选修 32 第四章 习题课电磁感应中的动力学及能量问题.docx
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选修32第四章习题课电磁感应中的动力学及能量问题
习题课:
电磁感应中的动力学及能量问题
课时要求
1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.
2.理解电磁感应过程中能量的转化情况,能用能量的观点分析和解决电磁感应问题.
一、电磁感应中的动力学问题
1.电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用,所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起,处理此类问题的基本方法是:
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向.
(2)求回路中的感应电流的大小和方向.
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力).
(4)列动力学方程或平衡方程求解.
2.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态.
处理方法:
根据平衡条件——合力等于零列式分析.
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零.
处理方法:
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.
例1
如图1甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的电阻,一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直,整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下,导轨和金属杆的电阻可忽略,让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦.
图1
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图;
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流及其加速度的大小;
(3)求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度最大值.
答案
(1)见解析图
(2)
gsinθ-
(3)
解析
(1)如图所示,ab杆受重力mg,竖直向下;支持力FN,垂直于斜面向上;安培力F安,沿斜面向上.
(2)当ab杆的速度大小为v时,感应电动势E=BLv,此时电路中的电流I=
=
ab杆受到安培力F安=BIL=
根据牛顿第二定律,有mgsinθ-F安=ma
联立解得a=gsinθ-
.
(3)当a=0时,ab杆有最大速度:
vm=
.
电磁感应现象中涉及到具有收尾速度的力学问题时,关键是做好受力情况和运动情况的动态分析:
→
→
→
→
→
→
周而复始地循环,达到最终状态时,加速度等于零,导体达到稳定运动状态,即平衡状态,根据平衡条件建立方程,所求解的收尾速度也是导体运动的最大速度.
针对训练1 (多选)如图2所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计.ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆.开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落,一段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是( )
图2
答案 ACD
解析 设ab杆的有效长度为l,S闭合时,若
>mg,杆先减速再匀速,D项有可能;若
=mg,杆匀速运动,A项有可能;若
-mg=ma中的a不恒定,故B项不可能. 二、电磁感应中的能量问题 1.电磁感应中能量的转化 电磁感应过程实质是不同形式的能量相互转化的过程,其能量转化方式为: 2.求解电磁感应现象中能量问题的一般思路 (1)确定回路,分清电源和外电路. (2)分析清楚有哪些力做功,明确有哪些形式的能量发生了转化.如: ①有滑动摩擦力做功,必有内能产生; ②有重力做功,重力势能必然发生变化; ③克服安培力做功,必然有其他形式的能转化为电能,并且克服安培力做多少功,就产生多少电能;如果安培力做正功,就是电能转化为其他形式的能. (3)列有关能量的关系式. 例2 如图3所示,足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置,所在平面的倾角θ=37°,导轨间的距离L=1.0m,下端连接R=1.6Ω的电阻,导轨电阻不计,所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度B=1.0T. 图3 质量m=0.5kg、电阻r=0.4Ω的金属棒ab垂直置于导轨上,现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F=5.0N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行,当金属棒滑行s=2.8m后速度保持不变.求: (sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2) (1)金属棒匀速运动时的速度大小v; (2)金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中,电阻R上产生的热量QR. 答案 (1)4m/s (2)1.28J 解析 (1)金属棒匀速运动时产生的感应电流为I= 由平衡条件有F=mgsinθ+BIL 代入数据解得v=4m/s. (2)设整个电路中产生的热量为Q,由能量守恒定律有 Q=Fs-mgs·sinθ- mv2 而QR= Q,代入数据解得QR=1.28J. 针对训练2 水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab,ab处在磁感应强度大小为B、方向如图4所示的匀强磁场中,导轨的一端接一阻值为R的电阻,导轨及导体棒电阻不计.现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动,当通过的位移为x时,ab达到最大速度vm.此时撤去外力,最后ab静止在导轨上.在ab运动的整个过程中,下列说法正确的是( ) 图4 A.撤去外力后,ab做匀减速运动 B.合力对ab做的功为Fx C.R上释放的热量为Fx+ mv D.R上释放的热量为Fx 答案 D 解析 撤去外力后,导体棒水平方向只受安培力作用,而F安= ,F安随v的变化而变化,故导体棒做加速度变化的变速运动,A错;对整个过程由动能定理得W合=ΔEk=0,B错;由能量守恒定律知,恒力F做的功等于整个回路产生的电能,电能又转化为R上释放的热量,即Q=Fx,C错,D正确. 1.(多选)如图5所示,不计电阻的平行金属导轨ab、cd竖直放置,上端接有电阻R,ef是一根电阻不计的水平放置的导体棒,质量为m,棒的两端分别与ab、cd保持良好接触,且能沿导轨无摩擦下滑,整个装置放在与导轨垂直的匀强磁场中,当导体棒ef由静止下滑一段时间后闭合开关S,则S闭合后( ) 图5 A.导体棒ef的加速度可能大于g B.导体棒ef的加速度一定小于g C.导体棒ef最终的速度随S闭合时刻的不同而不同 D.导体棒ef的机械能与回路内产生的热量之和一定守恒 答案 AD 解析 开关S闭合前,导体棒只受重力而加速下滑.闭合开关时有一定的初速度v0,若此时F安>mg,则F安-mg=ma.若F安<mg,则mg-F安=ma,F安不确定,故加速度的大小也不确定,选项A正确,选项B错误;无论闭合开关时初速度为多大,导体棒最终所受的安培力和重力都平衡,故选项C错误;根据能量守恒定律可知,选项D正确. 2.(多选)如图6所示,两根光滑的金属导轨,平行放置在倾角为θ的斜面上,导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽略不计.斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向上.质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab,在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑,且上升的高度为h,在这一过程中( ) 图6 A.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零 B.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和 C.恒力F与安培力的合力所做的功等于零 D.恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 答案 AD 解析 金属棒匀速上滑的过程中,对金属棒受力分析可知,有三个力对金属棒做功,恒力F做正功,重力做负功,安培力阻碍相对运动,沿斜面向下,做负功.匀速运动时,所受合力为零,故合力做功为零,A正确;克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能,电能又等于R上产生的焦耳热,故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热,D正确. 3.如图7所示,空间存在B=0.5T,方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是水平放置的平行长直导轨,其间距L=0.2m,电阻R=0.3Ω接在导轨一端,ab是跨接在导轨上质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的导体棒,已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始,对ab棒施加一个大小为F=0.45N、方向水平向左的恒定拉力,使其从静止开始沿导轨滑动,该过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好,求: 图7 (1)导体棒所能达到的最大速度; (2)试定性画出导体棒运动的速度-时间图象. 答案 (1)10m/s (2)见解析图 解析 (1)导体棒切割磁感线运动,产生的感应电动势: E=BLv① I= ② 导体棒受到的安培力F安=BIL③ 导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用, 根据牛顿第二定律: F-μmg-F安=ma④ 由①②③④得: F-μmg- =ma⑤ 由上式可以看出,随着速度的增大,安培力增大,加速度a减小,当加速度a减小到0时,速度达到最大. 此时有F-μmg- =0⑥ 可得: vm= =10m/s⑦ (2)导体棒运动的速度-时间图象如图所示. 一、选择题 1.如图1所示,在一匀强磁场中有一U形导线框abcd,线框处于水平面内,磁场与线框平面垂直,R为一电阻,ef为垂直于ab的一根导体杆,它可在ab、cd上无摩擦地滑动.杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计.开始时,给ef一个向右的初速度,则( ) 图1 A.ef将减速向右运动,但不是匀减速 B.ef将匀减速向右运动,最后停止 C.ef将匀速向右运动 D.ef将往返运动 答案 A 解析 ef向右运动,切割磁感线,产生感应电动势和感应电流,会受到向左的安培力而做减速运动,直到停止,但不是匀减速,由F=BIl= =ma知,ef做的是加速度减小的减速运动.故A正确. 2.如图2所示,竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R,质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦,棒与导轨的电阻均不计,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直,棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内,力F做的功与安培力做的功的代数和等于( ) 图2 A.棒的机械能增加量B.棒的动能增加量 C.棒的重力势能增加量D.电阻R上放出的热量 答案 A 解析 棒加速上升时受到重力、拉力F及安培力.根据功能原理可知,力F与安培力做的功的代数和等于棒的机械能的增加量,A正确. 3.(多选)如图3所示,纸面内有一矩形导体闭合线框abcd,ab边长大于bc边长,置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外,线框两次匀速地完全进入磁场,两次速度大小相同,方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场,线框上产生的热量为Q1,通过线框导体横截面的电荷量为q1;第二次bc边平行于MN进入磁场,线框上产生的热量为Q2,通过线框导体横截面的电荷量为q2,则( ) 图3 A.Q1>Q2B.Q1 C.q1=q2D.q1>q2 答案 AC 解析 根据功能关系知,线框上产生的热量等于克服安培力做的功, 即Q1=W1=F1lbc= lbc= lab 同理Q2= lbc,又lab>lbc,故Q1>Q2; 因q= t= t= = , 故q1=q2.因此A、C正确. 4.如图4所示,足够长的平行金属导轨倾斜放置,倾角为37°,宽度为0.5m,电阻忽略不计,其上端接一小灯泡,电阻为1Ω.一导体棒MN垂直导轨放置,质量为0.2kg,接入电路的电阻为1Ω,两端与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度为0.8T.将导体棒MN由静止释放,运动一段时间后,小灯泡稳定发光,此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6)( ) 图4 A.2.5m/s 1WB.5m/s 1W C.7.5m/s 9WD.15m/s 9W 答案 B 解析 导体棒MN匀速下滑时受力如图所示, 由平衡条件可得F安+μmgcos37°=mgsin37°,所以F安=mg(sin37°-μcos37°)=0.4N,由 F安=BIL得I= =1A,所以E=I(R灯+RMN)=2V,导体棒的运动速度v= =5m/s,小灯泡消耗的电功率为P灯=I2R灯=1W.正确选项为B. 5.如图5所示,边长为L的正方形导线框质量为m,由距磁场H高处自由下落,其下边ab进入匀强磁场后,线圈开始做减速运动,直到其上边dc刚刚穿出磁场时,速度减为ab边刚进入磁场时的一半,磁场的宽度也为L,则线框穿过匀强磁场过程中产生的焦耳热为( ) 图5 A.2mgLB.2mgL+mgH C.2mgL+ mgHD.2mgL+ mgH 答案 C 解析 设线框刚进入磁场时的速度为v1,刚穿出磁场时的速度v2= ① 线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L.由题意得 mv =mgH② mv +mg·2L= mv +Q③ 由①②③得Q=2mgL+ mgH.选项C正确. 6.(多选)如图6所示,匀强磁场的磁感应强度为B,方向竖直向下,在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框,ab边的质量为m,电阻为R,其他三边的质量和电阻均不计.cd边上装有固定的水平轴,将金属框自水平位置由静止释放,第一次转到竖直位置时,ab边的速度为v,不计一切摩擦,重力加速度为g,则在这个过程中,下列说法正确的是( ) 图6 A.通过ab边的电流方向为a→b B.ab边经过最低点时的速度v= C.ab边经过最低点时的速度v< D.金属框中产生的焦耳热为mgL- mv2 答案 CD 解析 ab边向下摆动过程中,金属框内磁通量逐渐减小,根据楞次定律及右手螺旋定则可知感应电流方向为b→a,选项A错误;ab边由水平位置到达最低点过程中,机械能一部分转化为焦耳热,故v< ,所以选项B错误,C正确;根据能量守恒定律可知,金属框中产生的焦耳热应等于此过程中机械能的损失,故选项D正确. 7.(多选)如图7所示,匀强磁场中有一矩形闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积S=0.5m2,线圈电阻r=0.2Ω,磁感应强度B在0~1s内从零均匀变化到2T,则( ) 图7 A.0.5s时线圈内感应电动势的大小为1V B.0.5s时线圈内感应电流的大小为10A C.0~1s内通过线圈的电荷量为5C D.0~0.5s内线圈产生的焦耳热为5J 答案 AC 解析 根据法拉第电磁感应定律E=n 可得: E= =1V,故选项A正确;线圈内感应电流的大小I= = A=5A,故选项B错误;0~1s内通过线圈的电荷量q=It=5×1C=5C,故选项C正确;0~0.5s内线圈产生的焦耳热Q=I2rt=52×0.2×0.5J=2.5J,故选项D错误. 8.(多选)如图8所示,有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场,磁感应强度为B,一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下.经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm,则( ) 图8 A.如果B增大,vm将变大 B.如果α变大,vm将变大 C.如果R变大,vm将变大 D.如果m变小,vm将变大 答案 BC 解析 金属杆由静止开始滑下的过程中,金属杆就是一个电源,与电阻R构成一个闭合回路;其受力情况如图所示,根据牛顿第二定律得: mgsinα- =ma 所以金属杆由静止开始做加速度减小的加速运动,当a=0,即mgsinα= 时,此时达到最大速度vm,可得: vm= ,故由此式知选项B、C正确. 9.(多选)如图9所示,MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨,其间距为L,导轨弯曲部分光滑,平直部分粗糙,二者平滑连接.右端接一个阻值为R的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放,到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ,金属棒与导轨间接触良好.则金属棒穿过磁场区域的过程中( ) 图9 A.流过金属棒的最大电流为 B.通过金属棒的电荷量为 C.克服安培力所做的功为mgh D.金属棒产生的焦耳热为 (mgh-μmgd) 答案 AD 解析 金属棒下滑到底端时的速度为v= ,感应电动势E=BLv,所以流过金属棒的最大电流为I= ;通过金属棒的电荷量为q= = ;克服安培力所做的功为W=mgh-μmgd;电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功,所以金属棒产生的焦耳热为 (mgh-μmgd).选项A、D正确. 二、非选择题 10.如图10所示,电阻r=0.3Ω、质量m=0.1kg的金属棒CD静止在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上,棒与导轨垂直且接触良好,导轨的电阻不计,导轨的左端接有阻值为R=0.5Ω的电阻,有一个理想电压表接在电阻R的两端,垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面.现给金属棒加一个水平向右的恒定外力F,观察到电压表的示数逐渐变大,最后稳定在1.0V,此时金属棒的速度为2m/s. 图10 (1)求拉动金属棒的外力F的大小. (2)当电压表读数稳定后某一时刻,撤去外力F,求此后电阻R上产生的热量. 答案 (1)1.6N (2)0.125J 解析 (1)金属棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv 电路中的感应电流I= , 金属棒受到的安培力F安=BIL, 金属棒匀速运动有F=F安 由题意可知E= ·(R+r), 联立以上各式解得F=1.6N. (2)金属棒的动能转化为内能,则 mv2=Q, 电阻R上产生的热量QR= Q, 解得QR=0.125J. 11.如图11所示,相距为L的光滑平行金属导轨ab、cd固定在水平桌面上,上面放有两根垂直于导轨的金属棒MN和PQ,金属棒质量均为m,电阻值均为R.其中MN被系于中点的细绳束缚住,PQ的中点与一绕过定滑轮的细绳相连,绳的另一端系一质量也为m的物块,绳处于拉直状态.整个装置放于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度的大小为B.若导轨的电阻、滑轮的质量及一切摩擦均忽略不计,当物块由静止释放后,求: (重力加速度为g,金属导轨足够长) 图11 (1)细绳对金属棒MN的最大拉力; (2)金属棒PQ能达到的最大速度. 答案 (1)mg (2) 解析 (1)对棒PQ,开始时做加速度逐渐减小、速度逐渐增大的变加速运动,当加速度为零时,速度达到最大,此时感应电流最大.此后棒PQ做匀速直线运动. 对棒PQ,F安=BLIm=mg 对棒MN,Fm=F安=BLIm=mg. (2)对棒PQ,F安-mg=0时速度最大 E=BLvm,I= ,F安=BLI 解得vm= .
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