高考文科数学圆锥曲线专题复习doc.docx

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圆锥曲线专题复习

知识归纳：

名称椭圆

图象

平面内到两定点F1,F2的距离的和为

常数（大于

F1F2）的动点的轨迹叫椭

圆即MF1

MF22a

定义

c时，轨迹是椭圆，

当2a﹥2

当2a＝2c时，轨迹是一条线段

F1F2

当2a﹤2c时，轨迹不存在

双曲线

平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝

对值为常数（小于F1F2）的动点的轨

迹叫双曲线即MF1MF22a

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a＝2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在

焦点在x轴上时：

x

2

y

2

a

b

1

x2

y

2

2

2

焦点在x轴上时：

1

a2

b2

标准

焦点在y轴上时：

y2

x2

方程

1

焦点在y轴上时：

y2

x2

a2

b2

1

注：

根据分母的大小来判断焦点在哪一

a2

b2

坐标轴上

常数

a,b,c

a2

c2

b2，a

b0，

c2

a2

b2，ca0

的关

a最大，c

b,c

b,c

b

c最大，可以ab,a

b,a

b

系

焦点在x轴上时：

x

y

0

渐近

a

b

线

焦点在y轴上时：

y

x

0

a

b

抛物线：

图

形

y

OF

l

y

xFOx

l

方

2

2px（p

0）y2

2px（p

0）

x2

2py（p

0）

x2

2py（p0）

y

程

焦

p,0）

（

p,0）

（0,p）

（0,

p）

（

点

2

2

2

2

准

p

x

p

y

p

y

p

x

2

2

2

2

线

（一）椭圆

1.椭圆的性质：

由椭圆方程

x2

y

2

a

b

0）

a

1（

2

b2

（1）范围：

ax

a，-b

xa

，椭圆落在x

ay

b组成的矩形中。

，

（2）对称性:

图象关于y轴对称。

图象关于x轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：

椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A（a,0）,A2（a,0），B（0,

b）,B2（0,b）。

加两焦点F1（

c,0）,F2（c,0）共有六个

特殊点。

A1A2叫椭圆的长轴，

B1B2叫椭圆的短轴。

长分别为

2a,2b。

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半

轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：

椭圆焦距与长轴长之比。

e

c

e

1

（b）2。

0e1。

a

a

椭圆形状与e的关系：

e

0,c

0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在

e0时

的特例。

e1,c

a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段

F1F2，此时也可认为是椭圆在

e1

时的特例。

2.椭圆的第二定义：

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个

（0,1）

内常数e，那么这

个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数

e就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3.椭圆的准线方程

对于x2

y2

1，左准线l1:

x

a2

；右准线l2

:

x

a2

a2

b2

c

c

对于y

2

x2

1，下准线l1:

y

a2

；上准线l2:

y

a2

a

2

b2

c

c

焦点到准线的距离p

a2

a2

c2

b2

c

c

（焦参数）

c

c

（二）双曲线的几何性质：

1.

（1）范围、对称性

由标准方程x2

y2

1，从横的方向来看，直线

x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x

a2

b2

的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（2）顶点

顶点：

A1（a,0）,A2a,0，特殊点：

B1（0,b）,B20,b

实轴：

A1A2长为2a,a叫做实半轴长。

虚轴：

B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

（3）渐近线

过双曲线x2

y21的渐近线

y

bx（

x

y

0）

a2

b2

a

a

b

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e

2c

c，叫做双曲线的离心率

范围：

e>1

2a

a

双曲线形状与

e的关系：

k

b

c2

a2

c2

1

e2

1，e越大，即渐近线的斜率的绝对

a

a

a2

值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，

它的开口就越阔。

2.等轴双曲线

定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

yx；

（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e2。

3.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为ybxkbx（k0），那么此双曲线方程就一定是：

aka

x2

y

2

1（k0）或写成

x2

y

2

（ka）2

（kb）2

a2

。

b2

4.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：

三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确

定双曲线的共轭双曲线的方法：

将1变为－1。

5.双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数ec（ca0）的点的轨迹是

a

双曲线。

其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。

常数e是双曲线的离心率。

6.双曲线的准线方程：

对于x2

y2

1

来说，相对于左焦点F1（c,0）对应着左准线l1:

x

a2

，相对于右焦点F2（c,0）对

a2

b2

c

应着右准线l2

:

x

a2

；

c

焦点到准线的距离

p

b2

（也叫焦参数）。

c

对于y2

x2

1

来说，相对于下焦点F1（0,c）对应着下准线l1:

y

a2

；相对于上焦点F2（0,c）对

a2

b2

c

应着上准线l2:

y

a2

。

c

（三）抛物线的几何性质

（1）范围

因为p＞0，由方程y2

2pxp0可知，这条抛物线上的点

M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所

以这条抛物线在

y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性

以－y代y，方程y2

2pxp0不变，所以这条抛物线关于

x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做

抛物线的轴。

（3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y22pxp0中，当y＝0时，x＝0，因此抛物

线y22pxp0的顶点就是坐标原点。

（4）离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。

由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】

例1.根据下列条件，写出椭圆方程

（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；

（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的

距离是

10－

5。

确定

分析：

求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据

a2、b2的值进而写出标准方程。

解：

（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上

a2＝b2＋c2

及已知条件

因此有两解：

x2

y2

1或y2

x2

1

16

12

16

12

（2）焦点位置确定，且为（

0，

y2

x2

1,（a>b>0），由已知条件有

5），设原方程为

b2

a2

a2

b2

5

y

2

x

2

9

4

a2

15,b2

10，故方程为

1。

a2

b2

1

15

10

x2

y

2

（3）设椭圆方程为

2

b

a

2

1,（a>b>0）

b

c

及a2＝b2＋c2，解得b＝5,a10

由题设条件有

c

10

a

5

故所求椭圆的方程是

x2

y

2

10

1。

5

例2.

直线y

kx

1与双曲线3x2

y2

1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支

上？

当a为何值时，

A、B分别在双曲线的两支上？

解：

把ykx

1代入3x2

y2

1

整理得：

（3

a2）x2

2ax

2

0

（1）

当a

3时，

24

4a2

由

>0得

6

a

6且a

3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点

若A、B在双曲线的同一支，须

x1x2

2

>0，所以a

3或a

3。

a2

3

故当

6

a

3或3a

6时，A、B两点在同一支上；当

3a

3时，A、B两点在

双曲线的两支上。

例3.

已知抛物线方程为

y2

2p（x1）（p>0），直线l:

x

y

m过抛物线的焦点

F且被抛物线截得

的弦长为

3，求p的值。

解：

设l与抛物线交于

A（x1,y1）,B（x2,y2）,则|AB|

3.

由距离公式|AB|＝（x1-x2）2

（y1

y2）2

1

1|y1

y

2|

2|y1y2

|

k2

则有（y

y

）2

9.

1

2

2

x

y

1

p

2，消去x，得y2

2pyp2

0

由

y2

2p（x

1）

（2p）2

4p2

0.

y1

y2

2p,y1y2

p2.

从而（y1

y2）2

（y1y2）2

4y1y2

即（2p）2

4p2

9

2

由于p>0，解得p

3

4

例4.过点（1，0）

的直线l

与中心在原点，焦点在

x轴上且离心率为

2的椭圆C相交于A、B两点，直

2

线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆

C上存在一点与右焦点关于直线

l对称，试求直线

l与椭圆C的方

2

程.

解法一：

由e=c

2,得a2

b2

1,从而a2=2b2,c=b.

a

2

a2

2

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A（x1,y1）,B（x2,y2）

在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，

（x12－x22）+2（y12－y22）=0,y1

y2

x1

x2

.

x1

x2

2（y1

y2）

设AB中点为（x0,y0）,

则kAB=－x0

2y0

又（x0,y0）在直线y=1

x上，y0=1x0,

2

2

于是－

x0=－1,kAB=－1,

2y0

设l的方程为y=－x+1.

右焦点（b,0）

关于l的对称点设为（x′,y′）,

y

1

则xb

解得x

1

x

b

b

y

1

y

1

2

2

由点（1,1

－b）在椭圆上，得1+2（1－b）2=2b2,b2=9

a2

9

.

16

8

∴所求椭圆C的方程为8x2

16

y2

=1,l的方程为y=－x+1.

9

9

解法二：

由e=c

2

得a2

b2

1,从而a2=2b2,c=b.

a

2

a2

2

设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k（x－1）,

将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x2－4k2x+2k2－2b2=0,

则x1+x2=

4k2

y1+y2=k（x1－1）+k（x2

－1）=k（x1+x2）

－2k=－

2k

.

2k2

2k2

1

1

1

的中点

x1x2

y1

y2

）,则

k

1

2k

2

直线l：

y=

x过AB

（

2

2

12k2

2

212k2

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l

的方程为y=0,焦点F（c,0）关于直线l

的对称点就是

F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍

去，从而k=－1，直线l

的方程为y=－（x－1）,即y=－x+1,以下同解法一.

解法3：

设椭圆方程为

x2

y2

1（a

b

0）

（1）

a

2

b2

直线l

不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线

y

1x过AB中点矛盾。

2

故可设直线l的方程为y

k（x

1）

（2）

（2）代入

（1）消y整理得：

（k2a2

b2）x2

2k2a2x

a2k2

a2b2

0（3）

设A（x1，y1）B（x2，y2），知：

x1

x2

2k2a2

k2a2

b2

又y1

y2

k（x1

x2）

2k代入上式得：

k

x1

2k

1，

k2kk2a2

b2

1，

kk

b2

1，又e

2

x2

2

2k2a2

2

ka2

2

2

k

2b2

2（a2

c2）

2

2e2

1，

直线l的方程为y

1

x，

a2

a2

此时a2

2b2，方程（3）化为3x2

4x

2

2b2

0，

16

24（1

b2）

8（3b2

1）0

b

3

，

椭圆C的方程可写成：

x2

2y2

2b2（4）

，又c2

a2

b2

b2，

3

右焦点F（b，0）

，设点F关于直线l的对称点（x0，y0），

y0

1

x0

b

则

x

，y

0

1

b，

y0

x0

b

0

1

1

2

2