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最新基础讲义下
2015年考研数学基础班讲义(下)
武忠祥
第七章微分方程
考试内容概要
(一)常微分方程的基本概念
1.微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
简称方程。
2.微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。
3.微分方程的解满足微分方程的函数,称为该方程的解。
4.微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称之为微分方程的通解。
5.微分方程的特解微分方程的不含任意常数的解,称之为特解。
6.初始条件确定特解的一组常数称为初始条件。
7.积分曲线方程的一个解在平面上对应一条曲线,称为该微分方程的积分曲线。
(二)一阶微分方程
1.可分离变量的方程
能表示为的方程,称为可分离变量的方程.
求解的方法是两端积分
2.齐次方程能化为的微分方程称为齐次微分方程.
求解齐次微分方程的一般方法为:
令,则,从而将原方程化为,此方程为可分离变量的方程。
3.线性方程形如的方程称为一阶线性微分方程。
求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法,或直接利用以下通解公式
4.伯努利方程(仅数学一要求)
形如的方程,称为伯努利方程。
求解伯努利方程的一般方法为:
令,将原方程化为一阶线性微分方程。
5.全微分方程(仅数学一要求)
如果方程的左端是某个函数的全微分:
则称该方程为全微分方程。
此方程的通解为
求有以下三种方法
1)偏积分2)凑微分3)线积分
当在单连通域内具有一阶连续偏导数时,方程
是全微分方程的充要条件是
注如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式,首先考虑将,对调,即认定为的函数,再判定新方程的类型;或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解。
(三)可降阶的高阶方程(数学三不要求)
1.型的微分方程
2.型的方程
只需令,,可将原方程化为一阶微分方程。
3.型的方程
只需令,,可将原方程化为一阶微分方程。
(四)常系数线性微分方程
1.线性微分方程解的结构
这里只讨论二阶线性微分方程,其结论可以推广到更高阶的方程。
二阶线性微分方程的一般形式为
这里的均为连续函数.当方程右端的时,称为二阶线性齐次方程.否则称为二阶线性非齐次方程.
齐次方程
(1)
非齐次方程
(2)
定理1如果和是齐次方程
(1)的两个线性无关的特解,那么
就是方程
(1)的通解.
【注】方程
(1)的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数.
定理2如果是非齐次方程
(2)的一个特解,和是齐次方程
(1)的两个线性无关的特解,则
是非齐次微分方程
(2)的通解.
定理3如果,是非齐次方程
(2)的两个特解,则是齐次微分方程
(1)的解.
定理4如果,分别是方程
的特解,则是方程
的一个特解.
2.常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
③
其特征方程为,设,为该方程的两个根。
(1)若,为两个不相等的实特征根,则方程③的通解为
(2)若为二重实特征根,则方程③的通解为
。
(3)若,,为一对共轭复根,则方程③的通解为
。
3.常系数线性非齐次微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为
④
(1)若,其中为的次多项式,则方程④的特解可设为
其中是与同次的多项式。
是特征方程含根的重复次数.
(2)若,其中,分别为的次,次多项式,则方程④的特解可设为
其中,是两个次多项式,。
当不为方程③的特征根时,取;
当为方程③的单特征根时,取。
4.欧拉方程(仅数学一要求)
形如
(其中,,,为常数)的方程称为欧拉方程。
令或,可将上述欧拉方程化为线性常系数方程,一般地有
其中代表对求导数的运算。
常考题型与典型例题
常考题型
1.方程求解
2.综合题
3.应用题
【例1】(2014年1)微分方程满足条件的解为
【】
【例2】(2012年2)微分方程满足条件的解为.
【】
【例3】(2013年3)微分方程的通解为
【】
【例4】(2009年1)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为
【】
【例5】(2013年1,2)已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解为
【】
【例6】(2007年4)设函数具有连续的一阶导数,且满足
,
求的表达式.
【】
【例7】(2006年3)在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数).
(I)求的方程;
(II)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.
【】
【例8】(2009年2)设非负函数满足微分方程.当曲线过原点时,其与直线及围成的平面区域的面积为2,求绕轴旋转所得旋转体的体积.
【】
第八章多元函数微分学
考试内容概要
(一)多元函数的极限、连续、偏导数与全微分
1.二元函数
定义1设是平面上的一个点集,若对每个点变量按照某一对应法则有一个确定的值与之对应,则称为的二元函数,记为。
其中点集称为该函数的定义域,称为自变量,称为应变量。
函数值的全体所构成的集合称为函数的值域。
记为
通常情况下,二元函数在几何上表示一张空间曲面.
2.二元函数的极限
定义2设函数在区域上有定义,点或为的边界点,如果存在,当且时,都有
成立,则称常数为函数当时的极限,记为
或或
注1)这里的极限是要求点在内以任意方式趋近于点时,函数都趋近于同一确定的常数,否则该极限就不存在。
2)一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立
(1)局部有界性
(2)保号性
(3)有理运算(4)极限与无穷小的关系
(5)夹逼性
3.多元函数的连续性
1)连续的概念
定义3设函数在区域上有定义,点,如果
成立,则称函数在点连续;如果在区域上的每个点处都连续,则称函数在区域上连续。
2)连续函数的性质
多元函数具有下列性质和定理:
(1)性质1多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数;
(2)性质2多元连续函数的复合函数也是连续函数;
(3)性质3多元初等函数在其定义区域内连续;
(4)性质4(最大值定理)
有界闭区域上的连续函数在区域上必能取得最大值与最小值。
(5)性质5(介值定理)
有界闭区域上的连续函数在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。
4.偏导数
1)偏导数的定义
定义4设在点的某一邻域内有定义,如果
存在,则称这个极限值为函数在点处对的偏导数,记为
或或
类似地,如果
存在,则称这个极限值为函数在点处对的偏导数,记为
或或
注由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数,其中就是一元函数在处的导数,就是一元函数在处的导数.
类似地,可以定义三元函数乃至元函数的偏导数。
2)二元函数偏导数的几何意义设为曲面上的一点。
过点作平面与曲面相交,其交线为平面上的曲线,即则表示上述交线在点处的切线对轴的斜率。
同样,过点作平面与曲面相交,其交线为平面上的曲线,则表示上述交线在点处的切线对轴的斜率。
3)高阶偏导数
定义5如果在区域内的偏导函数,仍然存在偏导数,则称之为函数的二阶偏导数,常记为
或,或,
或,或.
常称,为混合偏导数。
定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续,则在该区域内这两个混合偏导数必定相等。
对于三元函数也可以仿上定义二阶或更高阶偏导数,且二阶与高阶混合偏导数连续时,混合偏导数的值与求导次序无关。
5.全微分
定义6(全微分)如果函数在点处的全增量
可表示为
其中,与,无关,,则称函数在点处可微,而称为函数在点处的全微分,记为
如果在区域内的每一点都可微分,则称在内可微分。
定理2(全微分存在的必要条件)如果函数在点处可微,则该函数在点处的偏导数必定存在,且
定理3(全微分存在的充分条件)如果的偏导数在点处连续,则函数在点处可微.
(二)多元函数的微分法
1.复合函数的微分法
定理4设函数,在点处有对及对的偏导数,函数在对应点处有连续偏导数,则复合函数在点处的两个偏导数存在,且有
全微分形式的不变性
设函数、及都有连续的一阶偏导数,则复合函数的全微分
即:
不论把函数看做自变量,的函数,还是看作中间变量,的函数,函数的全微分形式都是一样的。
2.隐函数微分法
1)由方程确定的隐函数
若函数在点的某一邻域内有连续偏导数,且
则方程在点的某邻域可唯一确定一个有连续导数
的函数并有
2)由方程确定的隐函数
若函数在点的某一邻域内有连续偏导数,且则方程在点的某邻域可唯一
确定一个有连续偏导数的函数并有
3)由方程组确定的隐函数,(仅数一要求)
欲求,,,,可以将每个方程分别对求偏导数,得出以,为变量的方程组,可解得,。
同样,将每个方程分别对求偏导数,可以得出以,为变量的方程组,解之可得,。
(三)多元函数的极值与最值
1.多元函数的极值
1)无约束极值
定义7设函数在点的某邻域内有定义,若对该邻域内任意的点均有
(或),
则称为的极大值点(或极小值点);称为的极大值(或极小值)。
极大值点和极小值点统称为极值点;极大值和极小值统称为极值。
定理5(极值的必要条件)设在点存在偏导数,且为的极值点,则
定理6(极值的充分条件)设在点的某邻域内有二阶连续偏导数,又,。
记
则有下述结论:
(1)若,则为的极值点。
①,则为的极大值点。
②,则为的极小值点。
(2)若,则不为的的极值点。
(3)若,则可能为的极值点,也可能不为的极值点。
求具有二阶连续偏导数二元函数极值的一般步骤为:
(1)求出的驻点。
(2)利用极值的充分条件判定驻点是否为极值点。
注1)二元函数在偏导数不存在的点也可能取到极值(如),而这种点是否取得极值一般用极值定义判定;
2)二元函数可能取得极值的点就两种,驻点和偏导数不存在的点。
2)条件极值及拉格朗日乘数法
求在条件下的条件极值的一般方法为:
(1)构造拉格朗日函数。
(2)将分别对,,求偏导数,构造方程组
解出及,则其中就是函数在条件下的可能极值点。
以上方法可推广到对于元函数在个约束条件下的极值问题,如求在条件,下的极值,可构造拉格朗日函数
将对分别求偏导数,并构造方程组
解出及,则其中就是可能的极值点。
对于实际问题,如果驻点唯一,且由实际意义知问题存在最大(小)值,则该驻点即为最大(小)值点。
如果存在多个驻点,且由实际意义知道问题既存在最大值也存在最小值,只需比较各驻点处的函数值,最大的则为最大值,最小的则为最小值。
常考题型与典型例题
常考题型
1.复合函数偏导数和全微分的计算
2.隐函数偏导数和全微分的计算
3.求极值(无条件、条件);
4.求连续函数在有界闭区域上的最大最小值;
5.最大最小值应用题.
【例1】(2011年3)设函数,则.
【】
【例2】(1991年1,2)由方程所确定的函数在点处的全微分
【】
【例3】(1988年4)已知求
【】
【例4】(1999年4)设其中是由确定的隐函数,则
【例5】(2007年1)设为二元可微函数
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