四川高职单招数学试题附答案.docx
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四川高职单招数学试题附答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
二.数学单项选择(共10小题,计30分)
1.设集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集是()
A.x<3B.x>-1C.x<-1或x>3D.-1 3.已知函数 ,则 的值为() A. B. C. D. 4.函数 在定义域R内是() A.减函数B.增函数C.非增非减函数D.既增又减函数 5.设 ,则 的大小顺序为() 、 、 、 、 6.已知 , ,当 和 共线时, 值为() A.1B.2C. D. 7.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于() A.4B.5C.6D.7 8.已知向量a ,b ,且a⊥b,则 () A. B. C. D. 9 点 到直线 的距离为() A. B. C. D. 10.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种B.10种 C.9种D.8种 二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)(2014•四川)复数 = _________ . 12.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)= ,则f( )= _________ . 13.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 _________ m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, ≈1.73) 14.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 _________ . 15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合: 对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值; ③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B. ④若函数f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号) 三、解答题: 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题12分)设数列 的前 项和 ,且 成等差数列。 (1)求数列 的通项公式; (2)记数列 的前 项和 ,求得使 成立的 的最小值。 17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下: 每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐: 每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,和最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.(本小题满分 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设 的中点为 , 的中点为 。 ( )请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) ( )证明: 直线 平面 ( )求二面角 余弦值 19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*). (1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣ ,求数列{ }的前n项和Tn. 20.(本小题13分)如图,椭圆 的离心率是 ,过点 的动直线 和椭圆相交于 两点。 当直线 平行于 轴时,直线 被椭圆 截得的线段长为 。 (1)球椭圆 的方程; (2)在平面直角坐标系 中,是否存在和点 不同的定点 ,使得 恒成立? 若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由。 21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B D C A B A 二、填空题: 11. 解答: 解: 复数 = = =﹣2i, 故答案为: ﹣2i. 12. 解答: 解: ∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数, ∴ =1. 故答案为: 1. 13. 解答: 解: 过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D, 则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m ∴CD= =46 ≈79.58m. 又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD= = ≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为: 60m 14. 解答: 解: 有题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0), 动直线mx﹣y﹣m+3=0即m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3), 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点, 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|•|PB|≤ =5(当且仅当 时取“=”) 故答案为: 5 15. 解答: 解: (1)对于命题① “f(x)∈A”即函数f(x)值域为R, “∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”表示的是函数可以在R中任意取值, 故有: 设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b” ∴命题①是真命题; (2)对于命题② 若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如: 函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值. ∴命题②“函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值.”是假命题; (3)对于命题③ 若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B, 则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞), 并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M. ∴f(x)+g(x)∈R. 则f(x)+g(x)∉B. ∴命题③是真命题. (4)对于命题④ ∵函数f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2,a∈R)有最大值, ∴假设a>0,当x→+∞时, →0,ln(x+2)→+∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.和题意不符; 假设a<0,当x→﹣2时, → ,ln(x+2)→﹣∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.和题意不符. ∴a=0. 即函数f(x)= (x>﹣2) 当x>0时, ,∴ ,即 ; 当x=0时,f(x)=0; 当x<0时, ,∴ ,即 . ∴ .即f(x)∈B. 故命题④是真命题. 故答案为①③④. 三、解答题 16.解: (1)当 时有, 则 ( ) 则 是以 为首项,2为公比的等比数列。 又由题意得 则 (2)由题意得 由等比数列求和公式得 则 又 当 时, 成立时, 的最小值的 。 点评: 此题放在简答题的第一题,考察前 项和 和通项 的关系和等比数列的求和公式,难度较易,考察常规。 可以说是知识点的直接运用。 所以也提醒我们在复习时要紧抓课本,着重基础。 17. 解答: 解: (1)X可能取值有﹣200,10,20,100. 则P(X=﹣200)= , P(X=10)= = P(X=20)= = , P(X=100)= = , 故分布列为: X ﹣200 10 20 100 P 由 (1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p= + = , 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ . 由 (1)知,每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)× +10× +20× ×100=﹣ = . 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 18. 【答案】 ( )直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 ( ) 连接 ,取 的中点 ,连接 因为 、 为线段 、 中点,所以 且 又因 为 中点,所以 得到 且 所以四边形 为 得到 又因为 平面 所以 平面 (得证) ( ) 连接 , ,过点 作 ,垂足在 上,过点 作平面 垂线,交 于点 ,连接 ,则二面角 因为 平面 ,且 所以 又 , 平面 所以 平面 且 ,所以 ,所以三角形 为 设正方体棱长为 ,则 , 所以 , 因为 ,三角形 为 ,所以 所以 ,所以 所以 19. 解答: 解: (1)∵点(a8,4b7)在函数f(x)=2x的图象上, ∴ , 又等差数列{an}的公差为d, ∴ = =2d, ∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上, ∴ =b8, ∴ =4=2d,解得d=2. 又a1=﹣2,∴Sn= =﹣2n+ =n2﹣3n. (2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2, ∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为 , 又 ,令y=0可得x= , ∴ ,解得a2=2. ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, ∴bn=2n. ∴ . ∴Tn= +…+ + , ∴2Tn=1+ + +…+ , 两式相减得Tn=1+ +…+ ﹣ = ﹣ = = . 20: 【答案】 解:
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