湖南省长沙市中考数学试题及参考答案word解析版.docx
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湖南省长沙市中考数学试题及参考答案word解析版
2020年长沙市初中学业水平考试试卷
数学
(考试时量1120分钟,满分120分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共12个小题,每小题3
分,共36分)
1.(﹣2)3的值等于()
A.﹣6B.6C.8D.﹣8
2.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
3.为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低,中国政府采取积极的财政税收政策,切实减轻
企业负担,以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示,2020年1月至5月,
全国累计办理出口退税632400000000元,其中数字632400000000用科学记数法表示为()
A.6.324×1011B.6.324×1010C.632.4×109D.0.6324×1012
4.下列运算正确的是()
8÷x2=x6C.×=D.(a5)2=a7
A.+=B.x
5.2019年10月,《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案.该方案以“三湘四水,杜娟花开”
为设计理念,塑造出“杜娟花开”的美丽姿态.该高铁站建设初期需要运送大量土石方.某运输
公司承担了运送总量为106m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:
m3/天)
与完成运送任务所需时间t(单位:
天)之间的函数关系式是()
A.v=B.v=106tC.v=t2D.v=106t2
6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是()
A.42米B.14米C.21米D.42米
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
8.一个不透明袋子中装有1个红球,2个绿球,除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球,然后
放回摇匀,再随机摸出一个.下列说法中,错误的是()
A.第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球一定是绿球
1
B.第一次摸出的球是红球,第二次摸出的不一定是红球
C.第一次摸出的球是红球的概率是
D.两次摸出的球都是红球的概率是
9.2020年3月14日,是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日
之所以定在3月14日,是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代,一个国家所算得
的圆周率的精确程度,可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志.我国南
北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠,该成果领先
世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述:
①圆周率是一个有理数;
②圆周率是一个无理数;
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的周长与直径的比;
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数,它等于该圆的周长与半径的比.
其中表述正确的序号是()
A.②③B.①③C.①④D.②④
10.如图:
一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两
平行线FD、GH上,斜边AB平分∠CAD,交直线GH于点E,则
∠ECB的大小为()
A.60°B.45°C.30°D.25°
11.随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品
生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在
生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生
产x万件产品,依题意得()
A.=B.=C.=D.=
12.“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆
腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭
豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为
“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”P与加工煎炸时
间t(单位:
分钟)近似满足的函数关系为:
p=at2+bt+c(a
≠0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据
上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最
佳时间为()
A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.长沙地铁3号线、5号线即将试运行,为了解市民每周乘坐地铁出行的次数,某校园小记者随
机调查了100名市民,得到如下统计表:
2
次数7次及以上654321次及以下
人数81231241564
这次调查中的众数和中位数分别是,.
14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏:
首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌
(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多),然后依次完成以下三个步骤:
第一步,A同学拿出二张扑克牌给B同学;
第二步,C同学拿出三张扑克牌给B同学;
第三步,A同学手中此时有多少张扑克牌,B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.
请你确定,最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为.
15.已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为.
16.如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQ⊥MN,NE平分∠MNP,
交PM于点E,交PQ于点F.
(1)+=.
(2)若PN2=PM?
MN,则=.
三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题6分,第22、
23题每小题6分,第24、25题每小题6分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.(6分)计算:
|﹣3|﹣(﹣1)
0+cos45°+()
﹣1.
18.(6分)先化简再求值:
?
﹣,其中x=4.
19.(6分)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法:
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC,射线OC即为所求(如图).
请你根据提供的材料完成下面问题.
(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是.(填序号)
①SSS②SAS③AAS④ASA
(2)请你证明OC为∠AOB的平分线.
20(.8分)2020年3月,中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》.长
沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情
况,随机抽取若干学生进行调查,得到如图统计图表:
3
(1)这次调查活动共抽取人;
(2)m=,n=;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)若该校学生总人数为3000人,根据调查结果,请你估计该校一周劳
动4次及以上的学生人数.
21.(8分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过C点的直线
互相垂直,垂足为D,AC平分∠DAB.
(1)求证:
DC为⊙O的切线.
(2)若AD=3,DC=,求⊙O的半径.
22.(9分)今年6月以来,我国多地遭遇强降雨,引发洪涝灾害,人民的生活受到了极大的影响.“一
方有难,八方支援”,某市筹集了大量的生活物资,用A,B两种型号的货车,分两批运往受灾严
重的地区.具体运输情况如下:
第一批第二批
A型货车的辆数(单位:
辆)12
B型货车的辆数(单位:
辆)35
累计运输物资的吨数(单位:
吨)2850
备注:
第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资?
(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资,现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还需联系多
少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地?
23.(9分)在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻
折,使点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求证:
△ABF∽△FCE;
(2)若AB=2,AD=4,求EC的长;
(3)若AE﹣DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ
的值.
24.(10分)我们不妨约定:
若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之
为“H函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定,完成下列各题.
(1)在下列关于x的函数中,是“H函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H
4
函数”的打“×”.
①y=2x();
②y=(m≠0)();
③y=3x﹣1().
(2)若点A(1,m)与点B(n,﹣4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H
点”,且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧,求a,b,c的值或取值范围.
(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:
①a+b+c
=0,②(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
25.(10分)如图,半径为4的⊙O中,弦AB的长度为4,点C是劣弧上的一个动点,点D
是弦AC的中点,点E是弦BC的中点,连接DE、OD、OE.
(1)求∠AOB的度数;
(2)当点C沿着劣弧从点A开始,逆时针运动到点B时,求△ODE
的外心P所经过的路径的长度;
(3)分别记△ODE,△CDE的面积为S1,S2,当S12﹣S22=21时,求弦
AC的长度.
5
参考答案与解析
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共12个小题,每小题3
分,共36分)
3的值等于()1.(﹣2)
A.﹣6B.6C.8D.﹣8
【知识考点】有理数的乘方.
【思路分析】根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果.
【解答过程】解:
(﹣2)3=﹣8,
故选:
D.
【总结归纳】此题考查了有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键.
2.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
【知识考点】轴对称图形;中心对称图形.
【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可.
【解答过程】解:
A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;
故选:
B.
【总结归纳】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识,注意掌握好中心对称图形与轴对称
图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻
找对称中心,旋转180度后与原图重合.
3.为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低,中国政府采取积极的财政税收政策,切实减轻
企业负担,以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示,2020年1月至5月,
全国累计办理出口退税632400000000元,其中数字632400000000用科学记数法表示为()
11B.6.324×1010C.632.4×109D.0.6324×1012
A.6.324×10
【知识考点】科学记数法—表示较大的数.
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值
时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数
绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答过程】解:
632400000000=6.324×1011,
故选:
A.
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1
≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
6
4.下列运算正确的是()
8÷x2=x6C.×=D.(a5)2=a7
A.+=B.x
【知识考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;二次根式的混合运算.
【思路分析】根据二次根式的混合运算法则,同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方与积的乘方
计算法则进行解答.
【解答过程】解:
A、与不是同类项,不能合并,计算错误,故本选项不符合题意.
8﹣2=x6,计算正确,故本选项符合题意.
B、原式=x
C、原式==,计算错误,故本选项不符合题意.
5×2=a10,计算错误,故本选项不符合题意.
D、原式=a
故选:
B.
【总结归纳】本题主要考查了二次根式的混合运算,幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法,
属于基础计算题,熟记相关计算法则即可解答.
5.2019年10月,《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案.该方案以“三湘四水,杜娟花开”
为设计理念,塑造出“杜娟花开”的美丽姿态.该高铁站建设初期需要运送大量土石方.某运输
公司承担了运送总量为106m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(单位:
m3/天)
与完成运送任务所需时间t(单位:
天)之间的函数关系式是()
A.v=B.v=106tC.v=t2D.v=106t2
【知识考点】反比例函数的应用.
【思路分析】按照运送土石方总量=平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t,列出等
式,然后变形得出v关于t的函数,观察选项可得答案.
【解答过程】解:
∵运送土石方总量=平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t,
∴106=vt,
∴v=,
故选:
A.
【总结归纳】本题考查了反比例函数的应用,理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键.
6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是()
A.42米B.14米C.21米D.42米
【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【思路分析】在直角三角形中,已知角的对边求邻边,可以用正切函数来解决.
【解答过程】解:
根据题意可得:
船离海岸线的距离为42÷tan30°=42(米)
故选:
A.
【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形.
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
7
A.B.
C.D.
【知识考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
【思路分析】根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集,从而可以将该不等式组的解集在
数轴上表示出来,本题得以解决.
【解答过程】解:
由不等式组,得﹣2≤x<2,
故该不等式组的解集在数轴表示为:
故选:
D.
【总结归纳】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集,解答本题的关键是
明确解一元一次不等式组的方法.
8.一个不透明袋子中装有1个红球,2个绿球,除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球,然后
放回摇匀,再随机摸出一个.下列说法中,错误的是()
A.第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球一定是绿球
B.第一次摸出的球是红球,第二次摸出的不一定是红球
C.第一次摸出的球是红球的概率是
D.两次摸出的球都是红球的概率是
【知识考点】列表法与树状图法.
【思路分析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案.
【解答过程】解:
A、第一次摸出的球是红球,第二次摸出的球一定是绿球,故本选项正确;
B、第一次摸出的球是红球,第二次摸出的一定不是红球,故本选项错误;
C、∵不透明袋子中装有1个红球,2个绿球,∴第一次摸出的球是红球的概率是,故本选项
正确;
D、共用9种等情况数,分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿,则
两次摸出的球都是红球的概率是,故本选项正确;
故选:
B.
【总结归纳】此题考查了概率的求法,解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知
识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
9.2020年3月14日,是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日
之所以定在3月14日,是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代,一个国家所算得
的圆周率的精确程度,可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志.我国南
8
北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠,该成果领先
世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述:
①圆周率是一个有理数;
②圆周率是一个无理数;
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的周长与直径的比;
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数,它等于该圆的周长与半径的比.
其中表述正确的序号是()
A.②③B.①③C.①④D.②④
【知识考点】近似数和有效数字;实数.
【思路分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案.
【解答过程】解:
因为圆周率是一个无理数,是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的周长
与直径的比,
所以表述正确的序号是②③;
故选:
A.
【总结归纳】此题考查了实数,熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键.
10.如图:
一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上,斜边AB
平分∠CAD,交直线GH于点E,则∠ECB的大小为()
A.60°B.45°C.30°D.25°
【知识考点】平行线的性质.
【思路分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质,即可得到∠ACE的度数,进而得出∠ECB
的度数.
【解答过程】解:
∵AB平分∠CAD,
∴∠CAD=2∠BAC=120°,
又∵DF∥HG,
∴∠ACE=180°﹣∠DAC=180°﹣120°=60°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠ACB﹣∠ACE=90°﹣60°=30°,
故选:
C.
【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:
两直线平行,同旁内角互补.
11.随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品
生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在
生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生
9
产x万件产品,依题意得()
A.=B.=C.=D.=
【知识考点】由实际问题抽象出分式方程.
【思路分析】设更新技术前每天生产x万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品,根
据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万
件产品所需时间相同,即可得出关于x的分式方程,此题得解.
【解答过程】解:
设更新技术前每天生产x万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品,
依题意,得:
=.
故选:
B.
【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题
的关键.
12.“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中
在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特
定条件下,“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位:
分钟)近似满足的函数关系为:
p=at2+bt+c
(a≠0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得
到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()
A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟
【知识考点】二次函数的应用.
【思路分析】将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中,
可得函数关系式为:
p=﹣0.2t2+1.5t﹣1.9,再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横
坐标,求出即可得结论.
【解答过程】解:
将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c
中,
,
解得,
所以函数关系式为:
p=﹣0.2t2+1.5t﹣1.9,
10
由题意可知:
加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标:
t=﹣=﹣=3.75,
则当t=3.75分钟时,可以得到最佳时间.
故选:
C.
【总结归纳】本题考查了二次函数的应用,解决本题的关键是掌握二次函数的性质.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.长沙地铁3号线、5号线即将试运行,为了解市民每周乘坐地铁出行的次数,某校园小记者随
机调查了100名市民,得到如下统计表:
次数7次及以上654321次及以下
人数81231241564
这次调查中的众数和中位数分别是,.
【知识考点】中位数;众数.
【思路分析】根据中位数和众数的概念求解即可.
【解答过程】解:
这次调查中的众数是5,
这次调查中的中位数是,
故答案为:
5;5.
【总结归纳】本题考查中位数和众数的概念;在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众
数;将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.
14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏:
首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌
(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多),然后依次完成以下三个步骤:
第一步,A同学拿出二张扑克牌给B同学;
第二步,C同学拿出三张扑克牌给B同学;
第三步,A同学手中此时有多少张扑克牌,B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.
请你确定,最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为.
【知识考点】列代数式;整式的加减.
【思路分析】本题是整式加减法的综合运用,设每人有牌x张,解答时依题意列出算式,求出答
案.
【解答过程】解:
设每人有牌x张,B同学从A同学处拿来二张扑克牌,又从C同学处拿来三张
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