一次函数的专题复习最经典最全.docx
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一次函数的专题复习最经典最全
函数的概念及表示方法
知识点
1.概念:
在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,也就是说x是自变量,y是因变量。
2.确定函数自变量取值范围的方法
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
例题精讲
考点1•函数的概念
国4"寸〉
考点2.函数的表示法
例2•如图是广州市某一天内的气温变化图,根据图象,下列说法中错误的是()
A.这一天中最高气温是24CB.这一天中最高气温与最低气温的差为16C
C.这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D.这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
考点3.求自变量的取值范围
例3.(2014?
上海)函数y=:
'—:
的自变量的取值x范围是.
例4.(2014四川省内江市)在函数yx-中,自变量x的取值范围是.
x_1例5.等腰△ABC周长为10cm,底边BC长为ycm,腰AB长为xcm.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求x的取值范围;
(3)求y的取值范围.
4.下列函数中,自变量x的取值范围是x>2的是()
A.y=丁2_xB.y=.1C.y=J4-X2D.y=Jx+2•x-2
Jx-2
一次函数的性质和图像
知识点
1.理解一次函数和正比例函数的定义:
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数y=kx+b中b为0时,y=kx(k为常数,k丰0),这时,y叫做x的正比例函数。
强调指出:
①一次函数的解析式为y=kx+b(b为常数,kz0)。
2正比例函数的解析式为y=kx(k为常数,kz0)o
3正比例函数与一次函数的关系是:
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比
例函数。
2.一次函数的图像与画法:
1图像:
一次函数y=kx+b(kz0)的图像是一条直线,其图像也称为直线y=kx+b。
正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的一条直线。
强调指出:
点A(0,b)是直线y=kx+b与y轴的交点。
当b>0,此交点在y轴的正半轴上;当bv0时,此交点在y轴的负半
轴上;
当b=0时,此交点在原点,此时的一次函数就是正比例函数。
2画法:
画正比例函数y=kx的图像,通常选取O(0,0),A(1,k)两点,
然后再连成直线。
画一次函数y=kx+b的图像,通常选取A(o,b),B(—B,0)
k
两点,然后再连成直线。
强调指出:
作一次函数的图像的一般步骤是:
列表、描点、连线。
3.一次函数的性质:
(1)正比例函数y=kx的性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;当kv0时,y随x的增大而减小。
(2)—次函数的性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;当kv0时,y随x的增大而减小。
(3)—次函数y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b)。
例题精讲
考点1、概念题
例1.下列函数哪些是y关于x的一次函数?
哪些是y关于x的正比例函数?
(1)y=5x⑵y=2⑶y=2x3
x
(4)y=7f1騎=2(6)y=2x2x(1-2x)
分析:
①判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数,应紧扣定义。
②无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为1。
解:
2
例2.已知函数y=(m—5)xm,4•mT,
(1)是一次函数,求m的值;
(2)是正比例函数,求m的值。
分析:
①要使函数是一次函数,根据一次函数的定义,x的指数m2—24=1,且系数m
—5工0。
②要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条件。
解:
考点2、过定点问题
例3.
(1)若一次函数y=mx-(4m-4)的图象过原点,贝ym的值为「
(2)如果函数y=x-b的图象经过点P(0,,),则它经过x轴上的点的坐标为
(3)若正比例函数的图象经过点(一1,2),则这个图象必经过点()
A•(1,2)B.(—1,—2)C.(2,—1)D•(1,—2)
(4)直线y=—x+2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是
直线y=—x—1与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是
直线y=4x—2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是
例4.已知:
一次函数y=(6•3m)x(n-4)求:
(1)m、n分别为何值时,y随x的增大而减小;
(2)m、n分别为何值时,图像与y轴的交点在x轴下方;(3)m、n分别为何
值时,函数图像经过原点;(4)m=1,n=—2时,求这个一次函数的图像与两个坐标轴的
交点。
解:
考点3、一次函数的图象
例5.
(1)已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过()
A•第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)直线y二kx,b经过一、二、三象限,则k_o,b_0,经过二、三、四象限,
则有k0,b_0,经过一、二、四象限,则有k0,b0.
(3)若直线y=mx-2m-3经过第二、三、四象限,贝Um的取值范围是()
A33门3门
A.mb.m0c.md.m0
222
k的取值范围
(4)一次函数y=(k—2)x•4—k的图象经过一、三、四象限,则
是・
(5)如果点P(a,b)关于x轴的对称点p,在第三象限,那么直线y=ax+b的图像不经过()
A.第一象E.第二象限C.第三象限D.第四象限
(6)已知一次函数y=(m-1)x+n+1的图像不经过第三象限,求m,n的取值范围。
解:
例6.
C.
D.
A.
B.
x
(3)已知一次函数y=kx•k,其在直角坐标系中的图象大体是(
A.
B.
⑷在同一坐标系内,如图所示,直线L1:
y=(k-2)x+k和L2:
y=kx的位置不可能为()
・7
0
/
/*
考点4、一次函数的性质
例7.
(1)已知一次函数y=(1-m)x+m-2,当m时,y随x的增大而增大.
1
(2)已知点A(-4,a),B(-2,b)都在一次函数y=x+k(k为常数)的图像上,则a与b的
2
大小关系是a____b(填”<””=”或”>”)
(3)已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象
经过二、三、四象限,求m的取值范围
解:
1
例8..如图,是函数yx5的一部分图像,根据图像回答。
(1)
2
自变量x的取值范围是什么?
(2)当x取什么值时,y有最小值?
最小值是多少?
(3)在
(1)中x的变化范围内,y随x的增大而怎样变化?
例9.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18,
(1)k为何值时,它的图像经过原点;
⑵k为何值时,它的图像经过点(0,-2);
⑶k为何值时,它的图像与y轴的交点在x轴的上方;
⑷k为何值时,它的图像平行于直线y=-x;
⑸k为何值时,y随x的增大而减小.
考点5、图像平移
例10.
(1)直线y=一lx+3y=—^x—5和y=—的位置关系是,直线
222
y=_!
x•3,y-5可以分别看作是直线y=-!
x向平移个单位得到的;
222
向平移个单位得到的。
(2)将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线。
⑶函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,求函数若直线y=kx-4的解析式为;
⑷直线y=2x-3可以由直线y=2x经过单位而得到;直线y=-3x+2可以由直线y=-3x
经过而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过而得到。
【方法总结】
求一次函数解析式的专项练习
待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法,但在一些问题中,往往给出多样的条件让你求解,体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系•下面举例说明之,供参考.
考点1、已知两点
例3.
(1)已知一次函数图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.
1求这个一次函数解析式.
2试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上?
解:
(2)已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(一2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为。
解:
考点2、已知一点
例4.
(1)已知一次函数的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。
解:
(2)已知直线与直线平行,
且经过(1,2)函数解析式为
(3)直线
在y轴上的截距为2,且经过点(1,-2),其解析式为
考点3、已知图像
例5•⑴一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为
⑵已知函数图像如图,求其解析式。
2呵件)
考点4、已知变量取值
例6.
(1)一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2 解: (2)如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2 vy<9,函数解析式为. 解: 考点5、已知两直线交点 例7. (1)一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2,m),求k、m的值 (2)函数y=kx+b的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A,且x轴下 方的一点B(3,n)在一次函数y=kx+b的图象上,n满足关系n2=9.求这个函数的解析式. 考点6、交点及直线围成的面积问题 例8. (1)已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B,且△AOB的面积是9,求b的 值• (2)已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B,且△AOB的面积是9,求k的值. (3)一次函数y=kx+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9,求该一次 函数的解析式• 1 (4)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数y=x的图象相交于点 (2,a),求 (1)a的值 (2)k,b的值⑶这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积. 例9. (1).已知直线y=2x-6和直线y=-2x+2,①求两条直线与x轴围成的三角形的面积; ②求两条直线与y轴围成的三角形的面积。 (2)已知直线11: y=2x-6和直线12: y=kx+b交于点(2,m),两直线与x轴围成的三角 形的面积2,求直线12的解析式. (3)已知直线11: y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B,直线12: y=kx+b过(2,-2)将△ABO 的面积分为2: 7,求: 直线12的解析式. 例10. (1)如图,已知直线l1经过点AL1,)和点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴相交于点P(m,0)•若△APB的面积为3,的值. (2)一个一次函数的图象经过点A(-3,0),且和y轴相交于点B,当函数图象与坐标轴围成的三角形面积为6时,求点E的坐标. 1d 一y=—: x+i (3)如图,在平面直角坐标系中,一次函数2的图象与x轴、y轴分别交于A、 B两点•①求点A、B的坐标; ②点C在y轴上,当SABC=2S-aob时,求点C的坐标. (4)已知直线y=kx_3经过点M(2,1),且与x轴交于点A,与y轴交于点B. ①求k的值;②求A、B两点的坐标; 3过点M作直线MP与y轴交于点卩,且厶MPB的面积为2,求点的坐标. (5)已知: 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-2x4的图象分别与X、y轴交于点A、B,点P在x轴上,若Sabp=6,求直线PB的函数解析式. 7、知识拓展 例1.(2004年济南市)如图4,直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点.直线I经过原点,与线段AB交于点C,把厶AOB的面积分为2: 3两部分.求直线I的解析式. 例2.如图,AB分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,AAOP的面积为6; (1)求厶COP勺面积; (2)求点A的坐标及p的值; (3)若厶BOPM^DOP勺面积相等,求直线BD的函数解析式。 例3.已知: ]: '-'■■■经过点(-3,-2),它与x轴,y轴分别交于点B、A,直线 ,且与y轴交于点C(0,-3),它与x轴交于点D (1)求直线「'的解析式; (2)若直线二与V交于点P, 求丄一: : -丄』一匸的值。 ''—八经过点(2,-2) 例4.如图,已知点A(2,4), B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积。 一次函数与方程、不等式综合 知识点 1、一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kxb(k严0)与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程kx-b=0(k厂0)的解。 求直线y=kx-b与x轴交点时,可令y=0,得到方程kx^0,解方程得x--b,直线 k y=kxb交x轴于(-b,0),-b就是直线y=kx■b与x轴交点的横坐标。 kk 2、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为axb0或axb: : : 0(a>b为常数,a=0)的形式, 所以解一元一次不等式可以看作: 当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。 3、一次函数与二元一次方程(组)的关系 一次函数的解析式y=kxb(k=0)本身就是一个二元一次方程,直线y=kxb(k=0)上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kxb(k=0),因此二元一次方程的解也就有无数个。 例题精讲 考点1、一次函数与一元一次方程综合 【例1】已知直线y=(3m・2)x・2和y=_3x•6交于x轴上同一点,m的值为() A.-2B.2C.-1D.0 【例2]已知一次函数y=_x+a与y=x+b的图象相交于点(m,8),则a+b=. 【例3]已知一次函数y=kxb的图象经过点2,0,1,3,则不求k,b的值,可直接得到方程kx+b=3的解是x=. 考点2、一次函数与一元一次不等式综合 【例4]已知一次函数y二_2x・5. (1)画出它的图象; (2)求出当x=3时,y的值; 2 (3)求出当y二-3时,x的值; (4)观察图象,求出当x为何值时,y.0,y=0,y: : : 0 【例5]当自变量x满足什么条件时,函数y二・4x1的图象在: (1)x轴上方; (2)y轴左侧;(3)第一象限. 【例6]已知%=x-5,y2=2x亠1 当y1y2时,x的取值范围是( 1 A.x5B.xC.x: : -6D.x*—6 2 【例7]已知一次函数y=_2x3 (1)当x取何值时,函数y的值在-1与2之间变化? (2)当x从-2到3变化时,函数y的最小值和最大值各是多少? ”1 b\/ Y- 3 A /-1 \。 x 【例8]直线l1: y=k1xb与直线b: y=k2X在同一平面直角坐标系中的图象 如图所示,则关于x的不等式'kzXA&x+b的解集为. 【例9】若解方程x+2=3x—2得x=2,则当x时直线y=x+2上的点在直线 y=3x-2上相应点的上方. 【例10】如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(_1,-2)两点,则不等式 1 x.kx-2的解集为. 2 【例11】已知一次函数经过点(1,-2)和点(-1,3),求这个一次函数的解析式, 并求: (1)当x=2时,y的值; (2)x为何值时,y: : : 0? (3)当_2空x叮时,y的值范围; (4)当「2: : : y: : : 1时,x的值范围. 考点三、一次函数与二元一次方程(组)综合 【例12】 的解是 fx-y-3二0已知直线y=x—3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组2 [2x—y+2=0 【例13】 y一ax=c 已知方程组 ly—kx=b y=axc和直线y=kx•b的交点坐标为 (a,b,c,k为常数,ak=0)的解为 x——2 ,则直线 y=3 【例14】 fx二2 已知x2 y=4 y=的交点是 是方程组7x-3y=2 I2xy=8 的解,那么一次函数 和 【例15】 【例16】 一次函数%=kxb与y=xa的图象如图,则下列结论① k<0: ②a0;③当x: 3时,W2中,正确的个数是( A.0B.1C.2D.3 已知一次函数y=kxb6与一次函数y--kx•b-2的图象的交点坐标为A(2,0),求这两个一次函数的解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积. 【例17】如图,直线y=kxb与x轴交于点-4,0,则y0时,x的取值范围是() A.x-4B.x0C.x: : -4D.x: : 0 【例18】 一次函数y=kx•b的图象如图所示,当y: : : 0时,x的取值范围是() A.x0 B.x: : : 0 C.x2 D.x: : : 2 【例19】 已知一次函数y=kx・b的图象如图所示,当x: : : 1时,y的取值范围是() A.-2: : y: : 0 C.y: : : -2 -4: : : y: : : 0 y-4 【例20】 如图所示的是函数y= fkx: -b=y一 2y的解关于x轴对称的点的坐标是 |mx亠n=y kxb与y=mx・n的图象,求方程组 【例21】 一次函数y=kx・b(k,b是常数,不等式kxb0的解集是() A.x占一2B.x0 k=0)的图象如图所示,则 C.x: : -2 【例22】 如图,一次函数y=ax•b的图象经过A、B两点,则关于x的不等式ax+b<0的解集是. y=kx+b D.x: : 0 2 【例23】 b取什么整数值时,直线y=3x•b2与直线y二-x2b的交点在第二象限? 【方法总结】 一次函数的实际应用 考点1、从图像获取信息 例1.(鄂州)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地,如图, 线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题: (1)轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米? (2)求线段CD对应的函数解析式. (3)轿车到达乙地后,马上沿原路以CD段速度返回,求轿车从乙地出发后多长时间再与 货车相遇。 例2.(黄石)一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,设客 车离甲地的距离为y1千米 数图像如右图所示: 千米,两车行驶的时间为 (1)根据图像,直接写出 小 (2)若两车之间的距离为函数关系式; (3)甲、乙两地间有A、 租车恰好进入B加油站,求A加油站离甲地的距离• B两个加油站,相距200千米,若客车进入A加油站时,出 例3.(长春)甲、乙两工程队维修同一段路面,甲队先清理路面,乙队在甲队清理后铺设路 面.乙队在中途停工了一段时间,然后按停工前的工作效率继续工作.在整个工作过程 中,甲队清理完的路面长y(米)与时间x(时)的函数图象为线段0A,乙队铺设完的 路面长y(米)与时间x(时)的函数图象为折线BGCDDE, 如图所示,从甲队开始工作时计时. (1)分别求线段BCDE所在直线对应的函数关系式. (2)当甲队清理完路面时,求乙队铺设完的路面长. 例4.(淮安)甲、乙两地之间有一条笔直的公路L,小明从甲地出发沿公路步行前往乙地, 同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地•设小明与甲地的距离为yi米,小亮与甲地的距离 为y2米,小明与小亮之间的距离为s米,小明行走的时间为x分钟.y2与x之间的函数图象如图1,s与x之间的函数图象(部分)如图2. (1)求小亮从乙地到甲地过程中yi(米)与x(分钟)之间的函数关系式; (2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式; (3)在图2中,补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象,并确定a的值. 例5.(? 南宁)在一条笔直的公路上有 A、B两地,甲骑自行车从 A地到B地;乙骑自行车 从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离 行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题: (1)写出A、B两地直接的距离; (2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持 联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值 范围. B地的距离y(km)与 例6.(绥化)2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接到上 级通知,立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区.乙 组由于要携带一些救灾物资,比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时).图中的折 线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)与时间x(小时)之间的 函数关系对应的图象•请根据图象所提供的信息,解决下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了小时; (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区•请问甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米? (3)为了保证及
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