高等数学练习题附答案.docx
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高等数学练习题附答案
《高等数学》
专业年级学号姓名
一、判断题.将“或>填入相应的括号内•(每题2分,共20分)()1•收敛的数列必有界•
()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量•
()3•闭区间上的间断函数必无界•
()4.单调函数的导函数也是单调函数•
()5.若f(x)在X。
点可导,则f(X)也在X。
点可导•
()6•若连续函数yf(x)在x0点不可导,则曲线yf(x)在(x0,f(x0))点没有切
线•
()7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上连续•
()8.若zf(x,y)在(x0,y0)处的两个一阶偏导数存在,则函数zf(x,y)在
(Xo,y。
)处可微.
()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解
()10.设偶函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数,且f(0)f(0)1,则
f(0)为f(x)的一个极小值.
二、填空题•(每题2分,共20分)
2
1.设f(x1)X,贝yf(x1)•
1
2X1
2.若f(x)1,贝Ulim.
x0
2X1
3.设单调可微函数f(x)的反函数为g(x),f
(1)3,f
(1)2,f(3)6则
g(3)
x,
4.设uxy,贝Udu
y
6.设f(x)为可导函数,f
(1)1,F(x)f(-)f(x2),则F
(1)
x
f(X)22
7.若tdtx(1x),则f
(2)
0
8.f(x)x2x在[0,4]上的最大值为.
9.广义积分0e2xdx
三、计算题(每题5分,共40分)
4.计算定积分•.sin3xsin5xdx.
0
5.求函数f(x,y)x34x22xyy2的极值.
6.
设平面区域
D是由y
x,y
siny
x围成,计算dxdy.
1,xy
2,y
dy
匚
7.
计算由曲线
xy
x,y、3x围成的平面图形在第一象限的面积
8.
求微分方程
y
2x厶…”y的通解
y
四、证明题(每题10分,共20分)
1.证明:
arctanx
x
(
).
2.设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)0,
证明:
方程F(x)
x
F(x)0f(t)dt
0在区间(a,b)内有且仅有
x
dtbf(t)
个实根
《高等数学》参考答案
、判断题.
1.V;2.x
将"或X填入相应的括号内(每题
;3.X;4.X
;5.x;6.x;
7.X;
2分,共20分)
8.x;9";
(每题2分,
共20分)
1.x24x
2.1;
3.1/2;
4.(y
1/y)dx
(x
x/y2)dy;
5.2/3;
6.1
;7.
336;8.
9.
1/2
10.0.
三、计算题(每题
1.解:
因为
5分,共40分)
丄
~2n
n1
2
(2n)
1
(n
1)2
1
2
(2n)
由迫敛性定理知:
In
2.解:
先求对数
1yy
y(x
1(2n)2丄n2
limn
n
lim(
n
ln(x
1
1
lim
n
1)
(x
1
(n1)2
1)2ln(x
2
2
10)(
3.解:
原式=2J"x"x
=2dx
1(x)2
—)=0
(2n)2
2)10ln(x
10
10
10)
10
x10)
4•解:
5•解:
=2arcsin、xc
原式=0sin3xcos2xdx
3
2cosxsin2xdx
0
3
2sin2xdsinx
0
2
=_[sin
5
5
2x]2
=4/5
(0,
3x2
3
cosxsin2xdx
2
3
sin2xdsinx
2
5[sin
8x
2y
(8)
(2)
0)为极大值点
;时f"2)
4
(2)
6•解:
D=(x,y)
0y
i,y
sinydxdy
1
dy
07
2
x
sin
y
2y
22
D
x]_
2
y2x
8,fyy(0,0)
2y
fxy(0,0)2
22
0且A=8
f(0,0)0
fyy(2,2)
无法判断
fxy(2,2)2
ydx=y
0晳心
0y
dy
=[
0(siny
cosy]0
=1
cosl
ysiny)dy
1
0ydcosy
[ycosy]0
1
0cosydy
=1
sinl
7•解:
令uxy,
Xu
yu
2
8•解:
令y
由微分公式知:
四•证明题(每题10分,
1•解:
设
f(x)
f(x)
f(0)
2X/
e(
1
2^uv
2v£v
1
寸v
罷
2v
2亦
v'v
v'31
——dv
InJ3
12v
2u4x
2dx
2dx
1
yv
2
du
1
知(u)
(
dx
c)
4xe
u2
Xv
v■.3
4xe2xdxc)
2x2x
e(2xee
共20分)
f(x)
x2
arctanx
2x、
c)
arcsin——
V1x
2
x
1x2
1x2
2
x
1x2
1x=0
即:
原式成立。
a1b
F(a)b帀址心)af(t)dt>0
故方程F(x)0在(a,b)上至少有一个实根
F(x)2
F(x)在区间[a,b]上单调递增
F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根
《高等数学》
专业学号姓名
、判断题(对的打V,错的打X;每题2分,共10分)
1.f(x)在点X。
处有定义是f(x)在点Xo处连续的必要条件•
2•若yf(x)在点X。
不可导,则曲线yf(x)在(Xo,f(x。
))处一定没有切线•
3.若f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不可积,则f(x)g(x)在[a,b]上必不可积.
4.方程xyz0和x2y2z20在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,y是其所对应的齐次方程的通解,则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题(每题2分,共20分)
1.设f(3x)、2x1,f(a)5,则a.
ln(12x)
2.设f(x),当f(0)时,f(x)在点x0连续.
arcsin3x
1
3.设f(x)limx
(1)2xt,贝Vf(x)
tt
知已
X
导
处
A
\—/
a
mo
Hh
d2
5.若2f(x)cosx[f(x)]2,并且f(0)
dx
6.若f(x),g(x)在点b左连续,且f(b)
则f(x)与g(x)大小比较为f(x)g(x).
2厂「dydy
ysinx,贝U2;
d(x2)dx
1,则f(x)
g(b),f(x)g(x)
(axb),
7.若
8.设
x
f(x)x2lntdt,则
f
(2)
9.设ze
几,则dz(1,d
10.累次积分
R
dx
0
R2x2
0
f(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为
、计算题(前
1.
sinx
(1
0\
lim
x0xt
dt
0sint
6题每题5分,后两题每题6分,共42分)
1
t)?
dt
2.设y
3.
sinxcosx,dx;
1sin2x
4.
2
x24x2dx;
0
5.设Z
x七
求
22
xy
6.
求由方程2yx(x
y)ln(x
y)所确定的函数
7.
设平面区域D是由y
x围成,计算
8.
求方程yInydx(x
四、(7分)
已知f(x)x3ax2
大值与极小值
yy(x)的微分dy.siny
dxdy.
y
lny)dy0在初始条件yx1e下的特解.
bx在x1处有极值2,试确定系数a、b,并求出所有的极
五、应用题(每题7分,共14分)
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比•已知当速度为10(km/h)时,燃料费为每小时6元,而其它与速度无关的费用为每小时96元•问轮船的速度为多少时,每航行1km所消耗的费用最小?
2.过点(1,0)向曲线y.x2作切线,求:
(1)切线与曲线所围成图形的面积;
(2)
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积•
六、证明题(7分)
设函数f(x)在0xa上的二阶导数存在,且f(0)0,f(x)0.证明
f(x)
g(x)在0xa上单调增加.
x
高等数学参考答案
、判断题
1.V;
2.x;
3.V;
4.X;
5.V.
、填空题
1.36;2.
2;3.
3
4(1x)e2x
;
4.
5A;
5.1
sinx;
6
7.COSx2,
2xcosx2
;8.
In
2
;
9.
2dx
dy
R
10.2df(rcos2)rdr.
00
三、计算题
1.原式
(1sinx)sinxcosxlim
x0
sinx
2x2x2x2x
2e(e1)e2e
(e2x1)2
e2x12e2x
2e2x(e2x1)2
1
2T
1e
sinxcosx.
3.原式=2dx
(sinxcosx)
(sinx
2d(sinxcosx)
cosx)
原式=
024sin2t2cost2costdt
16
02sin2tcos'tdt
22
sin2tdt202(1
cos4t)dt
2(t
1sin4t)l°2
z
5.—
y
2
y
2
y
(x2
xy
3
y2)'
6.
331
2223222
y(xy)2xy-(xy)22x
2
223
(xy)
2
y
/22、3—
(xy)
两边同时微分得:
2dy
dx
(dxdy)ln(xy)(x
2dydxln(xy)dxln(xy)dx
3ln(xy)
(本题求出导数后,用
dy
8原方程可化为
通解为
1
y)(dxdy)
xy
ln(xy)dy(dxdy)
dy2
0y2
dxy
1
0(siny
ysiny)dy
cosy:
ycosy0
cos1
cos1sin、
y
1
1
ocosydy
dyydx解出结果也可)
1
7.沁dxdy
dy
1sinl
dx
dy
xyiny
1
而dy[
1dy亠ylnye
byC]y
InIny
InIny1dyy
C]
Iny
1.lny
2
1
lnydyC]y
C
lny
112
^[2(M)C]
)上该函数处处可导,且
20(km/h)时,每航
7.2(元)
e代入通解得C1
四、
解:
f(x)3x2axb
因为f(x)在x1处有极值2,所以x
1必为驻点
故
f
(1)32ab0
又
f
(1)1ab2
解得:
a0,b3
于是
f(x)x3xf(x)
2
3(x1)
f(x)6x
由f
(x)
0得x1,从而
f
(1)
60,在x1处有极小值f
(1)
2
f(
1)
60,在x1处有极大值f(
1)2
五、
1.解
:
设船速为x(km/h),依题意每航行
1km的耗费为
13
y(kx396)
x
又x
10
时,k1036故得k0.006,
所以有
13
y—(0.006x96),x(0,
x
)
令
y
0012
2(x38000)0,得驻点x
20
故所求特解为:
(Iny)22x1ny10
x
由极值第一充分条件检验得
x20是极小值点.由于在(0,只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为
2.解:
(1)设切线与抛物线交点为(x0,y0),则切线的斜率为
y。
,
x1
又因为y2
x2上的切线斜率满足2yy1,在(X。
,y°)上即有2y°y1
所以2yo—1即2yox。
1
Xo1
则所围成图形的面积为:
代入上式得[3]Xf(X)2f()
XX
由假设f(x)0知f(x)为增函数,又x,则f(x)f(),
于是f(x)f()0,从而[上凶]0,故丄凶在(0,a)内单调增加
XX
《高等数学》试卷
专业学号姓名
、填空题(每小题1分,共10分)
1.函数yarcsin—x2,1的定义域为。
2.函数yxex上点(0,1)处的切线方程是。
3•设f(x)在xo可导且f(x0)A,贝Vlimf(X0——2h^———3h)=。
h0h
4•设曲线过(0,1),且其上任意点(x,y)的切线斜率为2x,则该曲线的方程是
6.limxsin—=xx
•设f(x,y)sinxy,贝Vfx(x,y)=
:
dx°Rxf(x2y2)dy化为极坐标下的累次积分为
单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写
在题干的(
)内,
(1〜10每小题1分,11〜17每小题2分,共24分)
1.设函数
f(x)
1
—,g(x)1x,
x
则f(g(x))=
2.x0时,
xsin11是
x
1无穷大量
2无穷小量
3有界变量
4无界变量
①若f(x)在x
X。
连续,则
f(x)在xxo可导
②若
f(x)在x
X。
不可导,则
f(x)在x
xo不连续
③若
f(x)在x
X。
不可微,则
f(x)在x
X。
极限不存在
④若
f(x)在x
X。
不连续,则
f(x)在x
X。
不可导
5•设F(x)
G(x),则
()
①F(x)
G(x)为常数
②F(x)
G(x)为常数
③F(x)
G(x)。
④—
F(x)dx—G(x)dxx
dx
dx
1
6.
1
xdx
=
()
①上升的凸弧②下降的凸弧
③上升的凹弧④下降的凹弧
①0②1③2④3
7•方程2x3y1在空间表示的图形是()
①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面
③过Oz轴的平面④直线
11•下列函数中为偶函数的是
()
①yex②yx31
—3
③yxcosx
④yIn;
12.设f(x)在(a,b)可导,ax1x2
b,则至少有一点
(a,b)使
()
①f(b)f(a)f()(ba)
②f(b)f(a)f
()(X2xj
③f(X2)f(xjf()(ba)
④f(X2)f(xj
f()(X2X1)
13•设f(x)在x
①cosx②2cosx③1sinx④1sinx
15•过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()
①X4②x4+c③x4+1④4x3
16.设幕级数anxn在x0(x00)收敛,则
n0n0
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关
17.设D:
域由
2
yx,yx所围成,贝U
sin
X
d
DX
①
1
1sinx
②
1
ysinx
dx
0
dy;
xX
dy
0丿
yX
dx;
③
1
xsinx
④
1
xsinx
dx
0
dy;
xX
dy
0J
xX
dx.
、计算题(1〜3每小题5分,4〜9每小题6分,共51分)
5.求过点A(2,1,—1),E(1,1,2)的直线方程
计算
xasin
rsindrd
00
8•求微分方程dy(J)2dx的通解.
x1
2.(7分)借助于函数的单调性证明:
当x>1时,2X3
高等数学参考答案
、填空题(每小题1分,
共10分)
1.(—1,1)2
.2x—y+1=03.5A
.2.
4.y=x+1
5.1arctanx2c
6.17.ycos(xy'
)
2
8.2df(r2)rdr
9.三阶10.发散
00
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的
()内,1〜10每小题1分,11〜17每小题2分,共24分)
1.③2.③3.④4.④5.②6.②7.②8.⑤9.④10.③
11.④12.④13.⑤14.③
15.③16.①17.②
三、计算题
(1〜3每小题5分,
4〜9每小题6分,共51分)
1.解:
Iny
丄[1n(x1)InxIn(x3)]
2
11111yy2(厂;门
x(x3)(x1
2.解:
18xcos(9x216)lim
x433
442
18(3)cos(9(才2
3
16)
=8
3•解:
原式=(1*即
(1ex)2
=dxd(1ex)
xx、2
(1e)(1e)
=(1exex)dx1
xx
1e1e
X1
=xln(1e)c
1e
4.解:
因为dx(cost)arctgtdt,dy(sint)arctgtdtdy(sint)arctgtdt
dx(cost)arctgtdt
tgt
5.解:
所求直线的方向数为{1,0,-3}
所求直线方程为
「1z2
0
6.解:
xysinz■
dued(x
ysinz)
21ydy
coszdz)
7.解:
原积分=0sin
asin
rdr
丄a2sin3d
20
8.解:
两边积分得
两边同除以
(y
1)2
dy
(1y)2
dx
(1x)2
dy
(1y)2
dx
(1x)2
9.解:
分解,得
f(x)="
1
1
1
1
x21
x
2
n1
x-
n02
(
n0
n
12n
(
x
1且
x
2
1)
1
=[1
(1)*]xn(x1)
nO2
四、应用和证明题(共1$分)
「解:
设速度为"u满足m竽mgku
解方程得u1(mgcekt)
由u「°=0定出c,得umg(1ekt)
k
2.证:
令f(x)
1
3则f(x)在区间[1,+^]连续
x
因此f(x)在]1,+s]单调增加
从而当x1时,f(x)f
(1)=0
即当x1时,2匸3-
x
《高等数学》
专业学号姓名
'、判断正误(每题2分,共20分)
1.两个无穷大量之和必定是无穷大量•
2.初等函数在其定义域内必定为连续函数•
3.yfx在点Xo连续,则yfx在点Xo必定可导.
5.
初等函数在其定义域区间内必定存在原函数
6.
方程x2
1表示一个圆.
7.
x,y
在点M0x0,y0可微,则zfx,y在点M
8.
2x
ex是二阶微分方程.
9.
d
dx
x
sintdt
1
sinxsinl.
10.若yfx
x
为连续函数,则ftdt必定可导.
a
、填空题(每题4分,共20分)
1.
dx
1sinx
2.
sin2xlim
3.设fx1,且f01,贝Ufxdx
2
4.zxy,贝Udz
db.2
——sinx
dxa
三、计算题与证明题(共计60分)
n
n
2
“J
1.
1lim
(5分);
n
n
1
2lim
1
1
(5分)。
x0
x
e1
2.
.求函数
y
sinx
cosxsinx,
cosx的导数。
(10分)
fx
3.若在,上fx0,f00•证明:
Fx在区间,0和0,上
x
单调增加•(10分)
4.对物体长度进行了n次测量,得到n个数X2,,x.。
现在要确定一个量x,使之与
测得的数值之差的平方和最小.X应该是多少?
(10分)
5•计算xsinx2dx.(5分)
6.由曲线yInx与两直线ye1x,y0所围成的平面图形的面积是多少•(5分)
7.求微分方程xdyxy满足条件yx70的特解。
(5分)
dx"
8.计算二重积分x2dxdy,D是由圆x2y21及x2y24围成的区域.(5分)
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