高中数学不等式习题及详细答案.docx
- 文档编号:887024
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:187.35KB
高中数学不等式习题及详细答案.docx
《高中数学不等式习题及详细答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学不等式习题及详细答案.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学不等式习题及详细答案
第三章不等式
一、选择题
1.已知x≥,则f(x)=有().
A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1
2.若x>0,y>0,则+的最小值是().
A.3B.C.4D.
3.设a>0,b>0则下列不等式中不成立的是().
A.a+b+≥2B.(a+b)(+)≥4
C.≥a+bD.≥
4.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f
(1)=0,则不等式<0的解集为().
A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)
5.当0<x<时,函数f(x)=的最小值为().
A.2B.C.4D.
6.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是().
A.18B.6C.2D.2
7.若不等式组,所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是().
A.B.C.D.
8.直线x+2y+3=0上的点P在x-y=1的上方,且P到直线2x+y-6=0的距离为3,则点P的坐标是().
A.(-5,1)B.(-1,5)C.(-7,2)D.(2,-7)
9.已知平面区域如图所示,z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个,则m的值为().
A.-B.
C.D.不存在
10.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是().
A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]
二、填空题
(x-y+5)(x+y)≥0
0≤x≤3
11.不等式组所表示的平面区域的面积是.
x+2y-3≤0
x+3y-3≥0,
y-1≤0
12.设变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是.
13.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.
14.设a,b均为正的常数且x>0,y>0,+=1,则x+y的最小值为.
15.函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为.
16.某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,若p1+p2为定值,则年平均增长的百分率p的最大值为.
三、解答题
17.求函数y=(x>-1)的最小值.
18.已知直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
19.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少?
20.
(1)已知x<,求函数y=4x-1+的最大值;
(2)已知x,y∈R*(正实数集),且+=1,求x+y的最小值;
(3)已知a>0,b>0,且a2+=1,求的最大值.
参考答案
1.D
解析:
由已知f(x)===,
∵x≥,x-2>0,
∴≥·=1,
当且仅当x-2=,即x=3时取等号.
2.C
解析:
+
=x2+
=++.
∵x2+≥2=1,当且仅当x2=,x=时取等号;
≥2=1,当且仅当y2=,y=时取等号;
≥2=2(x>0,y>0),当且仅当=,y2=x2时取等号.
∴++≥1+1+2=4,前三个不等式的等号同时成立时,原式取最小值,故当且仅当x=y=时原式取最小值4.
3.D
解析:
方法一:
特值法,如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断只有≥不成立.
方法二:
可逐项使用均值不等式判断
A:
a+b+≥2+≥2=2,不等式成立.
B:
∵a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得(a+b)(+)≥4成立.
C:
∵a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2=2,
又≤≥,∴≥a+b成立.
D:
∵a+b≥2≤,∴≤=,即≥不成立.
4.D
解析:
因为f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
<0<0xf(x)<0,满足x与f(x)异号的x的集合为所求.
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f
(1)=0,画出f(x)在(0,+∞)的简图如图,再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在(-∞,0)的图象.
由f(x)的图象可知,当且仅当x∈(-1,0)∪(0,1)时,x与f(x)异号.
5.C
解析:
由0<x<,有sinx>0,cosx>0.
f(x)===+
≥2=4,当且仅当=,即tanx=时,取“=”.
∵0<x<,∴存在x使tanx=,这时f(x)min=4.
6.B
解析:
∵a+b=2,故3a+3b≥2=2=6,当且仅当a=b=1时取等号.
故3a+3b的最小值是6.
7.A
解析:
不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
△ABC.
由得A(1,1),又B(0,4),C(0,).
由于直线y=kx+过点C(0,),设它与直线
3x+y=4的交点为D,
则由S△BCD=S△ABC,知D为AB的中点,即xD=,∴yD=,
∴=k×+,k=.
8.A
解析:
设P点的坐标为(x0,y0),则解得
∴点P坐标是(-5,1).
9.B
解析:
当直线mx+y=z与直线AC平行时,线段AC上的每个点都是最优解.
∵kAC==-,
∴-m=-,即m=.
10.D
解析:
由x+=(x-1)++1,
∵x>1,∴x-1>0,则有(x-1)++1≥2+1=3,
则a≤3.
二、填空题
11.24.
解析:
不等式(x-y+5)(x+y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组.
或
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.第一个不等式组所对应的区域如图,而第二个不等式组所对应的区域不存在.
图中A(3,8),B(3,-3),C(0,5),阴影部分的面积为=24.
12..
解析:
若z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则直线z=ax+y的倾斜角一定小于直线x+2y-3=0的倾斜角,直线z=ax+y的斜率就一定小于直线x+2y-3=0的斜率,可得:
-a<-,即a>.
13.ab≥9.
解析:
由于a,b均为正数,等式中含有ab和a+b这个特征,可以设想使用≥构造一个不等式.
∵ab=a+b+3≥+3,即ab≥+3(当且仅当a=b时等号成立),
∴()2--3≥0,
∴(-3)(+1)≥0,∴≥3,即ab≥9(当且仅当a=b=3时等号成立).
14.(+)2.
解析:
由已知,均为正数,
∴x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+=a+b+2,
即x+y≥(+)2,当且仅当即时取等号.
15.8.
解析:
因为y=logax的图象恒过定点(1,0),故函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),把点A坐标代入直线方程得m(-2)+n(-1)+1=0,即2m+n=1,而由mn>0知,均为正,
∴+=(2m+n)(+)=4++≥4+=8,当且仅当即时取等号.
16..
解析:
设该厂第一年的产值为a,由题意,a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2),且1+p1>0,
1+p2>0,
所以a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2)≤a=a,解得
p≤,当且仅当1+p1=1+p2,即p1=p2时取等号.所以p的最大值是.
三、解答题
17.解:
令x+1=t>0,则x=t-1,
y===t++5≥+5=9,
当且仅当t=,即t=2,x=1时取等号,故x=1时,y取最小值9.
18.解:
因为直线l经过点P(3,2)且与x轴y轴都相交,
故其斜率必存在且小于0.设直线l的斜率为k,
则l的方程可写成y-2=k(x-3),其中k<0.
令x=0,则y=2-3k;令y=0,则x=-+3.
S△AOB=(2-3k)(-+3)=≥=12,当且仅当(-9k)=(-),即k=-时,S△AOB有最小值12,所求直线方程为
y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.
(第18题)
19.解:
设生产甲产品吨,生产乙产品吨,则有关系:
A原料用量
B原料用量
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有,目标函数z=5x+3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知
当x=3,y=4时可获得最大利润为27万元.
20.解:
(1)∵x<,∴4x-5<0,故5-4x>0.
y=4x-1+=-(5-4x+)+4.
∵5-4x+≥=2,
∴y≤-2+4=2,
当且仅当5-4x=,即x=1或x=(舍)时,等号成立,
故当x=1时,ymax=2.
(2)∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(+)(x+y)=++10≥2+10=6+10=16.
当且仅当=,且+=1,即时等号成立,
∴当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
(3)a=a=·a≤=,
当且仅当a=,即a=,b=时,a有最大值.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 不等式 习题 详细 答案