北师大版九年级上册数学 第一章教学资源包北师大版九年级上第一章特殊平行四边形导学案.docx
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北师大版九年级上册数学第一章教学资源包北师大版九年级上第一章特殊平行四边形导学案
第一章特殊平行四边形
1.1菱形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、理解并掌握菱形的判定方法,以及符号语言的应用.
2、灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.
【重点难点】
1、掌握并会应用菱形的判定方法.
2、菱形判定方法的应用.
知识概览图
定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质:
四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
判定:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)四条边相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
新课导引
【问题链接】如右图所示,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分构成一个四边形ABCD,四边形ABCD一定是平行四边形吗?
它与一般平行四边形比较有什么区别?
教材精华
知识点1菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图4-37所示.
拓展菱形是一种特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”.菱形的定义既是它的性质,也是它的差别方法.如果已知一个四边形是菱形,那么它一定是平行四边形并且有一组邻边相等;反之,如果已知一个四边形是平行四边形且有一组邻边相等,那么它一定是菱形.
知识点2菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
(4)菱形是轴对称图形.有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线.
如图4-38所示,在菱形ABCD中,有如下结论:
(1)AB=BC=CD=AD→四条边都相等.
(2)OA=OC,OB=OD,AC⊥BD一对角线互相垂直平分.
(3)∠l=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8→每一条对角线平分一组对角.
拓展菱形性质的作用是:
利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、两直线平行、两直线垂直及有关计算.
知识点3菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)四条边都相等的四边形是菱形.
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
拓展菱形的判定方法
(1)和(3)是以平行四边形为基础的,而判定方法
(2)和(4)是以四边形为基础的,这两点一定要区别清楚.
菱形的判别方法可用图4-39表示.
探究交流
(1)有一组邻边相等的四边形是菱形吗?
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形吗?
点拨
(1)如图4-40所示,AB=AD,显然它不是菱形,所以四边形若只有一组邻边相等,则它不一定是菱形(只有当四边形是平行四边形且有一组邻边相等时,它才是菱形).
(2)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
如图4-41所示,AC⊥BD,但显然四边形ABCD不是菱形.只有当四边形对角线互相垂直平分时,它才是菱形.
知识点4菱形的面积
菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.
如图4-42所示,菱形ABCD中,AC⊥BD,
S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=
BD·OA+
BD·OC
=
BD(OA+OC)=
BD·AC.
拓展
(1)菱形的面积除了用对角线长求以外,也可以用底乘高来求,这取决于已知条件.
(2)凡是对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长的积的一半.
课堂检测
基础知识应用题
1、已知菱形的两条对角线AC,BC的长分别为6cm和8cm,则边长为cm,周长为cm,面积为cm2,高为cm.
2、如图4-44所示,在菱形ABCD中,正是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求对角线AC的长;
(3)求菱形ABCD的面积.
综合应用题
3、如图4-46所示,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B试说明△ABC是等边三角形.
4、如图4-47所示,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为16cm和12cm,DE⊥BC于E,求DE的长.
探索创新题
5、先阅读下面的题目及解题过程,再根据要求回答问题.
如图4-48所示,在
ABCD中,∠BAD的平分线与BC边相交于点E,∠ABC的平分线与AD边相交于点F,AE与BF相交于O,试说明四边形ABEF是菱形.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,①
∴AD∥BC,②
∴∠ABE+∠BAF=180°.③
∵AE,BF分别是∠BAF,∠ABE的平分线,④
∴∠1=∠2=
∠BAF,∠3=∠4=
∠ABE.⑤
∴∠1+∠3=
(∠BAF+∠ABE)=90°.⑥
∴∠AOB=90°.⑦
∴AE⊥BF.⑧
∴四边形ABEF是菱形.⑨
(1)上述解题过程是否正确?
;
(2)如有错误,在第步到第步推理错误,应在第步后添加如下步骤:
.
体验中考
1、如图4-49所示,将一个长为10cm、宽为8cm的长方形纸片对折两次后,沿所得矩形的两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形(如图4-50所示)的面积为()
A.10cm2B.20cm2
C.40cm2D.80cm2
2、如图4-51所示,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间距离AB=BC=16cm,则∠l=度.
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析如图4-43所示,由菱形对角线互相垂直平分可知OA=
AC=3cm,OB=
BD=4cm,由对角线互相垂直和勾股定理可求出边长AB=
=5(cm),由于菱形四条边都相等,所以周长是边长的4倍,即周长为20cm,由于菱形面积等于两条对角线长的积的一半,所以它的面积为
AC·BD=
×6×8=24(cm2),又因为S菱形=边长×高=24,所以高=
=4.8(cm).
答案:
520244.8
【解题策略】此题运用了菱形的性质,应重点掌握,灵活运用.
2、分析本题考查菱形的性质,解题的关键是作辅助线,将菱形问题转化为三角形问题进行求解.
解:
(1)连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB
∵E是AB的中点,且DE⊥AB,
∴AD=BD.∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABC=60°×2=120°.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC,BD互相垂直平分,
∴OB=
BD=
AB=
a
∴OA=
∴AC=2AO=
.
(3)S菱形ABCD=
AC·BD=
·
·a=
.
【解题策略】有一内角为60°的菱形,已知边长,便可求出对角线长、高、面积
3、分析要说明△ABC是等边三角形,已知中给出了∠BAD=2∠B,又因为两直线平行,同旁内角互补,所以∠B=60°,因为菱形的邻边相等,可知△ABC是等腰三角形,从而得出△ABC是等边三角形.
解:
因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC,∠BAD+∠B=180°.
又∠BAD=2∠B,所以∠B=60°.
所以△ABC是等边三角形.
4、分析已知菱形的两条对角线长,便可由勾股定理求出边长,然后再利用菱形面积的两种计算方法便可求出DE的长.
解:
在菱形ABCD中,
BO=
BD=6cm,CO=
AC=8cm,BO⊥CO.
在Rt△BOC中,BC2=BO2+CO2=62+82=102,∴BC=10.
∵S菱形ABCD=
AC·BD=BC·DE,
∴
×16×12=10·DE,∴DE=9.6(cm).
【解题策略】菱形两条对角线分菱形为4个直角三角形,勾股定理常用于菱形的有关计算,另外菱形的面积的两种计算方法可以用来列方程,求出未知量.
5、分析要说明四边形ABEF是菱形,只得到对角线互相垂直是不够的,还需要说明此四边形是平行四边形,此题主要考查逻辑推理能力.
答案:
(1)不正确
(2)⑧⑨⑧∵∠4=∠AFB,∠4=∠3,∴∠3=∠AFB,∴AF=AB.同理BE=AB.∴AF=BE,又∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形
体验中考
1、分析由题意可知所得菱形两条对角线AC,BD的长分别为4cm,5cm,∴S菱形ABCD=
AC·BD=
×4×5=10(cm2).故选A.
【解题策略】利用轴对称性质解题也是常用的方法.
2、分析连接AB,则AB=AD=BD=16cm,因此△ABD为等边三角形,所以∠ADB=60°,这就不难求出∠1=120°.故填120
1.2-1.3矩形、正方形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、理解矩形、正方形的概念.
2、掌握矩形、正方形的性质.
【重点难点】
1、矩形、正方形的性质的理解和掌握.
2、矩形、正方形的性质的综合应用.
知识概览图
定义:
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形
性质:
(1)矩形的对角线相等;
(2)矩形的四个角都是直角;(3)矩形是轴对称图形,有两条对称轴
判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形;(3)有三个角是直角的四边形是矩形
定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形
性质:
(1)正方形的四条边相等,对边平行;
(2)正方形的四个角都是直角;(3)正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有四条对称轴
判定:
(1)一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)有一个角是直角的菱形是正方形;(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形;(4)既是矩形,又是菱形的四边形是正方形
新课导引
【问题链接】1.某居民小区搞绿化,要在一块正方形空地上建造花坛(如图
(1)所示),打算将其四等分,在每一等份中种上不同颜色的花草.如果你是园艺师,请你设计出比较美观且符合要求的方案.
2.小明家买了一张茶几,他想检查一下茶几面是否为长方形(如图
(2)所示).如果你手头只有一把卷尺,你能设计一个方案帮他检查一下吗?
请说说你的理由.
教材精华
知识点1矩形的概念
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.如图4-59所示.
拓展矩形也就是我们小学学过的长方形,它是有一个角是直角的平行四边形.如图4-60所示,在
ABCD中,若∠A=90°,则
ABCD就是一个矩形.矩形是一种特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一个角是直角”.矩形的定义既是它的性质,也是它的判别方法.若已知一个四边形是矩形,则它一定是平行四边形.注意:
有一个角是直角的四边形不一定是矩形,如图4-61所示的四边形ABCD中,∠C=90°,但四边形ABCD不是矩形.
知识点2矩形的性质
(1)矩形具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形的对角线相等.
(3)矩形的四个角都是直角.
(4)矩形是轴对称图形,有两条对称轴.
如图4-62所示,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC,BD相交于点O,则直线EG,FH是矩形ABCD的两条对称轴,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,OA=OB=OC=OD=
AC=
BD.
拓展由矩形的对角线相等这一性质可得出直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图4-62所示,Rt△ABD中,OB=OD,AO是它斜边上的中线,AO=
AC=
BD.
知识点3矩形的判别
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.
(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
拓展欲判定一个四边彤是矩形,可直接判定,也可先判定其是平行四边形,再判定其是矩形,至于选择哪种方法,取决于已知条件和对知识灵活掌握的程度.矩形的判别可用图4-63表示.
知识点4正方形的概念
一组邻边相等的矩形叫做正方形.如图4-64所示.
拓展由正方形的定义可知,正方形是有一组邻边相等的矩形,也是有一个角是直角的菱形,也就是说,正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,所以我们在说明一个四边形是正方形时;可以先说明它是矩形,再说明它是菱形,或先说明它是菱形,再说明它是矩形.
知识点5正方形的性质
(1)正方形的四条边相等,对边平行.
(2)正方形的四个角都是直角.
(3)正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
(4)正方形是轴对称图形,有四条对称轴.
如图4-65所示,在正方形ABCD中,有如下结论:
(1)AB=BC=CD=DA;AD∥BC,AB∥CD→四边相等,对边平行.
(2)∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°→四个角都是直角.
(3)AC=BD,AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8=45°→对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
拓展
(1)由于正方形是特殊的矩形和菱形,所以它具备矩形和菱形的所有性质.
(2)正方形的两条对角线将正方形分成8个等腰直角三角形,所以等腰直角三角形的性质在正方形的有关计算中经常用到.
知识点6正方形的判别
(1)一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(4)既是矩形,又是菱形的四边形是正方形.
拓展几种特殊平行四边形的判别可用图4-66表示.
规律方法小结从一般到特殊的思想:
从四边形到平行四边形再到菱形、矩形,再到正方形,就是从一般情况到特殊情况的认识,体现了从一般到特殊的思想.四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图4—67所示.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图4-69所示,矩形ABCD的两条对角线AC,BD交于O,DE∥AC,CE∥BD,CE与DE交于E.试说明四边形DOCE是菱形.
2、如图4-70所示,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,连接AE交CD于F,则∠E=.
3、如图4-71所示,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从点A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动,点Q从C点开始沿CD边以1cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达D点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),t为何值时,四边形APQD为矩形?
4、如图4-72所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,交AB于0,DE⊥AC,DF⊥BC,E,F是垂足,那么四边形DECF是正方形吗?
说明理由.
综合应用题
5、如图4-74所示,四边形ABCD是正方形,E,F是AD,DC上的点,且∠EBF=45°,则EF与CF+AE相等吗?
说明理由.
6、如图4-75所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影部分的面积是多少?
探索创新题
7、如图4-76所示,将矩形ABCD中的△AOB沿着射线BC的方向平移线段AD的距离,
(1)画出△AOB平移后的图形;
(2)设
(1)中O点平移后的对应点为E,试判断四边形CODE的形状,并说明理由;
(3)当四边形ABCD是什么四边形时,
(2)中的四边形C00E是正方形?
并说明你的理由.
体验中考
1、如图4-80所示,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
A.3cmB.4cm
C.5cmD.6cm
2、如图4-8l
(1)所示,把一个长为m,宽为n的长方形(m>n)沿虚线剪开,拼接成图
(2),成为在一个角去掉—个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为()
A.
B.m-n
C.
D.
3、如图4-82所示,正方形ABCD内有两条相交线段MN,EF,M,N,E,F分别在边AB,CD,AD,BC上,小明认为:
若MN=EF,则MN⊥EF;小亮认为:
若MN⊥EF,则MN=EF.你认为()
A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解:
∵DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形OCED是平行四边形.
在矩形ABCD中,
DO=CO.∴
OCED是菱形.
【解题策略】矩形对角线相等且互相平分.
2、分析因为四边形ABCD是正方形,所以∠ACB=45°.∠ACB=∠E+∠CAE,因为AC=CE,所以∠CAE=∠E(等边对等角).所以∠E=
=22.5°.故填22.5°.
【解题策略】熟悉正方形的特殊性,对解计算题非常有用.如正方形对角线与边的夹角为45°;正方形的一条对角线把正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形;两条对角线把正方形分成4个完全一样的等腰直角三角形.
3、分析观察图形,当PA=DQ时,由AP∥DQ,∠A=90°可得四边形APQD是矩形.
解:
依题意有4t=20-t,解得t=4,
即当移动4s时,四边形APQD是矩形.
【解题策略】此题是数形结合的一个重要体现,要学会用代数方法解几何问题.
4、解:
四边形DECF是正方形.理由如下:
因为DE⊥AC,∠ACB=90°,所以DE∥BC,
同理DF∥AC,所以四边形DECF是平行四边形.
又因为∠ACB=90°,所以
DECF是矩形.
因为CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,所以DE=DF.
所以矩形DECF是正方形.
【解题策略】要说明一个四边形是正方形,可根据它的定义说明这个四边形既是矩形,又是菱形.
5、分析可考虑将FC延长至P,使CP=AE,这样,只需说明EF=PF即可.
解:
EF=CF+AE.理由如下:
延长FC到P,使CP=AE,连接BP,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠BCD=∠BCP=90°,
∵AE=CP,∴△ABE≌△CBP,
∴BE=BP,∠ABE=∠CBP,
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠CBP+∠EBC=90°,即∠EBP=90°.
∵∠EBF=45°,∠PBF=∠EBP-∠EBF=90°-45°=45°,
∴∠EBF=∠PBF=45°.
∵BE=BP,BF=BF,∴△EBF≌△PBF,∴EF=PF.
∵PF=PC+CF,CP=AE,∴EF=CF+AE.
【解题策略】想说明一条线段等于两条线段的和,有两种方法:
截取法和延长法.截取法是在长线段中截去一短线段等于已知一短线段,再说明剩余部分等于另一短线段.延长法是将一短线段延长,使整条线段等于两短线段的和,再说明整条线段等于长线段.通过全等说明两线段相等是常用方法.
6、分析图中阴影部分是一钝角三角形,只要求ED的长,便可利用
×ED×AB求出面积.求ED的长,我们可以利用矩形的性质及折叠中的相等条件。
解:
由图形折叠可得C′D=CD=AB=3,∠C′=∠C=90°,
∠C′BD=∠CBD,C′B=CB=4.
在矩形ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∴∠C′BD=∠ADB,
∴EB=ED.
设ED=x,则C′E=C′B-EB=4-x.
在Rt△C′ED中,由勾股定理得:
ED2=C′E2+C′D2,
即x2=(4-x)2+32,解得x=
,
∴S△BDE=
ED·AB=
×
×3=
.
7、分析
(1)要平移的图形是△AOB,平移的方向是沿着射线BC的方向,平移的距离是线段AD的长,只要按平移的步骤进行即可.
(2)由于△AOB平移后变为△DEC,由平移性质得DE∥AC,CE∥DB,从而得到
CODE,由OC=OD可知四边形CODE是菱形.(3)菱形变为正方形,只需一个直角,即∠DOC=90°.众矩形ABCD中,若AC⊥BD,则只需四边形ABCD是正方形.
解:
(1)平移后的图形如图4-77所示.
(2)四边形CODE是菱形.
理由:
∵△AOB平移后得到△DEC,
∴DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形CODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=
AC,
OB=OD=
BD,且AC=BD,
∴OC=OD,
∴
CODE是菱形.
(3)当四边形ABCD是正方形时,
(2)中的四边形CODE是正方形.
理由:
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∴菱形CODE是正方形.
体验中考
1、分析根据题意,设EN=xcm,则CN=(8-x)cm,EC=4cm.在Rt△CEN中,由勾股定理,得x2=(8-x)2+42,解得x=5.所以CN=3cm.故选A.
【解颗箦略】本题考查图形的折叠问题,一般转化为解直角三角形.
2、分析若设小正方形的边长为x,则由大正方形边边相等得m-x=n+x,所以x=
.故选A.
3、分析小明不对,反例如图4-83
(1)所示,线段MN与线段FE关于直线BD对称.小亮对.理由如下:
如图4-83
(2)所示,分别平移线段EF,MN到AG,BH位置,则MN=BH,AG=EF,可说明△ABG≌△BCH,则AG=BH,即MN=EF.故选B.
1.4梯形(补充)
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程,初步体会“联系与转化”的数学思想在分析图形中的作用.
2、运用平移,轴对称的知识研究梯形的性质,培养运用已有的知识解决新问题的能力.
【重点难点】
1、探索梯形的有关概念、性质.
2、运用联系与转化的数学思想将梯形转化为平行四边形或三角形来研究,使学生真正体会到图形之间的联系.
知识概览图
梯形:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底
梯形的腰:
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
梯形的高:
夹在两底之间的垂线段的长度叫做梯形的高
定义:
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
性质:
(1)两腰相等;
(2)同一底上的两个内角相等,两底所夹同旁内角互补;(3)两条对角线相等;(4)是轴对称图形,有—条对称轴
判定:
(1)同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形;(3)两腰相等的梯形是等腰梯形
直角梯形的定义:
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形
新课导引
【问题链接】某村计划开挖一条长1500m的水渠,渠道的横断面为等腰梯形,渠道深0.8m,渠底宽1.2m,坡角为
45°.这一工程共需挖多少立方米的土呢?
【点拨】要想知道这一工程需挖多少立方米土,需求出横断面ABCD的面积,因为已知渠深和渠底宽。
所以求另一底AD的长是关键问题.求AD的长可以通过作两条高线,把梯形转化为矩形和直角三角形求解.因为渠道的横断面为等腰梯形,所以过点B,C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则BE=CF=0.8m.因为坡角是45°,所以∠BAD=∠ADC=45°,所以AE=DF=0.8m,所以AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=2.8(m),所以S梯形ABCD=
×(AD+BC)×BE=
×(2.8+1.2)×0.8=1.6(m2),所以这一工程共需挖1500×1.6=2
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