完整版概率论与数理统计知识点总结.docx
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完整版概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率
(1)随
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果
机试验
不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则
和随机
称这种试验为随机试验。
事件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事
件,它具有如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
(2)基
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
本事
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
件、样
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。
本空间
一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。
通常用大
和事件
写字母A,B,C,⋯表示事件,它们是的子集。
为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
①关系:
(3)事
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B
件的关
发生):
AB
系与运
如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价,或称A等于
算
B:
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
AB,或者AB。
AB=?
,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
AiAi
德摩根率:
i1i1ABAB,ABAB
(4)概率的公理化定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0≤P(A)≤1,
2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件A1,A2,⋯有
PAiP(Ai)
i1i1则称P(A)为事件A的概率。
(5)古典概型
1°1,2n,
2°P
(1)P
(2)P(n)1。
n
设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有P(A)=
(1)
(2)(m)=P
(1)P
(2)P(m)
mA所包含的基本事件数n基本事件总数
(6)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,P(A)L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
L()
(7)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当AB不相容P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
当AB独立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
(8)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时,P(B)=1-P(B)
(9)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称PP((AAB))为事件A发生P(A)条件下,事件B发生的条件概率,记为P(B/A)PP((AAB))。
P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)
(10)乘法公式
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)更一般地,对事件A1,A2,⋯An,若P(A1A2⋯An-1)>0,则有
P(A1A2⋯An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯⋯P(An|A1A2⋯An1)。
(11)独立性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
P(AB)P(A)P(B)
P(B|A)P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(12)全概公式
设事件B1,B2,,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,,n),
n
ABi
2°i1,则有
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型:
将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;
(13)贝叶斯公式
设事件B1,B2,⋯,Bn及A满足
1°B1,B2,⋯,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i1,2,⋯,n,
n
ABi
2°i1,P(A)0,
则
P(Bi/A)nP(Bi)P(A/Bi),i=1,2,⋯n。
P(Bj)P(A/Bj)
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i1,2,⋯,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i1,2,⋯,n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
将试验可看成分为两步做,如果求
在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
(14)伯努利概型
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用Pn(k)
表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,
Pn(k)Cknpkqnk,k0,1,2,,n
第二章随机变量及其分布
1)设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,⋯)且取各个值的概率,
即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,⋯,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
X|x1,x2,,xk,P(Xxk)p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件:
pk1
1)pk0,k1,2,,
(2)k1
2)设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数
x,有
x
F(x)f(x)dx,
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
分布1、f(x)0
x2
3、P(x1Xx2)F(x2)F(x1)2f(x)dx
x1
4、P(x=a)=0,a为常数,连续型随机变量取个别值的概率为0
(3)
设X
为随机变量,x是任意实数,则函数
分布
F(x)
P(Xx)
函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(a
Xb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布函
数F(x)表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°
0F(x)1,x;
2°
F(x)是单调不减的函数,即x1x2时,有F(x1)F(x2);
3°
F()limF(x)0,F()limF(x)1;xx
4°
F(x0)F(x),即F(x)是右连续的;
5°
P(Xx)F(x)F(x0)。
对于离散型随机变量,F(x)pk;
xkx
x对于连续型随机变量,F(x)f(x)dx。
(4)
0-1分
P(X=1)=p,P(X=0)=q
六大
布
分布
二项分
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。
事件A发生
布
的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。
P(Xk)Pn(k)Cnkpkqnk,其中q1p,0p1,k0,1,2,,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为
X~B(n,p)。
当n1时,P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布,所
以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分
布
设随机变量X的分布律为
k
P(Xk)e,0,k0,1,2,k!
则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X~()或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
均匀分
布
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数f(x)在[a,1
b]上为常数1,即
ba
1,a≤x≤b
f(x)0b,a其他,
则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,
b)。
分布函数为
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