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离散数学习题整合
CH01复习题
§1.2
1.命题判断〔每空1分,共4分〕P32-
A小和小王是同班同学B小猪不是鲜花C3-2n<0D假如2+2=4,如此太阳从西方升起。
上述语句中,是简单命题,不是命题,是符合命题且真值为假,是符合命题且真值为真。
〔参考答案:
ACDB〕
2.命题符号化〔每空2分,共4分〕习题1.5(7)(3)P32-
p:
天下大雨,q:
他乘公共汽车去上班,命题“除非天下大雨,否如此他不乘公共汽车去上班〞可符号化为。
〔参考答案:
q→p必要条件为后件〕
r:
天很冷,s:
老来了,命题“虽然天很冷,老还是来了〞可符号化为。
〔参考答案r∧s〕
3.五个真值表〔每空2分,共4分〕习题1.6
(2)(4)P32-
设p的真值为0,r的真值为1,q、s都是命题,如此命题公式〔
的真值为,命题公式
的真值为。
〔参考答案:
0,1〕
4.用符号p、q填空。
〔每空1分,共4分〕根本概念
设p:
x>0〔其中x是整数〕,q:
太阳从西方升起,如此是命题,是命题变项,是命题常项,不是命题。
〔参考答案:
q,p,q,p〕
5.命题符号化,相容或与排斥或
设r:
现在小在图书馆,s:
现在小在学生宿舍,如此“现在小在图书馆或学生宿舍〞可符号化为。
〔参考答案:
B〕
Ar∨sB(r∧¬s)∨(¬r∧s)Cr∧sD(r∧¬s)或(¬r∧s)
§1.2命题公式与分类
:
A是含三个命题变项的命题公式,且A(001)=0,A(100)=1,如此A是。
〔D〕
A矛盾是B可满足式C重言式D非重言式的可满足式
§1.3等值演算
用等值演算法证明等值式:
(p∧q)→rp→(q→r).(演算的每一步都要写依据)
§1.4式
6.〔每项1分,共4分〕命题公式A(p,q)的真值表
P
q
A(p,q)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
求A的永主析取式、主合取式、成真赋值和成假赋值。
〔参考答案:
m1∨m3,M0∧M2,01、11,00、10〕
7.〔2分〕命题公式B(p,q,r)=(¬p∧r∧¬q)的主析取式是。
〔参考答案:
C〕
Am2BM6Cm1DM5E
命题公式B(p,q,r)=(¬p∨¬q∨r)的主析取式是。
〔参考答案:
A〕
Am0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7BM6Cm1DM1
§1.5全功能集〔2分〕
不是联结词全功能集。
〔参考答案:
D〕
A{↑}B{¬,→}C{¬,∨}D{∧,∨}
是联结词全功能集。
〔参考答案:
A〕
A{↓,}B{∨,∧}C{∨}D{∧}
§1.6组合电路
〔习题1.16〕有一盏灯由三个开关控制,要求按任何一个开关都能使灯由黒变亮或由亮变黑,试设计这样的一个电路。
〔解题根本步骤:
状态设置、设计真值表、写主析取式、化简、绘制电路.答案不唯一〕
§1.7推理理论
(习题1.19
(1))用直接证明法或归谬法证明下面的推理.
前提:
¬(p∧¬q),¬q∨r,¬r.结论:
¬p.
证明:
…
(习题1.19(3))用直附加前提法证明下面的推理.
前提:
P→q.结论:
P→(p∧q).
证明:
…
〔例题1.28〕公安人员审查一件盗窃案,事实如下:
(1)或王盗窃了录音机;
(2)假如盗窃了录音机,如此作案时间不能发生在午夜前;
(3)假如王的证词正确,如此午夜时屋里灯光未灭;
(4)假如王的证词不正确,如此作案时间发生在午夜前;
(5)午夜时屋里灯光灭了.
试问盗窃录音机的是还是王,并证明你的结论。
参考答案:
王盗窃了录音机.
设p:
盗窃了录音机;
q:
王盗窃了录音机;
r:
作案时间发生在午夜前;
s:
王的证词正确;
t:
午夜时屋里灯光灭了.
前提:
p∨q,p→¬r,s→t,¬s→r,¬t.结论:
q.
证明:
…
CH02复习题
§2.1例2.1〔3〕
1将命题“假如一的成绩比王二高,王二的成绩比吴三高,那么一的成绩比吴三高〞用0元谓词符号化。
解:
设H(x,y):
x的成绩比y高,a:
一,b:
王二,c:
吴三
如此命题可符号化为H(a,b)∧H(b,c)H(a,c)
§2.1例2.4〔4〕
2在一阶逻辑中将命题“素数不全是奇数〞符号化。
解:
设F(x):
x是素数,G(x):
x是奇数
如此命题可符号化为x(F(x)∧G(x))
或x(F(x)G(x))
§
3〔每空1分,共4分〕
给定解释I,对一阶逻辑合式公式中每个出现的指定中的一个元素,称作在下的赋值。
〔自由个体变项个体域解释I〕
§
4下面的一阶逻辑合式公式不是闭式。
(D有自由出现)
Ax(F(x)G(X))By(F(x,y)G(x))CxF(x)yG(y)DxF(x,y)yG(y)
§
5下面各种表示,不正确。
(C例2.8〔5〕)也可改造成正误判断题
A在给定的解释和赋值下,任何一阶逻辑合式公式都是命题√P45-
B闭公式的真值与赋值无关,只需要给定解释
C非闭式的公式的真值只与赋值有关
D可满足式可能是逻辑有效式
§
6在四个合式公式∀x∃y(F(x)→(G(y)∧H(x,y)))、∀x(F(x)→∃y(G(y)∧H(x,y)))、∀x⌝(F(x)∧G(x))、⌝∃x(F(x)∧G(x))中共有个是前束式。
〔参考答案:
A〕
A2B3C1D0
〔*参考答案:
B〕
7F(x)=⌝∃x(M(x)∧F(x)),G1(x)=∀x⌝(M(x)∧F(x)),G2(x)=∀x(⌝M(x)∨⌝F(x)),
G3(x)=∀x(M(x)→⌝F(x)),如此在G1(x)、G2(x)和G3(x)中,有个是F(x)的前束式。
A0B3C2D1
例2.11〔3〕
8求公式xF(x)G(x)的前束式。
解:
xF(x)G(x)
xF(x)xG(x)(蕴涵等值式)
xF(x)xG(x)(量词否认等值式)
xF(x)G(x))(量词分配等值式)
解法2:
xF(x)G(x)
xF(x)yG(y)(换名规如此)
x(F(x)yG(y))(量词扩TH2.2
(2)
)
xyF(x)G(y))(量词扩TH2.2
(2)
)
解法3:
xF(x,)G(x)F(y)G(x))
§
设个体域D={a,b},消去公式x(F(x)∧yG(y))中的量词。
离散CH03复习题
判断〔1分/每一小题〕
假如集合A={1,{1,2},3},如此2A〔×〕
假如集合B={2,{a,b}},如此{a,b}B〔×〕
单项选择〔2分/每一小题〕
下面的集合算式不正确。
〔∵A=∴C〕
AA-(B∪C)=A-B)∪(A-C)BA-B=A∩~BCA=ADABA-B=
B={{a,b},c},如此|P(A)|=.〔∵P(A)={,{c},{{a,b}},B},∴A〕
A|{,{c},{{a,b}},B}|B2C3D8
填空〔2分/每一小题〕
假如|P(A)|=128,如此|A|=.(∵|P(A)|=27,∴7)
设A={1,3,3},如此|A|=.∵A={1,3},∴2)
计算〔8分/每一小题〕
某班有48个学生,第一次作业优秀7人,第二次作业优秀6人,两次作业都没得优秀的41人,求两次作业都得优秀的人数。
〔求解过程参见[例3.12],参考答案:
6〕
解:
用A、B分别表示第一次和第二次作业优秀的人数集合,E为某班全体学生的集合
如此:
|E|=48,|A|=7,|B|=6,|~A∩~B|=41
|~A∩~B|=|E|-(|A|+|B|)+|A∩B|
|A∩B|=41-48+(7+6)
=6
A={{a,b},c,d},B={c,d},计算A∩B、A∪B、A-B、AB。
〔P74-3.13
(1)〕
画图
画〔A∩~B〕∪〔C-B〕的文氏图。
〔3.15〔3〕〕
证明:
〔A∩~B〕∪〔C-B〕=〔A∪C〕-B
证:
左式=〔A∩~B〕∪〔C∩~B〕〔3.27/差交运算转换〕
=(A∪C)∩~B〔3.8/分配律〕
=(A∪C)-B〔3.27/差交运算转换〕
离散CH04复习题
判断〔1分/每一小题〕
§
1.A是任意集合,如此A×A的任何子集称作A上的二元关系。
〔√〕
2.假如集合B={2,{a,b}},如此{a,b}B〔×〕
单项选择〔2分/每一小题〕
§
3.A是任意集合,{
〔∵恒等关系蕴含其是A上的∴B〕
A空B恒等C全域DA上的
4.设A={a,b,c},R={,,,,
〔参见P80-,参考答案:
〔A〕
ABCD
设S={1,2,3,4},R是S上的关系,其关系矩阵是,R的关系图中有个环。
A1B3C6D7
填空〔2分/每一小题〕
§
6.A、B是任意两个集合,假如|A|=m,|B|=n,如此|P(A×B)|=。
〔〕
7.设A是任意集合,|A|=n,如此A上有个不同的二元关系。
(,|A×A|=n2)
§
8.R是集合A上的等价关系,如果有序对R,如此记作。
〔a~b〕
集合A上的偏序关系,如此可将此偏序关系简记作;有序对
〔ab〕
计算〔8分/每一小题〕
§
10.关系R={<2,{2}>,<{2},{2,{2}}>},求RR、R{2}、R[{2}].(同例4.7理解定义4.9)
解:
RR={<2,{2,{2}}>}
R{2}={<2,{2}>}限制
R[{2}]=ran〔R{2}〕=ran{<2,{2}>}={{2}}像集
11.A={a,b,c,d},R1和R2是A上的关系,且R1={,,},
R2={,,,
求R2R1。
解:
证明题
综合:
§1等值公式和等值运算+§3集合运算+§4关系性质的定义
12.设集合A上的两个关系R1和R2都是对称的,证明R1∩R2仍是对称的。
证明:
参见主教材P87-
13.试证任何集合A的幂集P(A)上的包含关系R是偏序关系
证明:
xP(A),都有xx,,
xy∧x≠y
xy〔集合包含关系的定义〕
yx
x、t、yP(A),假如
如此xt∧ty(关系R的定义)
xy〔集合运算律〕
14.R的关系图如如下图所示,画R的自反闭包r〔R〕、对称闭包s〔R〕、传递闭包t(R).
15.画<{1,2,3,4,5,6,7,8},R整除>的哈斯图。
16.判断函数f:
N→N,是否是满射、单射、双射,为什么?
解:
作f的对应关系图如右,由图可知
1无原像,故f非满射,也非双射。
但f是单射。
离散CH05
选择一个最适宜的答案
〔和边的交替〕序列Γ:
e0e1e2e3e4e5称为。
〔A〕
A简单通路B初级通路C通路D复杂通路
2.下面有向图中的顶点序列Γ:
V0V1V2V3V4V2V5称为。
〔C〕
A路径B初级通路C简单通路D复杂通路
3.能构成图的度数序列。
〔C〕
A〔3,3,2,1〕B〔2,3,2〕C〔1〕D〔3,3,3〕
填空:
4.设G〔V,E〕是n阶有向简单图,假如u,v∈V,都有,如此称G是n阶有向完全图。
〔∈E∧
5.G〔V,E〕是n阶有向完全图,通常记为。
(Kn〕
6.在下面的有向图中,从v2到v2的长度为2的初级回路是。
v2e4v1e1v2
7.在下面的无向图中,顶点是割点,边是桥。
〔V2〕〔e3〕
8.设G是有向图或无向图,称p〔G〕是图G的。
〔连通分支个数〕
简答〔6分/每一小题〕
§5.2
9.下面三个无向图,它们之间哪些同构,哪些不同构。
假如不同构,为什么?
假如同构,请建立顶点之间的双射。
图G1图G2图G3
答:
图G1与图G2不同构,因为图G1与G2存在度不一样的顶点。
…2分
同理G2G3.…2分
G1G3.…2分
2cb
1
43da
建立顶点之间的如下对应关系f:
1→a,2→b,3→c,4→d,f是双射,并且两图的边也一一对应。
11.图强连通,图单向连通,图弱连通,图非连通。
参考答案:
D2、D3、D4、D1〕
12.应用题P133-[例5.6]
离散CH06
选择一个最适宜的答案
1.下面三种说法,其中不正确的有个。
(C还有必要条件)
Hall定理是二部图G(V1,V2,E)存在完备匹配的充要条件
无论是有向图还是无向图,都有判断其是否存在欧拉通路和欧拉回路的充要条件
目前只有判断哈密顿图的充分条件
A0B3C1D2
2.下面四种说法,其中正确的有个。
〔A〕
存在既是欧拉图又是哈密顿图的无向图
存在是欧拉图不是哈密顿图的无向图
存在不是欧拉图却是哈密顿图的无向图
存在既不是欧拉图又不是哈密顿图的无向图
A4B3C2D1
填空
§
3.用G(V1,V2,E)表示二部图G,|V1|=n,|V2|=m,记号表示图G为。
〔完全二部图〕
§
4.假如图G画在平面上使得除顶点处外没有出现,如此称G为平面图。
〔边交叉〕
5.下面的平面图共有个面,其中无限面R0的次数deg〔R0〕=。
〔3,8〕
平面图6-1
6.非连通的平面图6-2的外部面是R0,deg〔R0〕=。
〔9〕
非连通平面图6-2
应用题:
7.P151-习题6.5〔二部图的应用〕
8.P151-习题6.15〔哈密顿图的应用〕
9.P152-习题6.18〔欧拉通路或欧拉回路的应用〕
10.*P152-习题6.23〔平面图在作色中的应用〕
离散CH07复习题
§
1.P165-↓12设n阶连通无向图G(V,E)有m条边,G的生成树有条边,余树有条边。
〔n-1,m-n+1〕
2.P167-例7.5〔2〕画出4个顶点非同构无向树。
〔2种〕
3.P173-习题7.16〔3〕画出4个顶点非同构的根树〔4种〕
4.下面三条表示中有条正确。
〔B〕
①一阶零图是一棵树②只有一片树叶的树在同构意义下只有1种
③树中每条边都是桥④在树中任意两个不相邻顶点间加一条边会形成唯一一条初级回路
A0B3C2D1
计算题
5.〔6分〕一棵树有2个4度顶点,3个3度顶点,其余都是树叶,如此该树有片树叶。
〔9<与P171-习题7.1同类型>〕
解:
设该树有x片树叶、n个节点、m条边
如此度数之和=4×2+3×3+1×x=17+x
n=2+3+x=5+x
m=n-1〔树〕=4+x
17+x=2m〔握手定理〕=2(4+x)x=9
6.P171-最小生成树-习题7.8〔b〕
离散CH09
§
1R*是非零实数集,1是R*上普通乘法的幺元,*,对普通乘法,a的逆元是。
〔a-1或1/a〕
2n阶单位矩阵是n阶矩阵的幺元。
〔乘法〕
3在集合A的幂集P(A)上,是∪运算的幺元∩运算的零元。
〔∅〕
是∩运算的幺元∪运算的零元。
〔A〕
4正确。
〔D〕
A减法是自然数集N上的二元运算B除法是整数集上的二元运算
C加法是非零实数集R*上的二元运算D⊕是任意集合A的幂集P(A)上的二元运算
5错误。
〔C〕
A0是加法的幂等元B1是乘法的幂等元
C单位矩阵E是矩阵加法的幂等元D∅是幂集P(S)上⊕运算的幂等元
6={0,1},λ表示空串,是回文语言,是镜像语言,。
(A,D)
A{0n10n|nN}={1,,00100,…}B{0n1n|nN}={λ,01,0011,…}
C{(01)n|nN}={λ,01,0101,…}D{01,10}
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