
AM=MB=MD・且AM丄需轴
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为
背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定•
故Sa5+4 故IBD\—运I齐-£I逐J5・+形尸一4舛咼^6 所以过仏B.D〔点的相切 若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率; 设A(0,b),Q3丁3,,5,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN 4 (1)由已知椭圆焦点 (c,0) 在抛物线上,可得: ⑵由题设可知 N关于y轴 对称 0),由 AMN的垂心为B,有 -或yb(舍去) 4 重心坐标 4 于b,M(于b,(于b,三),得QMN X1,yj,N(X1,%)(X1 uuunUULT2 BMAN0X1(y1 3b)(y1b)0。 4 由点N(x「yj在抛物线上, 29 X1by1b,解得: b2 由重心在抛物线上得: 3— 4 11b2,所以b=2,M(.5,—),N(、5,-),又因为M22 16 N在椭圆上得: a2,椭圆方程为 3 2 X 16 2 L1,抛物线方程为X2 42y4。 6•已知以原点0为中心, F-.5,0为右焦点的双曲线C的离心率e (I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; (II)如题(20)图,已知过点Mx1,y1 的直线l1: x-|X4y1y4与过点 NX2,y2(其中X2x)的直线 l2: x2x4y2y4的交点E在双 曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点,求OGH的面积。 解: (I)的标准方程为密「(a>0, 6>0),则由题意c=e=—=孕,az 因此a=2,6=Jd-J=1, C的标准方程为j--/=1・ C的渐近线方程为y=±yx,即x-2y=0和a+2y=0. (n)解法一: 如答(20)图,由题意点E(孔,九)在直线2心“+4力y・4和ZjzXjX+ 4如=4上,因此有衍牝+4)•伉=4,xax£+4力允=4, 故点M、N均在直线x£x+4yEy=4上,因此直线MN的方程为 xer+4ycy=4. 设G、H分别是直线MN与渐近线入-2y=0&x+2y=0的交点, [XfX+4VrV 由方程纽 x-2y=0 22 解得北= 4 设MN与*轴的交点为Q,则在直线x£x+4nr=4中,令y=0得力=•(易知xc %<#0).注意到xJ-4/1=4J9 Sg=*・IOQI•In-/.I=盘・I石七土;I 42|xe| "■M"*|xl-4yir 解法二: 设由方程组 r声=4” 伽=4- X£='仇「 e利沧一处几靳先 - 因七1 卅科'则直线臥附的斜畢*- 舍F地 故直线必甲的方程为 y-y> 下同解法1* (II)设直线PFi、PF? 的斜线分别为ki、k2. koc、koD满足koAkoBkockoD0? 若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若 不存在,说明理由• 所以? ■*zT"*'- 更小・卩1「. 所1]d■竝山■k F折求桶圆方程为 (n)(i)ws弋•: 方法-: *>! >><-UO).F: (lt0)tPF^PFz的国率分别为虹g且点P不衣历以ki工fki工0人丰0・・ 又宜线PFfPF,的方程分别为y-AJx+Dty-^Cx-l). 所以 *2—*1 2爲島+3b-k9 厂q・-Ta2■结论成匕 o> 方法二: 设9(4以》•则爲一召匚 因为点P不在工紬上.所以y9^0.又x»+力—2»所以土一鱼乂心一込竺乂口旦口如 *1h力>0 因此结论成立. CH)解: 设AC"%儿力儿C(xc»yc)>DGr "塔(卄1》J芋皿T, 联立贯线川I与橢圆的方程得 化简得《2卅+1)云+4卅工T绅一' 図此 由于 所以 目此 0> ■・,2対一2 和+刊一-巫耳V工皿=阪TH亍 OA.OB的斜甲存在. xA工0,xBH0■因此妊兴0』•匕+心=之+也=臥*尢"+匕轧土! 2 XaX>如工・ =2h十®兰主^■■h(2-诂、2> 2kx S3—…X Q-1 相似地可以得到Xc#O,%工0,愿界0丄址十&8 故心十屉〒址%+ _严為—新十上%—鱼 2Ct(^-D(*i+fet) (Al^-1X%I1> 若点曲十‘匸+匕+张=乩黛宥h+島虫°或九电«1 5)岂杠+h■0时.结合(i〉的结论•可得Jtj・l沢质Ulin曙点P站坐掠为C0,2> ②当居虽弓】时•箱舍的鰭论,解钳趾=一M此时—I■不瞒足站护居,含去片此时点阀CD的方程为>-3(x-nj^立方裂盂十2盹■#4-召 铜此F脊申・ 练上所述曲足乘件的点f的生皿駢35②煜申, 8.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点0对称,P是动点,且直线AP 1 与BP的斜率之积等于- 3 (I)求动点P的轨迹方程; (II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问: 是否存在点P使得△PAB与厶PMN的面积相等? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。 (I)解: 因为点B与A(1,1)关于原点0对称,所以点B得坐标为(1,1). 设点P的坐标为(x,y) 22 故动点P的轨迹方程为x3y4(x1) (II)解法一: 设点P的坐标为(xo,y。 ),点M,N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). Vc1Vc1 则直线AP的方程为y10(x1),直线BP的方程为y10(x1) Xo1X。 1 于是VPMN得面积 解法二: 若存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等,设点P的坐标为(xo,yo) 则1|PAgPB|sinAPB? |PM|gPN|sinMPN.因为sinAPBsinMPN, |PN||PB| |3Xo| |x1| 故存在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等,此时点P的坐标为(5屈、 (,)• 39 1 9•已知定点A(—1,0),F(2,0),定直线I: x=空,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线I的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交I于点M、N (I)求E的方程; (H)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由• 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力• 解: (1)设P(x,y),则..(x2)2y22|x 2 化简得x2——=1(y丰0)4分 3 (2)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x—2)(k^0) (3—k)2x2+4k2x—(4k2+3)=0由题意知3—k2^0且厶>0 设B(x1,y1),C(x2,y2), 4k2 X1X22 则k3 4k23 X1X2— k23 y1y2=k2(X1—2)(X2—2)=k2[X1X2—2(x1+X2)+4] 2 —+4) 3 2 =k〈—孚 k23k2_9k2_k23 因为X1、X2M—1 所以直线AB的方程为y=」一(x+1) x11 因此M点的坐标为(丄,纽) 22(X11) ULUU33vULUT33y FM(),同理可得FN(=卫2)22(x11)22(x21) UUUUUULT 因此FMgFN( 3)2 9y“2 2(X11)(X21) 81k2 k23 4(4^^4^1) k23k23 =0 ②当直线BC与x轴垂直时,起方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3) 13UUUU33 AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(一,),FM(—,) 2222 uuu 同理可得FN UULUUULT 因此FMg=N 33) 2'2) 3)23(3)=0 222 UUUUUULT 综上FMgFN=0,即FM丄FN 故以线段MN为直径的圆经过点F 12分 2 X2 10.一条双曲线y1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(X1,yJ,Q(X1,yj是双曲线 2 上不同的两个动点。 (1)求直线AiP与A2Q交点的轨迹E的方程式; (2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线li和12与轨迹E都只有一个交点,且lil 求h的值。 fe: ⑴由.七忌対収曲线的左、右顶点知,庞0,九(庞,0)・ : 丁=—(不戸=必尺(卞-V2);两式相乘得 两+寸2珂——J: 二幼而电貝亏川在収曲线上,所成互-x二1,二丄 —22亦亠22 故y2 2(x22),即冷y2 22 (2)设l1: ykxh,则由l1l2知,l2: y—xh。 k 2 t,x2 将l—: ykxh代入y1得 2 x (kxh)1,即(12k)x4khx2h20, 2 由l—与E只有一个交点知,16k2h24(12k2)(2h22)0,即 12k2h2。 11 同理,由l2与E只有一个交点知,12ph2,消去h2得字k2,即k21,从 k2k2 而h212k23,即h「3。 11.已知抛物线C: y24x的焦点为F,过点K(1,0)的直线I与C相交于A、B两点,点 A关于x轴的对称点为D. (I)证明: 点F在直线BD上; uuruuu8 (n)设FAg=B—,求BDK的内切圆M的方程 9 余析;本小題为解断儿何与平直句量埒合ED叵主要垮奁办物线的性庾.直线与因的谊直去系,克锻弓拋怖土位置哭冯-園的几何性质勻圖的方腥矿附暇、平面向植矿叢宜帆铮如決,奪査考生纬含忆用舸学叩识进行和虑证的龍力■.运算能力和解耒伺遷的能力,同时靑査T数黑纽巻思憬-左而平廉尽想. 解: 〔Q设卫(珂小)戶(叼丿)则D(*—尸小许直強人尸三处"1)仗尹0)谊入化陆整理得 2上2j F/+(2以一4触+尸=5由心40*再Qvk'V,罚+七=2~血-阳=1 戸,_/a,A_灯.勺+1)山7+如44恥-1)_珈舟叼7)_八 b■A-rr*—jjp1;: LF Jtj—1七一1円—1(尤? 一1)(血—1)珂勺一(勺~h半1 -(珂-呱-1)I-F(和l)(x3il)r(F+1)(耳此+1)i-(k21)仙+Xj)-| 将勺亠先 。 以一491 -j—3呵宝=1■代入丄式: 麻得以二一M二士— Jf164 .■J: y=+—(x+11,3Tif: 3x+4rri-3=O或3兀-4^+3=0d _片+一5一土第 吃r两(帀-曲)小 如: 力+历,-3二0如-T7y-3=a 54'和冷如切^的半即 MtWM的方腥为+产_” 12.如图,已知椭圆 x上 a2b2 1(a>b>0)的离心率为-2,以该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦点Fi,F2为顶点的三角形的周长为 4(.21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 设直线PF,、PF2的斜率分别为 PF! 和PF2与椭圆的交点分别为 B和C、D. (出) 存在, ki、 k2,证明k,k21; 是否存在常数,使得ABCD ABCD恒成立? 若存在, 的值;若不 请说明理由. 【解析】(I)由题意知,椭圆离心率为 —,得a■.2c,又2a22c4C、2I), 所以可解得a2、0,c2,所以b2 a2 2 c4,所以椭圆的标准方程为 所以椭圆的焦点坐标为(2,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所 以该双曲线的标准方程为 (II)设点P(两,九),则咕丄—扁=』二,所以岳临=』4』4 西)+2xa-2环+2珀)_2 (IID假设存在常数处便得也E+ 亦必)在双曲线上所创有号-一牛=1,即膚=彳_牛,所以 CD\=A卜£|・|CD|燻成立,则由Oil)®百呜=1,所以设玄线AE 的方程为尸=狀斗+2),回頁线匚二的方程拘》=丄〔开+2),k 由右程组 y=Jt(里十2) a32消V^5(2疋+1)严+滤乙+$好一呂=0,设4珂必'承兀必卜—+—=1 84 则由韦达定理得;冏+花二弟gp 所LUAB■丘7乜可+可尸-4聞■兰钞fp,同理可得 1 \AB\\CD\4j5(l+P)4雀(1+P) ■4盂: ]厂容所囚? ? 在橄丸二芋,便得|朋|+|CD|=/l⑷卜|CD|恒咸立. 直线与圆锥曲线 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、 的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。 其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力, 13•已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (I)求曲线C的方程; (H)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都 uuuuuu 有FA? FB0? 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。 冋車*比土盘£汲盘线与樂揚馥的抄赛黃护抛物彼M性厉等镇熬抄说.同时那誉it理运算的能放彳満井〕2弁〉 Mi J(X-1): +y2-x-5J(jt>0)» (匕简尅尸=4x(a? >0). ()1>谡过A簷⑷期伽A(n的血故八」曲ftc的仝血为卅心片)・%小 设f的方觀为肾冃刖十翩T由 X・**e和y: -勺厂斗附r0・A=l6(I? +flj)>0*r-4i T-« FM・FH<0o朗*1)(屯-1)+y;y==r,*;-(斗•斗)*I*>\y*<0② 乂其斗r*H帶丈②令KrT 琴丰弼n卄z b";? L*m: f扌Kh*r;)s^划打1*i"®山①武・不零武③尊价r rtJa-"fijti*1© 屈仔总实數「所口不甞丈⑷对尸u畀成亞甞仰于 Bf"*&■*1^0*1$3^2^2弋卿丈1*2^5* di比可知「召在iESfl/rxjra*S/M)乩比勵缚cvv两个交点厶&的任■Htfc.wnW-Ffi 14.已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点 1 Fi,F2在x轴上,离心率e一。 2 (I)求椭圆E的方程; (n)求F1AF2的角平分线所在直线I的方程; (川)在椭圆E上是否存在关于直线I对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 ■"小■■满分13分)本JB为施桶圆的建义及标准方程.橢圆的简单几何性质.W线的点斜式方程与 -股方程•点到直线的距离公式,点关于宜线的对称尊華础知识;考衣解析几何的并本思惣.纺: 合运算能力.探处盘识与创新意识・解: (I)设IffilfflE的方程为手♦石… 由e■寺.即亍=as2c9得6: =a'一疋=3c2・ X椭圆方程典有形式右+右"• 将/(2.3)代入上式.得-! ♦弓=1.舸得c@2. cc •・•ffi®£: 的方程为jy=1. (n)解法1: 由(I〉知几(-2.0)tF,(2.0)•所以 支线片几的方程为wfa+2).即3・-令+6=0・宜线A几的方釋为: x=2. 由点A衽構USE上的位5S知.7T线/的斜甲为正数. 设P(「y)为(上任-点.则 3x-4/4-6 若3*-4y+6=5*-10.得•♦2y・B=r0(因其斜率为负.舍去).于是.由3爲-4y*6=-5*♦10彳$2%・y■】=0, 所以貢线/的方程为: 2夏-y-1=0・ 解法2: 一 -A(293),Ft(-2t0),F2(2,0),/.4A;=(-4,・3),观=(0.—3)・(-4,-3)+寺(0,-3)=・令(】,2). •••k—2.・••厶y-3=2()-l).BP2x-y-1=0・(HI)解法- 假设存在这样的两个不同的点«(xItyt)和C(心. 设〃C的中点为M(%.y0)t则x0=仏;“•y0=如于3 由于M在/上■故2x0-/0-l=0.① 又B,C在桶38上,所以有話+誇=1与佥♦脊=匚 轴式相减,得咅尹+暫久0,即(2巴/",)+仪宀*严-”)“ 将该式右为*•竺尹・]戈•-1.•答2—0,并将直线毗的斜率也和线段3C的中点表示代人该表达式中,得£f-■j^To=0,即3*0-2yt=0.② 障諸雷聶总器器響中点为也而这是不可能的.解法2: 假设存在B(和,川,5’了m)两点关于直线I对瞅则M忧,.%=,±设玄线必的方裡为丁八、“将其代人椭閑方程艺上* 】612 得-兀•次A程3/+4(-*“心"8,即宀心宀Hi 则叭与爲是该方程的两个根. 由韦达定理得■宀严叫 于是并+兀=-*(叼+x2) 22, : 通、空的中点坐标为卜笔竽). 44^*. 又线段RC的中点在直线y=2x-1上「普w1,得肌=4. 即/匚的中点坐标为(2,3),与点川聲合,矛庸 -不存在謂足晚设条件的相异两点* 15. 1的左、右顶点为A、B,右焦点 在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆 为F。 设过点T(
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