函数的表示法教学设计.docx

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函数的表示法教学设计

函数的表示法教学设计

　　教学设计

　　2.2　函数的表示法

　　整体设计

　　教学分析

　　课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：

解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．

　　三维目标

　　．了解函数的一些基本表示法，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．

　　．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．

　　．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．

　　．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．

　　重点难点

　　教学重点：

函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．

　　教学难点：

分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．

　　课时安排

　　课时

　　教学过程

　　第1课时

　　张新军

　　导入新

　　思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！

”用繁体中文为：

生日快樂！

英文为：

HappyBirthday！

法文是BonAnniversaire！

德文是AllesGuteZuGeburtstag！

印度尼西亚文是SelaatUlangTahun！

……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？

引出课题：

函数的表示法．

　　思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？

这节课我们就来研究这个问题．

　　推进新

　　新知探究

　　提出问题

　　初中学过的三种表示法：

解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？

　　讨论结果：

解析法：

用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．

　　图象法：

以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．

　　列表法：

列一个两行多列的表格，行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．

　　应用示例

　　例1某种笔记本的单价是5元，买x个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f．

　　活动：

学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．

　　解：

这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，

　　用解析法可将函数y＝f表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．

　　用列表法可将函数y＝f表示为

　　笔记本数x12345

　　钱数y510152025

　　用图象法可将函数y＝f表示为图1.

　　图1

　　点评：

本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：

简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：

直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：

不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：

张丹的年龄n每取一个值，那么他的身高y总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f不能用解析法来表示．

　　注意：

①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；

　　②解析法：

必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；

　　③图象法：

根据实际情境来决定是否连线；

　　④列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

　　变式训练

　　．如图所示为y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论正确的是

　　图2

　　A．abc＞0

　　B．a＋b＋c＜0

　　c．a－b＋c＞0D．2c＜3b

　　解析：

由图象研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，易知a＜0，b＞0，c＞0.当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0；当x＝－1时，a－b＋c＜0，故A，B，c都错．

　　答案：

D

　　．已知2f＋f＝3x＋2，则f＝________.

　　解析：

由题意得

　　把f和f看成未知数，解方程即得．

　　答案：

3x＋23

　　例2下面是某校高一班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

　　次第二次第三次第四次第五次第六次

　　王　伟988791928895

　　张　城907688758680

　　赵　磊686573727582

　　班平均分88.278.385.480.375.782.6

　　请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

　　活动：

学生思考做学情分析，具体要分析什么？

怎么分析？

借助什么工具？

本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．

　　解：

把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f，如图3所示．

　　图3

　　由图3可看到：

　　王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；

　　张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；

　　赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．

　　点评：

本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．

　　注意：

本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.

　　变式训练

　　．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5）的值域是________．

　　答案：

[2,11）

　　．将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．

　　分析：

解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x的函数，用数学的方法解决，然后再回到实际中去．

　　解：

设矩形一边长为x，则另一边长为12，则面积y＝12x＝－x2＋12ax.又得0＜x＜a2，即定义域为0，a2.由于y＝－x－a42＋116a2≤116a2，如图4所示，结合函数的图象得值域为0，116a2.

　　图4

　　．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图5所示，那么水瓶的形状是

　　图5

　　图6

　　解析：

要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系，突出了对思维能力的考查．

　　观察图象，根据图象的特点发现：

取水深h＝H2，注水量V′＞V02，

　　即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．

　　A中V′＜V02，c、D中V′＝V02，故排除A，c，D.

　　答案：

B

　　知能训练

　　课本本节练习2,3.

　　【补充练习】

　　．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则

　　A．y＝10－x

　　B．y＝10－x

　　c．y＝20－2x

　　D．y＝20－2x

　　解析：

根据等腰三角形的周长列出函数解析式．

　　∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．

　　∴y＝20－2x．

　　答案：

D

　　．定义在R上的函数y＝f的值域为[a，b]，则y＝f的值域为

　　A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]

　　c．[a－1，b－1]D．无法确定

　　解析：

将函数y＝f的图象向左平移一个单位得函数y＝f的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f的值域也是[a，b]．

　　答案：

A

　　．函数f＝11＋x2的值域是

　　A．B．D．[0,1]

　　解析：

定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.

　　答案：

B

　　拓展提升

　　问题：

变换法画函数的图象都有哪些？

　　解答：

变换法画函数的图象有三类：

　　．平移变换：

　　将函数y＝f的图象向左平移a个单位得函数y＝f的图象；

　　将函数y＝f的图象向右平移a个单位得函数y＝f的图象；

　　将函数y＝f的图象向上平移b个单位得函数y＝f＋b的图象；

　　将函数y＝f的图象向下平移b个单位得函数y＝f－b的图象．

　　简记为“左加右减，上加下减”．

　　．对称变换：

　　函数y＝f与函数y＝f的图象关于直线x＝0即y轴对称；

　　函数y＝f与函数y＝－f的图象关于直线y＝0即x轴对称；

　　函数y＝f与函数y＝－f的图象关于原点对称．

　　．翻折变换：

　　函数y＝|f|的图象可以将函数y＝f的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f的x轴上方部分即可得到．

　　函数y＝f的图象可以将函数y＝f的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f在y轴右边部分图象即可得到．

　　函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．

　　课堂小结

　　本节课学习了：

函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．

　　作业

　　课本习题1.2A组　7,8,9.

　　设计感想

　　本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．

　　第2课时

　　刘菲

　　导入新

　　思路1．当x＞1时，f＝x＋1；当x≤1时，f＝－x，请写出函数f的解析式．这个函数的解析式有什么特点？

教师指出本节课题．

　　思路2．化简函数y＝|x|的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题．

　　推进新

　　新知探究

　　提出问题

　　①函数h＝x，－x＋1，x0，x0，1，x＝0，－1x，x<0.

　　画出函数的图象；

　　求f，f，f[f