六年级奥数定义新运算及详细答案.docx
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六年级奥数定义新运算及详细答案
六年级奥数定义新运算及详细答案
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定义新运算
1.规定:
a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5=。
2.如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=。
3.定义运算“△”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:
4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=。
4.已知a,b是任意有理数,我们规定:
a⊕b=a+b-1,,那么。
5.x为正数,
6.如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=。
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=。
8.规定一种新运算“※”:
a※b=.如果(x※3)※4=421200,那么x=。
9.对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”,规定:
x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是。
10.设a,b为自然数,定义a△b。
(1)计算(4△3)+(8△5)的值;
(2)计算(2△3)△4;
(3)计算(2△5)△(3△4)。
11.设a,b为自然数,定义a※b如下:
如果a≥b,定义a※b=a-b,如果a
(1)计算:
(3※4)※9;
(2)这个运算满足交换律吗?
满足结合律吗?
也是就是说,下面两式是否成立?
①a※b=b※a;②(a※b)※c=a※(b※c)。
12.设a,b是两个非零的数,定义a※b。
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值。
13.定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b。
比如:
10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68。
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值。
答案
一、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)规定:
a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 100 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据a※b=(b+a)×b,得出新的运算方法,再根据新的运算方法解答(2※3)※5的值.
解答:
解:
因为,2※3=(3+2)×3=15,
所以,(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100,
故答案为:
100.
点评:
解答此题的关键是,根据所给的等式,找出新的运算方法,再运用新的运算方法,解答出要求式子的值.
2.(3分)如果a△b表示(a﹣2)×b,例如3△4=(3﹣2)×4=4,那么,当a△5=30时,a= 8 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据“a△b表示(a﹣2)×b,3△4=(3﹣2)×4=4,”得出新的运算方法,再用新的运算方法计算a△5=30,即可写成方程的形式,解此方程得出a的值.
解答:
解:
因为,a△5=30,
所以,(a﹣2)×5=30,
5a﹣10=30,
5a=40,
a=8,
故答案为:
8.
点评:
解答此题的关键是根据题意找出新运算方法,再根据新运算方法解答即可.
3.(3分)定义运算“△”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:
4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= 42 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据新运算知道,求18△12,就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和,由此即可解答.
解答:
解:
因为,18和12的最大公约数是6,最小公倍数是36,
所以,18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42;
故答案为:
42.
点评:
解答此题的关键是,根据定义的新运算,找出运算方法,列式解答即可.
4.(3分)已知a,b是任意有理数,我们规定:
a⊕b=a+b﹣1,a⊗b=ab﹣2,那么4⊗[(6⊕8)⊕(3⊗5)]= 98 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据a⊕b=a+b﹣1,a⊗b=ab﹣2,得出新的运算方法,再运用新的运算方法计算4⊗[(6⊕8)⊕(3⊗5)]的值.
解答:
解:
4⊗[(6⊕8)⊕(3⊗5)],
=4⊗[(6+8﹣1)⊕(3×5﹣2)],
=4⊗[13⊕13],
=4⊗[13+13﹣1],
=4⊗25,
=4×25﹣2,
=98,
故答案为:
98.
点评:
解答此题的关键是根据给出的式子,找出新的运算方法,用新运算方法解答即可.
5.(3分)x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 11 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据题意,先求出不超过19的质数的个数,再求出不超过93的质数的个数,而不超过1的质数的个数是0,所以<4>×<1>×<8>的值是0,因此即可求出要求的答案.
解答:
解:
因为,<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个,
<93>为不超过的质数,共24个,
并且,<1>=0,
所以,<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>,
=<<19>+<93>>,
=<8+24>,
=<32>,
=11,
故答案为:
11.
点评:
解答此题的关键是,根据题意,找出新的符号表示的意义,再根据定义的新运算,找出对应量,解答即可.
6.(3分)如果a⊙b表示3a﹣2b,例如4⊙5=3×4﹣2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x= 6 .
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
根据所给的运算方法,将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式,解答方程即可.
解答:
解:
由x⊙5﹣5⊙x=5,可得:
(3x﹣2×5)﹣(3×5﹣2x)=5,
5x﹣25=5,
x=6,
故答案为:
6.
点评:
解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可.
7.(3分)如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 45678 .
考点:
定义新运算。
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分析:
根据“1※4=1234,2※3=234,7※2=78”,得出新的运算方法:
※的前一个数字是等号后面数的第一个数字,※后面的数字表示连续数的个数,是从※前面的数开始连续,然后运用新的运算方法计算4※5的值即可.
解答:
解:
由于1※4=1234,2※3=234,7※2=78,
所以4※5=45678;
故答案为:
45678.
点评:
解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可.
8.(3分)我们规定:
符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:
5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:
5△3=3△5=3.
请计算:
= .
考点:
定义新运算。
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分析:
根据符号○表示选择两数中较大数的运算,符号△表示选择两数中较小数的运算,得出新的运算方法,用新的运算方法,计算所给出的式子,即可得出答案.
解答:
解:
○=○=,
0.625△=△=,
△=△=,
О2.25=О=,
所以:
==;
故答案为:
.
点评:
解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,解答即可.
9.(3分)规定一种新运算“※”:
a※b=a×(a+1)×…×(a+b﹣1).如果(x※3)※4=421200,那么x= 2 .
考点:
定义新运算。
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分析:
先根据“a※b=a×(a+1)×…×(a+b+1)”,知道新运算“※”的运算方法,由于(x※3)※4=421200,这个式子里有两步新运算,所以令其中的一步运算式子为y,再根据新的运算方法,由此即可求出要求的答案.
解答:
解:
令x※3=y,则y※4=421200,
又因为,421200=24×34×52×13=24×25×26×27,
所以,y=24,即x※3=24,
又因为,24=23×3=2×3×4,
所以,x=2;
故答案为:
2.
点评:
解答此题的关键是,根据新运算方法的特点,只要将整数写成几个自然数连乘的形式,即可得出答案.
10.(3分)对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”,规定:
x※y=ax+by﹣cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 4 .
考点:
定义新运算。
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分析:
根据x※y=ax+by﹣cxy,找出新的运算方法,根据新的运算方法,将1※2=3,2※3=4,x※m=x写成方程的形式,即可解答.
解答:
解:
由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=x(m≠0),得a•0+bm﹣c•0•m=0,
所以bm=0,又m≠0,故b=0,
因此x※y=ax﹣cxy,
由1※2=3,2※3=4,得,
解得a=5,c=1,
所以x※y=5x﹣xy,令x=1,y=m,
得5﹣m=1,
故m=4;
故答案为:
4.
点评:
解答此题的关键是,根据题意找出新的运算方法,再根据新的运算方法,列式解答即可.
二、解答题(共4小题,满分0分)
11.设a,b为自然数,定义a△b=a2+b2﹣ab.
(1)计算(4△3)+(8△5)的值;
(2)计算(2△3)△4;
(3)计算(2△5)△(3△4).
考点:
定义新运算。
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分析:
根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法,然后运用新的运算方法进行计算即可.
解答:
解:
(1)(4△3)+(8△5),
=(42+32﹣4×3)+(82+52﹣8×5),
=1++49,
=62;
(2)(2△3)△4,
=(22+32﹣2×3)△4,
=7△4,
=72+42﹣7×4,
=37;
(3)(2△5)△(3△4),
=(22+52﹣2×5)△(32+42﹣3×4),
=19△13,
=192+132﹣19×13,
=283;
答:
(1)62,
(2)37,(3)283.
点评:
解答此题的关键是,根据所给出的式子,找出新的运算方法,再利用新的运算方法解答即可.
12.设a,b为自然数,定义a※b如下:
如果a≥b,定义a※b=a﹣b,如果a<b,则定义a※b=b﹣a.
(1)计算:
(3※4)※9;
(2)这个运算满足交换律吗?
满足结合律吗?
也是就是说,下面两式是否成立?
①a※b=b※a;②(a※b)※c=a※(b※c).
考点:
定义新运算。
1665141
分析:
(1)根据“如果a≥b,定义a※b=a﹣b,如果a<b,则定义a※b=b﹣a,”得出新的运算方法,再利用新的运算方法计算(3※4)※9的值即可;
(2)要证明这个运算
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