第一讲点运动中的函数问题第2节函数中动点与四边形的存在性.docx

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第一讲点运动中的函数问题第2节函数中动点与四边形的存在性

第2节函数中动点与四边形的存在性

试题1（2013年重庆市）如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．

（1）求直线与抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线在轴下方图象上的一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值；（3）在

（2）的条件下，取得最大值时，若点是抛物线在轴下方图象上任意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为，的面积为，且，求点的坐标．

【参考答案】

（1）设直线的解析式为，：

，解得，

∴直线的解析式为将、两点的坐标代入：

，解得∴抛物线的解析式为，另一交点

（2）设，其中，则

∴∴当时，有最大值；

（3）∵取得最大值时，∴又、，∴，的面积∴平行四边形的面积为

设平行四边形的边上的高为，则∵，∴，过作作直线的平行线，交抛物线与点，交轴于点，在直线上截取，则四边形为平行四边形．

∵，，∴∴为等腰直角三角形，又，∴设直线的解析式为，将代入，得，解得∴直线的解析式为

解方程组，得，

∴点的坐标为（与点重合）或．

【变式练习】（2012年）如图3所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解答：

解：

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意知点A（0，﹣12），所以c=﹣12，

又18a+c=0，，∵AB∥OC，且AB=6，∴抛物线的对称轴是，∴b=﹣4，

所以抛物线的解析式为；

（2）①，

（0＜t＜6）②当t=3时，S取最大值为9．这时点P的坐标（3，﹣12），点Q坐标（6，﹣6）

若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），

（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．

（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．

试题2（2012年泉州市第26题）

如图，点O为坐标原点，直线绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数交于不同的两点P、Q.

（1）求h的值；

（2）通过操作、观察算出△POQ面积的最小值；（3）过点P、C作直线，与轴交于点B，试问：

在直线的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.

【参考答案】

（1）将点C代入二次函数中，得；

（2）操作、观察可知当直线∥轴时，其面积最小；

将y=2代入二次函数中，得，

△POQ面积的最小值S=

（3）由特殊到一般：

①当直线∥轴时，P，Q，直线PC：

交轴于B，又A（0,2），所以四边形AOBQ为正方形。

②如图，当直线不平行轴时，四边形AOBQ为梯形。

连接BQ，设P，Q；（）

直线BC：

过点P,即，得；；

点B为；

同理直线：

；；；消去得；

所以点Q、B点的横坐标相同，即：

AC∥BQ，且AQ不平行OB；故四边形AOBQ为梯形

【易错点评】

（1）平时逻辑思维训练多，动手实验、观察猜想训练少，数学直觉力不强，找不到特殊位置直线∥轴时，其面积最小；

（2）思维不严谨，漏考虑“当直线∥轴时，四边形AOBQ为正方形”。

【方法点评】这是一个动态几何问题，我们只要仔细观察、冷静思考、多画几个图形，读几遍题目就会找到解决问题的突破口，另外考虑总是一定要全面，千万不能多解。

【反思与启迪】数学课程标准中指出：

“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。

”因此操作实践型中考题将会从简单的剪剪拼拼向通过操作或实验来探究、发现、猜想等过渡，同时也可能利用操作探究得出的结论来解决新问题，这个动向要引起注意和重视。

【变式练习】（2013年安顺市第26题）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

分析：

（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．

（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：

解：

（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），

根据题意，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）存在．

由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．

①若以CD为底边，则PD=PC，

设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，

得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1=，x2=＜1，应舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即点P坐标为．

②若以CD为一腰，

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，

此时点P坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P坐标为或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，

得CB=，CD=，BD=，

∴CB2+CD2=BD2=20，

∴∠BCD=90°，

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，

∴∠CDF=45°，

由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），

∴DM∥BC，

∴四边形BCDM为直角梯形，

由∠BCD=90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．

综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．

点评：

此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．

试题3（2012年烟台市第26题）

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

【参考答案】

（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为

∵抛物线过点C（3，0），∴，解得，

∴抛物线的解析式为，即

（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为．

∵点P∴将代入中，解得点E的横坐标为

∴点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为．

即，

∴

又点A到GE的距离为，C到GE的距离为，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=

当t=2时，S△ACG的最大值为1．

（3）或

【易错点评】难点在第（3）问，一是注意点H要在矩形ABCD内（包括边界），既要防漏解，也要防多解；二是计算要小心谨慎，考虑问题要全面，珍惜有了清晰解题思路的宝贵分。

【方法点评】第（3）问虽是直接写出答案，但这个答案不是能够猜出的，正确写出的值非常不易。

组成菱形的四点中，有2点在动，1点位置不知，确定的点只有A点，因此要想得到结果，先弱化菱形为平行四边形，由于未知位置的点H限定在矩形ABCD内（包括边界），所以H点只能在直线EF上探求，且，∴或，再由：

CE=CQ得，解得（不合，舍去），；或得，解得（不合，舍去），，所以或时，以C，Q，E，H为顶点的四边形能组成菱形。

【反思与启迪】本题以平面直角坐标系中的抛物线、矩形为研究平台，自始至终与多点的移动息息相关，且不显得重复，第（3）问要求直接写出答案，而不拘泥于具体的解题细节，重点在考查学生的数学素养，利于高一级学校选拔招生，这是本题的高明之处。

【变式练习】（2013年咸宁市第24题）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点顺时针旋转后得到.

（1）点的坐标是，线段的长等于；

（2）点在上，且，抛物线经过点、，求抛物线的解析式；

（3）如果点在轴上，且位于点的下方，点F在直线AC上，那么在

（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由.

分析：

（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；

（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；

（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．

解答：

解：

（1）∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1，

∴A点坐标为：

（﹣3，0），B点坐标为：

（0，1），

∴OC=3，DO=1，

∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4；

（2）∵CM=OM，

∴∠OCM=∠COM．

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，

∴∠ODM=∠MOD，

∴OM=MD=CM，

∴点M是CD的中点，

∴点M的坐标为（，）．

（说明：

由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为，再求出直线CD的解析式，进而求出点M的坐标也可．）

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，

∴，

解得：

．

∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：

y=x2﹣x+3．

（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．

情形1：

如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．

∴∠FCE=PCE，

由题意可知，OA=OC，

∴∠ACO=∠PCE=45°，

∴∠FCP=90°，

∴菱形CFEP为正方形．

过点P作PH⊥CE，垂足为H，

则Rt△CHP为等腰直角三角形．

∴CP=CH=PH．

设点P为（x，x2﹣x+3），则OH=x2﹣x+3，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，

∴3﹣（x2﹣x+3）=x，

解得：

x=

∴CP=CH=×=，

∴菱形CFEP的周长l为：

×4=10