第5讲行程问题一完整版.docx
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第5讲行程问题一完整版
第5讲行程问题一
内容概述
掌握速度、路程、时间的概念,以及它们之间的数量关系。
掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法;学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程。
兴趣篇
1.强强跑100米用10秒,旗鱼每小时能游120千米.请问:
谁的速度更快?
答案:
旗鱼
解析:
强强跑100米用10秒,那么他的速度为100÷10=10(米/秒)=36(千米/时).
而旗鱼的速度是每小时游120千米,所以旗鱼的速度更快.
2.墨莫练习慢跑,12分钟跑了3000米,按照这个速度,跑25000米需要多少分钟?
如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟,连续跑一个月(30天),他一共跑了多少千米?
答案:
100分钟;75千米
解析:
墨莫跑的速度为3000÷12=250米/分,跑25000米需要25000÷250=100分钟.每天跑10分钟,跑一个月,一共跑了250×10×30=75000米,即75千米.
3.A、B两城相距24C千米,一辆汽车原计划用6小时从A城到B城,那么汽车每小时应该行驶多少千米?
实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障,在途中停留了1小时.如果要按照原定的时间到达B城,汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米?
答案:
40千米/时;60千米/时
解析:
如图,汽车原计划6小时行驶240千米,那么汽车原计划行驶速度为240÷6=40千米/时.
后半段的路程为240÷2=120千米/小时。
前半段行驶的时间为6÷2=3小时:
再加上停留的1小时,所以后半段行驶的时间为6-3-1=2小时.
汽车在后半段的速度为120÷2=60千米/时.
4.A、B两地相距4800米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行.如果甲每分钟走60米,乙每分钟走100米,请问:
(1)甲从A走到B需要多长时间?
(2)两个人从出发到相遇需要多长时间?
答案:
(1)80分钟
(2)30分钟
解析:
(1)如图1:
从A到B的路程是4800米,甲的速度是60米/分.那么甲从A走到B需要4800÷60=80分钟.
(2)如图2,甲、乙出发时相距4800米,每过1分;钟,两人的距离就拉近60+100=160米.
经过4800÷160一30分钟后,两人就相遇了.
5.在第4题中,如果甲、乙两人的速度大小不变,但甲出发时改变方向,即两个人同时、同向出发.请问:
乙出发后多久可以追上甲?
答案:
120分钟
解析:
如图,甲、乙两人同时同向出发时,甲每分钟前进60米,而乙每分钟前进100米,这就意味着乙每分钟比甲多走100-60一40米,从而使得他们之间的距离拉近40米。
开始乙在甲后面4800米的地方,经过4800÷40=120分钟后,甲、乙之间的距离变成O米,即乙出发120分钟后可以追上甲。
6.甲、乙两地相距350千米,A车在早上8点从甲地出发,以每小时40千米的速度开往乙地.2小时后B车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地.问:
什么时候两车在途中相遇?
答案:
下午1时
解析:
方法一:
如图1,A车从早8点出发,2个小时之后,它与甲地的距离是40×2=80千米,它与还在乙地的B车的距离是350-80=270千米.这时,两辆车开始相向
行驶,它们的速度和为40+50=90千米/时.
根据相遇问题公式“相遇时间=路程和÷速度和”,得相向行驶的时间为270÷90=3小时,
又相向行驶是从早上10点开始的,从而两车在其后3小时,也就是下午1点相遇.
方法二:
如图2:
假设B车早上8点从丙地出发,早上10点到达乙地,那么丙地与乙地之间的距离是50×2=100千米,则相遇距离=350+100=450千米;速度和为40+50=90千米/时,根据相遇问题公式“柜遇时间一路程和÷这度和”,得相向行驶的时间为450÷90=5小时.
按照假设,相向行驶是从早上8点开始的,所以两车在5小时后即下午1点相遇.
7.卡莉娅和墨莫分别从相距720米的两地出发同向而行,墨莫在前,卡莉娅在后,且墨莫比卡莉娅先出发2分钟.已知卡莉娅的速度是每分钟60米,墨莫的速度为每分钟50米,试问:
当卡莉娅追上墨莫的时候,墨莫已经走了多少米?
答案:
4200米
解析:
如图:
默莫出发时,与卡莉娅相距720米.2分钟后,当卡莉娅出发时,墨莫与卡莉娅相距720+50×2=820米.而两人的速度差是60-50=10米/分,利用追及问题公式“追及时间=追及距离÷速度差”,可知卡莉娅追上墨莫需要的时间是820÷10=82分钟.
当卡莉娅追上墨莫的时候,墨莫已经走了2十82=84分钟.
墨莫的速度是50米/分,那么墨莫已经走过的路程为50×84=4200米.
8.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发,相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每小时行60千米.问:
(1)2小时后两车相距多少千米?
(2)经过几小时后两车第一次相距50千米?
答案:
(1)150千米
(2)3小时
解析:
(1)如图1:
两车的速度和是40+60=lOO千米/时,2小时两车共行驶了100×2=20O千米,也就是它们之间的距离拉近了200千米.因此出发2小时后,两车相距350–200=150千米.
(2)如图2:
两车从相距350千米的地方相向而行,第一次相距50千米时,两车距离拉近了350-50=300千米,而它们的速度和是40+60=100干米/时,即每小时它们的距离可以拉近100千米.所以两车第一次相距50千米是在300÷100=3小时之后.
9.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发,同向而行,公共汽车在前,辱小时行40千米;小轿车在后,每小时行60千米,问:
(l)经过6小时后两车相距多少千米?
(2)经过几小时后两车第一次相距100千米?
答案:
(1)180千米
(2)10小时
解析:
(1)出发6小时后,公共汽车行驶了40×6=240千米,小轿车行驶了6×6=360千米.
如图1所示,小轿车在公共汽车出发点前面360-300=60千米处,这时公共汽车领先小轿车240-60=180千米,即两车相距180千米.
(2)
如图2,两车第一次相距100千米时,它化之间的距离由300千米拉近到100千米,那么这个距离拉近了300-100=200千米,而两车的速度差为60-40=20千米/时.需要200÷20=10小时才能让两车的距离拉近200千米,即10小时后两车第一次相距100千米。
10.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,已知甲车每小时行驶40千米,两车6小时后相遇,相遇后它们继续前进,又过了3小时,甲车到达B地.问:
乙车还要过多久才能到达A地?
答案:
9小时
解析:
如图:
甲车每小时行40千米,从A地行到C地的时间为6小时,所以A、C两地距离为40×6=240千米.甲车从C地行到B地的时间为3小时,所以C、B两地
的距离为40×3=120千米.
这也等于乙车6小时走的路程,所以乙车的速度为120÷6=20千米/时,乙车从B地行到A地的时间为(120+240)÷20=18小时,乙车已经走了9小时,那么还需要18-9=9小时才能到达A地.
拓展篇
1.甲、乙两地相距450千米,快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行,快车每小时行60千米,慢车每小时行30千米.请问:
(1)如果两奎同时出发,几小时后相遇?
(2)如果慢车比快车早出发3小时,当两车相遇时快车走了多远?
答案:
(l)5小时
(2)240千米
解析:
如图:
(1)出发时两车相距450千米,每过1小时,快车走60千米,慢车走30千米,所以两车距离每小时拉近90千米.经过了450÷90=5小时后,两车之间的
距离拉近到O千米,也就是两车相遇了.
(2)慢车比快车早出发3小时,所以快车出发时,慢车已经行驶了30×3=90千米.
由于甲、乙两地的距离是450千米,因此当快车出发时,两车之间的距离是450-90=350千米,通过与
(1)类似的办法可得,再过360÷90=4小时两辆车即可相遇,快车一共行驶了4小时,它行驶的路程为60×4=240千米.
2.A、B两地相距400千米,甲、乙两车分别从A、B同时出发,相向而行,甲车的速度为每小时60千米,乙车的速度为每小时40千米.请问:
(l)从出发算起,多久后甲、乙两车第一次相距100千米?
(2)从出发算起,多久后甲、乙两车第二次相距100千米?
答案:
(1)3小时
(2)5小时
解析:
(1)如图1:
两车原来相距400千米,当相距100千米时,它们之间的距离拉近了400-100=300千米.而每小时甲、乙两车之间的距离拉近60+40=100千米,所以在300÷100=3小时后,它们之间的距离变成100千米.
(2)如图2:
在甲、乙两车再次相距100千米时,它们一共合走了400+100=500千米,而甲、乙两车每小时合走60+40=100千米,所以在50c÷100=5小时后,它们之间的距离再次变成100千米.
3.甲、乙两架飞机同时从机场起飞,向同一方向飞行,甲每小时飞行300千米,乙每小时飞行340千米,4小时后它们相距多少千米?
这时甲提高速度打算用2小时追上乙,那么甲每小时应该飞行多少千米?
答案:
160千米;420千米/时
解析:
(1)两架飞机的速度分别为300千米/时和340千米/时,所以两架飞机前4小时飞行的路程分别是300×4=1200千米和340×4=1360千米,
4小时飞行1360千米2小时飞行680千米
如图,从图中不难看出,出发4小时后,两架飞机相距1360-1200=160(千米).
(2)乙2小时可以飞行340×2=680千米通过上面的计算,结合线段图看到,甲后2个小时共飞行160+680=840千米,所以后2小时中,甲的飞行速度为840÷2=420千米/时.
4.小高步行上学,每分钟行75米,小高离家12分钟后,爸爸发现他忘了带文具盒,马上骑自行车去追,每分钟行375米.求爸爸追上小高所霈要的时间,
答案:
3分钟
解析:
如图:
小高的速度是75米/分,那么他12分钟走过的路程是75×12=900米.
也就是说,爸爸出发时,落后小高900米。
因为爸爸每分钟行375米,小高每分钟走75米,所以爸爸每分钟能追上小高300米.
那么900÷300=3分钟后爸爸就追上了小高。
5.小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发,小轿车每小时行60千米,大货车每小时行48千米,请问:
下午几点的时候小轿车领先大货车72千米?
答案:
下午3时
解析:
如图:
因为两车同时同向而行,而小轿车每小时行60千米,大货车每小时行48千米,所以小轿车每小时比大货车多行60-48=12千米.又因为一共多行72千
米,所以小轿车行了72÷12=6小时。
上午9耐过6小时后,是下午3时,因此所求的时间就是下午3时.
6.一辆公共汽车早上6点从A城出发!
以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城,当小轿车到达B城时,公共汽车离B城还有160千米.问:
公共汽车什么时候到达B城?
答案:
21时
解析:
如图:
在6时到9时这3个小时期间,公共汽车先行了40×3=120千米,因此当小轿车出发耐,它落后公共汽车120军棠.但当它到达B城时,反而领先了160千米,这说明在小轿车行驶的这段时间内,它比公共汽车多行了160+120=280千米.
公共汽车和小轿车每小时分别行驶40千米和75千米,小轿车每小时比公共汽车多行75-40=35千米,所以小轿车行驶了280÷35=8小时,即小轿车是在9+8=17时到达B城,这时公共汽车还差160÷40=4小时才能到达B城.所以公共汽车是在17+4=21时到达B城.
7.A甲、乙两车同时从东、西两地出发,相向而行.甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,两车在距离中点9千米处相遇,求东、西两地间的距离.
答案:
198千米
解析:
如图,两车在距离中点9千米处相遇,而且甲车比乙车快,因此两车相遇时,甲车经过的路程比总路程的一半多9千米,而乙车经过的路程则比总路程的一半少9千米.所以,从两车出发到相遇这段时间内,两车行驶的路程之差是18千米.
甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,所以两车每小时行的距离相差3630=6千米,那么两车行驶的时间是18÷6=3小时.根据速度和是36+30=66千米/时,得到两车行驶的路程和是66×3=198千米,也就是东西两地的距离是198千米。
8.萱萱一家开车去外地旅游,原计划每小时行驶45千米.实际上,由于高速公路堵车,汽车每小时只行驶30千米,这样就晚到了2小时,请问:
萱萱一家在路上实际花了几个小时?
答案:
6小时
解析:
其实萱萱一家相当于在一条路上走了“两次”:
计划中一次,实琢中一次,当计划中已经到达的时候,实际上还羞2小时才能到达.
如图所示,从线段图中可以看出,C地到B地的距离是30×2=60千米.
在同一段时间内,由于原来计划二E实际每小时多行45-30=15千米,所以原来计划所花的时间为60÷15=4小时,实际晚了2小时,也就是说他们用了4+2=6小时。
9.甲从A地出发去B地办事情,下午1点出发,晚上7点准时到达,如果他想下午2点出发,晚上7点准时到达,每小时就必须多行2千米.求A、B两地之间的距离.
答案:
60千米
解析:
如图:
从2:
00到7:
oo这段时间,加速后比原计划多行了2×5=10千米,由线段图,可以看出这段距离恰好等于原计划1:
00到2:
00所行的路程,因此原计划1小时行的路程是10千米,
甲若按计划出发,1时出发7时即能到达,所以路上共用了6小时,那么A、B两地之间的距离等于10×6=60千米.
10.甲、乙两人分别在A地和B地,甲从A地到B地需要20分钟,乙从B地到A地需要3C分钟.如果两个人同时出发相向而行,多长时间可以相遇?
答案:
l2分钟
解析:
假设总路程为600米,那么甲的速度为600÷20=30米/分,乙的速度为600÷30=20米/分,从而相遇的时间为600÷(30+20)=12分钟.
11.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,如果楣向而行,1小时后两人相遇;如果同向而行,3小时后甲追上乙,问:
甲的步行速度是乙的几倍?
答案:
2倍
解析:
设A、B两地距离是3千米,则甲、乙的速度差是3÷3=1千米/时.速度和是3÷1=3千米/时,利用和差问题公式可知:
甲的速度是(3+1)÷2=2米/时,乙的速度是(3-1)÷2=1千米/时,因此,甲的速度就是乙的2÷1=2倍。
12.A甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,A、B两地相距48千米,甲的速度是乙的3倍.请问:
当甲、乙相遇的时候,甲走了多远?
答案:
36千米
解析:
在相遇的过程中,他俩运动的时间相同,而甲的速度是乙的3倍,根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”,容易知道甲运动的路程是乙的3倍.
根据条件,可知甲和乙运动的路程和为48千米,由和倍问题的公式,得乙运动酌路程为48÷(3+1)=12千米,而甲运动的路程为12×3=36千米.
13.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,已知甲每分钟走50米,乙走完全程要18分钟,出发3分钟后,甲、乙仍相距450米,问:
还要过多少分钟,甲、乙两人才能相遇?
答案:
5分钟
解析:
如图,甲每分钟走50米,则甲在3分钟内走的路程是50×3=100米.
又因为甲、乙相向而行3分钟后仍相距450米,所以乙从B地出发3分钟后,与A地的距离为100+450=600米.乙单独走完全程需要18分钟,那么他出发3分钟后,与A地的距离就是乙走18-3=15分钟的路程.所以乙的速度是每分钟600÷15=40米.
甲、乙两人的速度和是50+40=90米/分,所以两人从相距450米起到他们相遇所需的时间是450÷90=5分钟.
14.猎狗追兔子,猎狗的速度是兔子的2倍,兔子径直往兔洞里跑,猎狗则紧随其后,现在,猎狗距离洞口还有1000米,当猎狗跑到兔子现在的位置时,兔子距离洞口将还剩100米,问:
(l)现在兔子距离洞口多少米?
(2)最终兔子会被猎狗追上吗?
答案:
(1)400米
(2)不会
解析:
(1)
如图,猎狗与兔子同时分别从A、B出发后,在相同的一段时间内,猎狗跑的路程是AB,兔子跑的路程是BC.又因为猎狗的速度是兔子的2倍,所以AB=BC×2,AC=1000-100=900米.
由和倍问题的公式,得BC=900÷(2+1)=300米,AB=BC×2=600米.
那么兔子现在距离洞口3CO+100=400米.
(2)兔子距离洞口100米时,猎狗离洞口还有400米,当兔子跑完这100米到达洞口时,猎狗也向前跑了200米.这时猎狗离洞口还有400-200=200米.
所以兔子最终不会被猎狗追上.
超越篇
1.萱萱、小高骑车从甲地同时出发,同向而行.萱萱的速度比小高的速度每小时快4千米,因此萱萱比小高早20分钟通过途中的乙地.当小高到达乙地时,萱萱又前进了8千米,求甲、乙两地之间的距离.
答案:
40千米
解析:
如图,一共有3个时刻:
①时刻:
两人同时出发;②时刻:
萱萱到达乙地;③时刻:
小高到达乙地.
从图中看出,萱萱在20分钟内骑了8千米,而1小时是20分钟的3倍,所以萱萱的速度为8×3=24千米/时,那么小高的速度为24-4=20千米/时.
小高到达乙地时,萱萱比小高多骑了8千米,即两人的路程差是8千米.
萱萱、小高的速度差是4千米/时,根据“追及时间=路程差÷速度差”,得从出发到小蔷‰这乙地为止经过的时间为8÷4=2小时,所以甲、乙两地的距
离是20×2=40千米.
2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,6小时后相遇在中点,如果甲延迟1小时出发,乙每小时少走4千米,两人仍在中点相遇,请问:
甲、乙两地相距多少千米?
答案:
336千米
解析:
如图,甲第二次延迟1小时出发,也就是乙比甲早出发了1小时,乙这1小时走的距离在图中用虚线表示.
由于甲的速度没有变,所走的路程也没变,因此从出发直至相遇所花的时间仍然是6小时.
乙减速后每小时少走4千米,因此6小时内,乙少走4×6=24千米.
观察线段图可知,这段少走的路程,就是乙减速后单独走1小时的路程.因此减速后乙的速度为24千米,7时,乙原来的速度为24+4=28千米/时,
所以A、B两地距离为28×6×2=336千米.
3.小高平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟.某天他步行6分钟后就开始跑步,结果比平时早到了2分钟.请问:
小高跑步的速度是步行速度的几倍?
答案:
2倍
解析:
如图1所示,依题意,小高平时上学所花的时间为I0+2=12分钟,所以他这一天上学所花的时间,就为12-2=10分钟.因此跑步的时间一共是10-6=4分钟.
如图2所示,把这两种方式作一个比较,两种方式的前6分钟都是步行,后2分钟都是跑步,因此差别就在中间一段上.
如图3,两种方式的区别在中间这段上,小高既可以步行4分钟,乜可以跑步2分钟通过这一段路程.因此小高的跑步速度是步行速度的2倍.
4.墨莫家离学校1000米,平时他步行2j分钟后准时到校,有一天他晚出发10分钟,为避免退到,墨莫先乘公共汽车,然后步行,结果仍然准时到校.已知公共汽车的速度是墨莫步行速度的6倍,请问:
墨莫这天上学步行了多少米?
答案:
520米
解析:
如图,仔细比较两种上学方式,后一段都是步行,所花时间是相同的,两种方式的区别在前一段.
第一次是步行走完这段路程的,而第二次则是乘车.日于第二次晚出发10分钟,最终仍然准时到校.
因此乘车节省了10分钟,也就是这段路程乘车比步行少花10分钟,
由于公共汽车的速度是步行的6倍,因此对于同一段路程,步行所花的时间是乘车的6倍,因此根据差倍问题,得墨莫乘公共汽车的时间为10÷(6-1)=2分钟.相应的步行时间是12分钟.
所以墨莫晚10分钟出发这天,地上学步行的时间为25-12=13分钟,因为墨莫的步行速度是每分钟1000÷25=40米,所以墨莫这天上学共步行了40×13=520米.
5.甲、乙两车分别从A、B两站同时出发,相向而行,已知甲车的速度是乙车的2倍,甲、乙到达途中C站的时刻依次为5:
00和17:
00.问:
两车何时相遇?
答案:
9:
00
解析:
如图,5:
00和17:
00时,甲、乙分别到达C点,假设乙在5:
00时在D点,它们相遇在E点.
乙从D点到C点用了12个小时.如果设乙的速度是每小时走1份的路程,那么D到C两点之间的路程是12份,因为甲的速度是乙的2倍,所以甲的速度是每小时2份,因此甲、乙的速度和是每小时3份.5:
OO时甲在c点,乙在D点同时出发相向而行,那么经过12÷3=4小时后两车相遇,西此两车相遇的时
刻是9:
00.
6.热甲、乙两人分别由A、B两地同时出发,如果相向而行,1小时后两人相遇;如果同向而行,且乙先出发2小时,那么甲3小时后追上乙.请问:
甲的速度是乙的几倍?
答案:
3倍
解析:
如图,观察线段图,易看出结论:
甲行走3小时的路程,与甲行走1小时、乙行走1+5=6小时的路程之和相等.因此甲行走2小时的路程与乙行走6小时
的路程相等.根据行程问题的基本倍数关系,得到甲步行速度是乙步行速度的6÷2=3倍.
7.如图所示,一条笔直的公路上有16个车站A,,Az,A。
,…,Al6,已知相邻两站之间的距离都相等.有一天,甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站.甲先出发,当甲到达第2站时,乙出发.当乙到达第3站时丙出发,如果丙在第4站追上乙,甲和丙同时到达第16站,那么甲的速度是乙的速度的几倍?
答案:
2倍
解析:
乙从第3站走到第4站走了1段,与此同时丙从第1站走到了第4站走了3段,因此丙的速度是乙的3倍,当丙从第1站走到第16站走Tis段时,乙走了15÷3=5段,即乙应该在第8站.
另一方面,当乙在第8站的时候甲在第16站,而乙从第1站出发时甲在第2站,因此同样的时间乙从第1站走到第8站走了7段,甲从第2站走到第16站走了14段.
所以甲的速度是乙的2倍.
8.甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时出发同向而行,一段时间后甲在C点追上乙,如果甲每小时多走1千米,而乙每小时少走1千米,则甲追上乙的时间会少用2小时,且追上的地点与C点相距12千米,试问:
如果甲、乙两人以原速分别从A、B两地同时出发相向而衍,几个小时相遇?
答案:
2小时
解析:
第一次,甲和乙合走了AC+BC的路程;第二次,虽然甲提速了、乙减速了,但他们的速度和没变,两人合在一起少走了2个小时,总路程少了12×2=24千米.由此可以判断出甲、乙的速度和是每小时12千米,因此.如果甲、乙丽人以原速相向而行,相遇时间为24÷12=2小时.
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