高中数学人教A版选修11导数及其应用含答案解析.docx
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高中数学人教A版选修11导数及其应用含答案解析
人教A版选修1-1导数及其应用
章末综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若函数f(x)=α2-cosx,则f′(α)等于( )
A.sinα B.cosα
C.2α+sinαD.2α-sinα
2.若曲线y=在点P处的切线斜率为-4,则点P的坐标是( )
A.B.或
C.D.
3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,归纳可得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x)B.-f(x)
C.g(x)D.-g(x)
4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)=( )
A.-1B.-2
C.2D.0
5.已知函数f(x)=xlnx,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( )
A.1B.-1
C.±1D.不存在
6.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )
A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0
C.x+2y-2=0D.2x-y+1=0
7.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图1所示,则y=f(x)( )
图1
A.在(-∞,0)上为减函数
B.在x=0处取得极小值
C.在(4,+∞)上为减函数
D.在x=2处取极大值
8.若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.a>B.a≥
C.a<D.a≤
9.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )
A.10B.15
C.25D.50
10.函数y=的最大值为( )
A.e-1B.e
C.e2D.
11.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)B.f(0)+f
(2)>2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≤2f
(1)D.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
12.若函数f(x)在(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf′(x),则一定有( )
A.函数F(x)=在(0,+∞)上为增函数
B.函数F(x)=在(0,+∞)上为减函数
C.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数
D.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
14.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为________.
15.若函数f(x)=ln|x|-f′(-1)x2+3x+2,则f′
(1)=________.
16.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1与直线l: 4x-y-1=0平行,且点P0在第三象限. (1)求点P0的坐标; (2)若直线l2⊥l1,且l2也过点P0,求直线l2的方程. 【解】 (1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1. 令3x2+1=4,解得x=±1. 当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4. 又点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为(-1,-4). (2)∵直线l2⊥l1,l1的斜率为4, ∴直线l2的斜率为-. ∵l2过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4), ∴直线l2的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 【解】 (1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=-处取得极值, 所以f′=0, 即3a·+2·=-=0,解得a=. (2)由 (1)得,g(x)=ex, 故g′(x)=ex+ex =ex =x(x+1)(x+4)ex. 令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当-4 当-1 当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数. 19.(本小题满分12分)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x),求g(x)的单调区间和最小值. 【解】 由题意知f′(x)=,g(x)=lnx+, ∴g′(x)=. 令g′(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间. 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间. 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以g(x)的最小值为g (1)=1. 20.(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 【解】 (1)对f(x)求导得f′(x)=--, 由y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x知 f′ (1)=--a=-2,解得a=. (2)由 (1)可知f(x)=+-lnx-, 则f′(x)=. 令f′(x)=0,解得x=-1或x=5. 因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,舍去. 当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5,无极大值. 21.(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位: 千克)与销售价格x(单位: 元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3 (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解】 (1)因为x=5时,y=11, 所以+10=11,a=2. (2)由 (1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)· =2+10(x-3)(x-6)2,3 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 42 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′ (1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线与直线y=2x+3的夹角为135°. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值. 【解】 (1)由题意,有f(0)=c=0, f′(x)=3x2+2ax+b且f′ (1)=3+2a+b=0,① 又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f′(0)=b,而直线y=2x+3与此切线所成的角为135°,所以=-1.② 联立①②解得a=0,b=-3,所以f(x)=x3-3x. (2)|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立等价于 |f(x)max-f(x)min|≤m,由于2sinα∈[-2,2],2sinβ∈[-2,2],故只需求出f(x)=x3-3x在[-2,2]上的最值,而f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0得x=±1,列表如下: x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -2 2 -2 2 所以f(x)max=2,f(x)min=-2,所以|f(x)max-f(x)min|=4≤m,所以m的最小值为4. 人教A版选修1-1导数及其应用 章末综合测评 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若函数f(x)=α2-cosx,则f′(α)等于( ) A.sinα B.cosα C.2α+sinαD.2α-sinα 【解析】 f′(x)=(α2-cosx)′=sinx,当x=α时,f′(α)=sinα. 【答案】 A 2.若曲线y=在点P处的切线斜率为-4,则点P的坐标是( ) A.B.或 C.D. 【解析】 y′=-,由-=-4,得x2=,从而x=±,分别代入y=,得P点的坐标为或. 【答案】 B 3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,归纳可得: 若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( ) A.f(x)B.-f(x) C.g(x)D.-g(x) 【解析】 观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x). 【答案】 D 4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′ (1)=2,则f′(-1)=( ) A.-1B.-2 C.2D.0 【解析】 由f(x)=ax4+bx2+c得f′(x)=4ax3+2bx,又f′ (1)=2,所以4a+2b=2,f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.故选B. 【答案】 B 5.已知函数f(x)=xlnx,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( ) A.1B.-1 C.±1D.不存在 【解析】 因为f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A. 【答案】 A 7.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0D.2x-y+1=0 【解析】 y′=′==, ∴y′|x=3=-,故与切线垂直的直线斜率为2, 所求直线方程为y-1=2x, 即2x-y+1=0.故选D. 【答案】 D 7.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图1所示,则y=f(x)( )
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