近世代数证明题.docx
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近世代数证明题
证明题
1、设G是群,a∈G,令CG(a)={x|x∈G,xa=ax},证明:
CG(a)≤G
2、设G~fG,H≤G,H={x|x∈G,f(x)∈H}。
证明:
H/Kerf≌H.
3、证明:
模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。
ab
4、设R=,a,b,c∈Z
oc
(1)验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。
(2)证明I是R的一个理想。
5、设G是群,u是G的一个固定元,定义“o”:
aob=au2b(a,b∈G),证明(G,o)构成一个群.
6、设R为主理想整环,I是R的一个理想,证明R/I是域I是由R的一个素元生成的主理想.
7、证明:
模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.
8、设G是群,H≤G。
令NG(H)={x|x∈G,xH=Hx}.CG(H)={x|x∈G,h∈H,hx=xh}.证明:
(1)NG(H)≤G
(2)CG(H)△NG(H)
9、证明数域F={a+b7|a,b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.
10、设R是主理想环,I=(a)是R的极大理想,ε是R的单位,证明:
εa是R的一个素元.
11、设G与G是两个群,G~fG,K=Kerf,H≤G,令H={x|x∈G,f(x)∈
H},证明:
H≤G且H/K≌H.
12、在多项式环Z[x]中,证明:
(1)(3,x)={3a0+a1x+⋯+anxn|ai∈Z}.
(2)Z[x]/(3,x)含3个元素.
13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|xG,xH=Hx},证明NG(H)是G的子群.
14、在整数环Z中,a,bZ,证明(a,b)是Z的极大理想的充要条件是a,b的最大公因数是一个素数。
15、设R=
ab
0c
a,b,cZ
02x
00
xZ
(1)验证R对矩阵的加法和乘法构成环。
(2)证明I是R的一个理想。
16、设G是群,令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。
17、在整数环Z中,p,q是不同的素数,证明(p)(q)=(pq),(p,q)=Z。
18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。
19、设G=(a)是一无限循环群,证明G的生成元只有两个。
20、设G是交换群,证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群,
且GT除单位元之外不含有限阶元素。
21、设Rmm,nZ,(n,p)1.p是质数证明(R,+,)是整环(+,是数的加
n
法与乘法).
22、取定群G的元u,在G中定义新的“o”:
aob=1证明(G,o)是群.
23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。
证明
a1ooNb1ooa1,b1,c1R是A的一个左理想。
c1oo
24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。
25、证明循环群的子群也是循环群。
26、证明(3,x)是Z[x]的一个极大理想。
27、I是一个整环,a,bI,(a),(b),是两个主理想,证明(a)=(b)的充要条件是
a与b相伴。
28、设p是一个素数,证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。
29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程x2e的解,证明G是一个交
换群
30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明GN也是一个循环群.
31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。
32、设I是一个主理想环,a,bI,d是a是与b的一个最大公因子,证明(a,b)=(d)。
33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。
34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域p为质数(素数)。
35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。
36、证明群G为交换群f:
xx1(xG)为G到G的一个同构映射。
37、设R是一有单位元的交换环,且R只有平凡理想,证明R是域。
38、证明阶是素数的群一定是循环群。
39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bia,bZ,i2=-1}中,3是一个素元。
40、设Z是整数环,x是Z上的未定元,证明Z[x]的生成理想。
(3,x)={3a0a1xanx|aiZ,0nZ},并且剩余类环Z[x](3,x)={[0],[1],[2]}。
41、证明(5,x)不是Z[x]的主理想。
42、设G是一个1000阶的交换群,a是G的一个100阶元,证明GaZ10。
43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。
44、设F22是有理数域上的二阶方阵环,证明F22只有零理想和单位理想,但F22不是一个除环。
45、设G是群,f:
G→G,aa2,(aG)证明f是群G的自同态G是交换群。
46、设G={(a,b)|a,b|R,a0},在G上定义“”:
(a,b)(c,d)(ac,adb)证明(G,)构成一个群。
47、设G是有限交换群,f:
GG,f(g)=gk(gG)证明fAut(G)(k,|G|)=1。
48、设G是100阶的有限交换群,f:
GG,f(g)=g49(gG),证明fAut(G)。
49、设AG,BG如果存在a,bG,使得Aa=Bb,则A=B。
50、设G是交换群,m是固定的整数,令H={a|aG,am=e},证明HG。
51、设HG,令CG(H)={g|gG,hH,gh=hg},证明CG(H)G。
52、设G是非空有限集合,“”是G的一个二元运算,“”适合结合律及左、右消去律,证明:
(G,)构成一个群,当G是无限集时呢?
53、设G是2000阶的交换群,HG,|H|=200,证明:
GH是一个循环群。
54、证明:
无限循环群的生成元的个数只有两个。
反之,一个循环群G的生成元只有两
个,则G是否一定同构于Z?
55、设G是一个循环群,|G|3,4,G的生成元的个数为2,证明GZ。
56、设G是有限群,HG,aG,证明存在最小正整数m,使amH,且m|a。
57、设G是奇阶群,则对任意gG,存在唯一元xG,使g=x2。
58、证明:
整数加群Z与偶数加群2Z同构。
59、设HG,g是G的一个固定元素,gHg-1={ghg-1|hH}
(1)证明:
gHg-1G。
(2)证明:
HgHg1。
a2b
60、设G=ab2|a,bQ,H|a,bQ,G对复数的加法构成群,H对矩阵ba
的加法也构成群,证明:
GH。
61、设H是群G的非空子集,且H中元的阶都有限,证明:
HGH2H。
62、设NG,|G/N|=10,gG,|g|=12,证明:
g2N。
63、设G是群,a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,∩={e}.证明:
|ab|=[m,n]
([m,n]是m,n的最小公倍数)。
64、设是一个n次置换,集合X={1,2,3,⋯,n},在X中,规定关系“~”为k~lrZ,使r(k)=l.证明:
“~”是X上的一个等价关系。
65、设K={
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}证明:
KS4。
66、设G是群,HG,规定关系“~”
a~bab1H,a,bG证明:
~是G的一个等价关系,且a所在的等价类[a]=Ha。
67、证明:
15阶群至多含有一个5阶子群
68、设HG,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,证明HG。
69、设NG,[G:
N]=2004,证明:
对xG,恒有x2004N。
70、设NG,[G:
N]=4,证明:
存在MG,且[G:
M]=2。
71、设H,NG,HNe,aH,bN,|a|2,|b|3证明:
|ab|=6。
72、设HG,证明:
HGa,bG,如果由abHbaH。
73、设k|m,
Zk。
74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群,如果不存在子群B使得eBN,证明:
整数加群Z没有极小子群。
G
75、如果C(G)是循环群,证明:
G是交换群(其中C(G)是群G的中心)。
76、证明:
6阶交换群是循环群。
举例说明6阶群不一定是循环群。
77、证明:
在一个有单位元的环R中,全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。
2
78、设R为环,如果每个元素aR都满足a2=a,证明R为交换环。
79、环R中元素a称作幂零的,是指存在正整数m,使得am=0,证明:
当R为交换环时,两个幂零元素之和,两个幂零元素之积都为幂零元素。
80、设R和R都是含单位元的环,1R0R,f是R到R的满同态,证明:
(1)f(1R)=1R;
(2)如果a是R的单位,则f(a)是R的单位。
81、设A00|x,yR证明:
A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。
xy
82、证明:
一个具有素数个元素的环是交换环。
83、设R是一个有单位元1R的无零因子环,证明:
如果ab=1R则ba=1R
84、设R是交换环,X是R的非空子集,令Ann(X)r|rR,rx0,xX证明:
Ann(X)是R的理想。
85、设R是环,I,J是R的两个理想,令I:
JxR|xJ,JxI,证明:
[I:
J]是R
的理想。
86、设Z2ab2|a,bZ,I
(2)证明:
Z[2]I是域。
87、设R是有单位元的交换环,I是R的真理想,证明:
如果R的每个不在I中的元素都可逆,则I是R的唯一的极大理想。
88、在Z[x]中,证明(7,x)不是Z[x]的一个主理想。
89、设I和J是环R的理想,且满足I+J=R,I∩J={0}证明:
RIJ。
90、证明:
整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。
91、在整环Z[3]ab3|a,bZ中,证明43是素元。
92、设f:
RR为环的同态。
如果R是除环,求证f是零同态或f是单同态(零同态是指g:
RR,x0,xR)。
93、设f:
RS是环的满同态。
K=Kerf,P是R的素理想,且PK,则f(P)是S的素理想。
1
94、设f:
RS是环的满同态,Q是S的素理想,证明:
f(Q)a|aR,f(a)Q是R的素理想。
95、设D为整环,m和n为互素的正整数,a,bD如果am=bm,an=bn求证a=b。
96、证明:
Z[x]不是主理想整环。
97、设R为交换环,R2=R,则R的每个极大理想都是素理想。
2R[x]2C
98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环,取x2+1R[x]证明:
(x1),C为
复数域。
99、设R是一个主理想整环,p,qR都是素元,且p与q不相伴,证明(p,q)=R。
100、设S是环R的子环,I是R的理想,且IS,证明:
(1)SI是RI的子环。
(2)若S是R的理想,则SI是RI的理想。
101、设f是环R到环R的满同态,A为R的理想,证明:
f(A)RAKerfR
102、设f是群G到群G的满同态,N是G的正规子群,证明:
f(N)GNKerfG
103、设R是欧氏环,I是R的一个素理想,证明:
I是R的一个极大理想。
104、设f是环R的满自同态,R只有有限个理想,证明f是R的一个自同构。
105、设H,KG,则对任意a,bG,则HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集,该结果能否推广?
106.方程在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.
107.设
证明关于矩阵的乘法构成群.
108.设是群.证明:
如果对任意的,有,则是交换群.
109.证明:
在群中,如果,则.
110.设为加群.证明:
任给,,有.
111.证明:
一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。
112.设群的子群在中的指数为2.证明:
.
113.设为群,是的子群.证明:
中每个元素属于且属于的一个左陪集
114.设是群,是的子群,.则
是的子群.
115.设是群,是的非空子集.证明:
中与中每个元素都可交换的元素全体
是的子群.
116.设.证明:
是的子群.
117.设是交换群.是一个固定的正整数.令
.
证明:
与都是的子群.
118.设为群..证明:
与有相同的阶.
119.设为群..证明:
(1)与有相同的阶.
(2),,有相同的阶.
120.设为群,,的阶为,,.证明:
.
121.证明:
循环群是交换群.
122.证明:
有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.
123.证明:
任意偶数阶群必含有阶为2的元素.
124.设为素数.证明:
中每一个非零元都是生成元.
125.设为到的同构映射,.证明:
与有相同的阶.
126.证明:
127.设是群,证明:
的中心
是的正规子群.
128.设是群,,,证明:
.
129.设是群,和分别是的子群和正规子群.证明:
(1)是的正规子群;
(2)是的子群.
130.设为的中心.证明:
如果是循环群,则是交换群.
131.设为群,对任意的,称
为的换位子,的所有换位子生成的子群叫做的换位子群,记作.证明:
(1)是的正规子群;
(2)商群是交换群;
(3)若,且为交换群,则是的子群.
注:
是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.
132.设与为群,为到的同态映射..证明:
当且
仅当对任意的,有.
133.设与
为群,为到的同态映射.,.证明:
134.设为到的同态映射,.为的子群.证明:
135.设与分别为阶与阶循环群.证明:
当且仅当.
136.设都是群的正规子群.证明:
137.设群在集合上的作用是传递的.证明:
如果是的正规子群,则在的作用下的每个轨道有同样多的元素.
138.设群作用在集合上,.证明:
如果存在,使得,则.
139.证明集合
关于通常的加法与乘法构成一个整环.并求出的所有单位.
140.证明集合
关于通常数的加法与乘法构成域.
141.证明:
由所有形如
的矩阵组成的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环,试确定这个环的所有零因子.
145.证明:
一个具有素数个元素的环是交换环.
146.设是环.是的单位元.证明:
对任意的,.
147.设是环.证明:
对任意的,有
(1);
(2).
148.设是有单位元的环(),且是无零因子环..证明:
如果
149.设为大于1的正整数.令
证明:
关于剩余类的乘法构成一个交换群.
150.设为加群,定义的乘法为
证明为环,并求出的所有子环与理想.
151.设集合
证明为的子环.
152.设是交换环,是的非空子集.令
证明:
是的理想.
153.设是无零因子环,是的子环.证明:
当有单位元时,的单位元就是的单位元.
154.设是有单位元的交换环,.证明:
是的单位当且仅当.
155.2.设为的子环,是的理想,且.证明:
(1)是的子环;
(2)如是的理想,则是的理想.
156.设:
为环同态.证明
(1)如果是的理想,则是的理想.
(2)如果是的理想,且满,则是的理想.
157.设和为的理想,且满足,.证明:
.
158.设:
为环的满同态,和分别是和的理想.证明:
如果,且,则有环同构
159.证明:
是欧几里德环.
160.设是个正整数.证明是一个域.
161.设是素特征的域.证明:
对中任意元和,有
162.设是阶的有限域,将看成上的线性空间.对任意的,定义
上的变换如下:
验证:
是线性空间的线性变换.
163.设a和b是一个群G的两个元且abba,又设a的阶am,b的阶bn,并且(m,n)1,证明:
ab的阶abmn。
164.设R为实数集,a,bR,a0,令f(a,b):
RR,xaxb,xR,将R的所有这样的变换构成一个集合Gf(a,b)a,bR,a0,试证明:
对于变换普通的乘法,G作成一个群。
165.设I1和I2为环R的两个理想,试证I1I2和I1I2abaI1,bI2都是R的理想。
166.设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明:
R中的非零元不是可逆元就是零因子。
167.设G是一个群,a∈G证明:
a与a-1的阶相同.
168.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵},H={A|A∈G,|A|=1}证明:
H是G的不变子群.
169.证明:
一个域是一个欧氏环.
170.F{所有实数ab3,(a,b是有理数)}。
证明,F对于普通加法和乘法来说是一个域。
171.设群G与群G同态,N是G的一个不变子群,N是N的逆象,证明GNGN
172.R是由所有复数abi(a,bZ)所作成的环,证明R1i是一个域。
2
173.证明:
设G是群,如果对任意的xG,有x2e,则G是交换群。
174.证明:
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
175.设H{abicjdk|a,b,c,dR}是四元数体,对H中任意元
xabicjdk,
定义其共轭
xabicjdk。
证明:
xxxx是一个非负实数;
176.
设是集合A到B的一个映射,对于
a,b
A,规定关系
a~b
(a)
(b).
证明:
“~”是A的一个等价关系.
177.
在复数集C中规定关系“~”:
a~b
|a|
|b|.
证明:
“~”是C的一个等价关系.
178.在n阶矩阵的集合Mn(F)中规定关系“~”:
A~B|A||B|.
证明:
“~”是Mn(F)的一个等价关系.
179.设“~”是集合A的一个关系,且满足:
(1)对任意aA,有a~a;
(2)对任意a,b,cA,若a~b,a~c,就有b~c.
证明:
“~”是A的一个等价关系.
180.设G是一个群,在G中规定关系“~”:
a~b存在于gG,使得bg1ag.
证明:
“~”是G的一个等价关系.
181.令GAA为n阶正交矩阵.证明,G对于矩阵的普通乘法作在一个群.
182.设G是整数集,规定运算:
abab4,a,bG.
证明:
G对运算作成一个群.
182.证明:
若群G的每个元素都满足方程x2e,则G是一个Abel群(交换群)
183.设G是一个群,证明:
G是交换群的充分必要条件是,对任意a,bG,都有(ab)2a2b2.
184.证明:
在群G中,a1与a有相同的阶.
185.证明:
在群G中,ab与ba有相同的阶.
186.证明:
在群G中,a与bab1有相同的阶.
187.设G是一个群,aG.若a的阶是正整数n.证明:
对
m
mZ,aen|m.
188.设G是一个交换群,m是固定的正整数.令
H{aG|ame}.
证明:
H是G的一个子群.
189.设H1,H2是群G的子群.证明:
H1H2也是G的一个子群.
190.设G是一个群,令
C{aG|axxa,xG}.
证明:
C是G的一个子群.
191.设G是一个群,S是G的一个非空子集.令
C(S){aG|axxa,xS}.
证明:
C(S)是G的一个子群.
192.若群G的阶是素数p,则G是一个循环群,试证之.
193.证明:
循环群的子群也是循环群.
194.若群G与群G同态,且G是循环群,证明:
G也是循环群.
195.证明:
阶为pm的群(p是素数)一定包含有一个阶为p的子群.
196.设H,K是群G的不变子群,证明:
HK也是G的不变子群
197.设H,K是群G的不变子群,且HK{e}.证明:
hH,kK,都有hkkh.
198.设H,K是群G的不变子群,证明:
HK也是G的不变子群。
199.设H是群G的子群,N是G的不变子群。
证明:
HN是G的子群.
200.设G是一个n阶有限群.证明:
G的每一个元素都满足方程xne.
201.设G是一个群,C{aG|axxa,
xG}是G的中心,证明:
C是G的一个
不变子群.
202.设C是群G的中心,即
C{aG|axxa,xG}.
且商群GC是循环群.证明:
G交换群.
203.若G是循环群,H是G的一个子群.证明:
GH也是循环群
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