中职数学立体几何教案最新整理.docx
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中职数学立体几何教案最新整理
xx职业技术教育中心
教案
教师姓名
xx
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授课日期
2013年5月13日第13周
授课时数
2
授课章节名称
§9.1平面的基本性质
教学目的
了解平面的表示方法和基本性质
教学重点
平面的基本性质
教学难点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.平面及其表示
常见的平面形象大都是矩形状的,当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时,感到它们
与平行四边形是一致的,因此,通常画一个平行四
来表示平面.图5-27
(1)表示平放的平面,图5-27
(2)D
竖直的平面.请注意它们画法之间的区别.
如果要画相交的两个平面,可以按图5-28所示A
C边形
C
D表示
B的步
骤进行.
图5-27
(1)
B
A
图5-28
图5-27
(2)
一个平面通常用小写希腊字母、、、…表示,写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部,记作“平面”、“平面”,…,或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明,记作“平面AC”或“平面BD”,当然也可记作平面ABCD(如图5-27).应该注意,正像平面几何中直线是可以无限延伸一样,平面也是可以无限延展的,也就是说,它是没有边界的,我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分.
空间图形也可看作是空间点的集合,因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示:
①点A在直线l上,记作A∈l,点A不在直线l上,记作A∉l;
②点A在平面内,记作A∈,点A不在平面内,记作A∉;
③直线l在平面内,记作l⊂;
④直线l与直线m交于点N,记作l⋂m={N},直线l与直线m没有交点,记作l⋂m=∅;
⑤直线l与平面交于点N,记作l⋂={N},直线l与平面没有交点,记作l⋂=∅;
⑥平面与平面交于直线l,记作⋂=l,平面与平面不相交,记作⋂=∅.在以后的学习中,我们将经常用到这些记号.
课内练习1
1.能不能说一个平面长2米,宽1米,为什么?
2.画一个平行四边形表示平面,并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面.
3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面.
4.用符号表示下列点、线、面间的关系:
(1)点A在平面内,但在平面外;
(2)直线l经过平面外的一点N;
(3)直线l与直线m相交于平面内的一点N;
(4)直线l经过平面内的两点M和N.
5.下面的写法对不对,为什么?
D1C1
A1
C
A
(第3题图)
(1)点A在平面内,记作A⊂;
(2)直线l在平面内,记作l∈;
(3)平面与平面相交,记作⋂;(4)直线l与平面相交,记作l⋂≠∅.
2.平面的基本性质
基本性质:
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
如图5-29,直线l上两点A,B在平面内,那么l上所有的点都在平面内,这时我们可以说,直线l在平面内或平面经过直线l.
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内.
因为平面是可以无限延展的,因此两个平面如果有公共的点
,那么延展的结果,它们必定相交于一条直线.由此得平面的第二个基本性质:
(2)如果平面有一个公共点,那么它们相交于经过这个公共点的一条直线.
如图5-30,平面与平面相交,C是公共点,那么它们相
图5-30交于
过C的直线l.如果我们把一张纸摊平折起来,折痕一定是一条直线,就是这个道理.
(3)经过不在同一直线上的任意三点,可以作一个平面,且只可以作一个平面.
这个性质也可以简单地说成:
不在一直线上的三点确定一个平面.
如图5-31,A、B、C三点不在同一直线上,经过这三点可以且只可以画一个平面.
现在你可以明白前面提出的问题了.凳子三条腿、照相机支架腿,三个着地点总是在一个平面上,因此总是平稳的.
图5-31三条
从上述三个性质出发,还可以推出确定一个平面的其它很多方法,其中最常用的是下面三个推论:
①一条直线和直线外一点可以确定一个平面;
②两条相交直线可以确定一个平面;
③两条平行直线可以确定一个平面.
课内练习2
1.判断题
(1)如图,我们能说平面与平面只有一个交点A吗?
(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗?
(3)如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗?
2.三角形一定是平面图形吗?
为什么?
3.一扇门可以自由转动
,如果锁住,就固定了
,如何解释?
4.怎样检查一张桌子的
四条腿的下端是否在同一
平面内?
小结作业
(第1
(1)题图)
(第1
(2)题图)
(第1(3)题图)
xx职业技术教育中心
教案
教师姓名
xx
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授课日期
2013年5月14日第13周
授课时数
4
授课章节名称
§9.2空间两条直线的位置关系
教学目的
了解直线的位置关系,空间平行直线关系的传递性会求异面直线所成的角
教学重点
异面直线的概念及其判定异面直线所成的角
教学难点
异面直线的判定异面直线所成的角
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.两条空间直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系有两种:
相交或平行.在空间中的两条直线是否也是如此呢?
我
们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线,能够找到平行和相交的直线,但也能发现一些直线,它们既不平行也不相交.
把教室看成一个长方体ABCD-A'B'C'D'(如图9-32),可以发现A'
直线对BC与AA'、AD与D'C以及对角线B'D'与AC等等,它们不同
在一个平面内.A
我们把两条既不相交、又不平行的直线,叫做异面直线,也可以
C'C
图9-32
说,把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线.因此,空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种:
(1)没有公共点——平行
(2)只有一个公共点——相交
(必定同在一个平面上);
(3)
既不相交也不平行——异面(不可能同在一个平面上).
在画异面直线时,要像图9-33那样,把两条直线明显地画在不同的平面内,这样就容易体现出“异面”的特点.
课内练习1
1.找出日常生活中异面直线的几个例子.
2.画出图5-32中各面上的对角线,找出不少于5对异面直线来.
3.两条直线分别在两个平面内,它们是否一定异面直线?
4.能否把没有公共点的两条直线叫做平行线?
图9-33
2.空间的平行直线
平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行,在空间情况仍然是正确的.例如图9-34中,因为ABB'A'、BCC'B'都是矩形,AA'∥BB',CC'∥BB',所以CC'∥
AA'.在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法.
在平面几何中有一个判定定理:
如果两个角的两条边分别对应平行,
那么这两个角相等或互补.对立体几何中空间的角,这条道理仍然成立.如A'
图9-34中的∠ACB和∠A'C'B'。
例1如图9-35,已知E、F、G、H分别是任意空间四边形ABCDA
四条边AB、BC、CD、DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.A
证明
由此即得EH=FG且EH//FG.所以四边形EFGH是平行四边形.
C'C
图9-34
课内练习2
1.把一张长方形的纸对折两次然后打开,观察折痕是否平行,为什么?
BFC
图9-35
2.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线,使它们成为平行直线.
3.如图,在长方体中,AE=A1E1,
AF=A1F1,求证:
EF=E1F1且EF//E1F1.A1
4.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
.A
E'D'C'
C
A'DB'E
AB
第3题图第4题图
E,E'分别是棱AD,A'D'的中点,求证:
∠CEB=∠C'E'B'.
3.异面直线所成的角
平面几何中的角的两条边是相交的,空间异面直线不相交,怎么形成角呢?
我们可以这样来定义:
如图5-36
(1),设l、m是两条异面直
线,在空间任取一点P,过P作l'∥l、m'∥m,
把l'、m'所成的(不大于90︒)角,叫做异面
直线l、m所成的角(或l、m的夹角),采
用平面情况的记法,记作l^m.
为了简便起见,点P常取在两异直线中的一条上.
图5-36
(1)
图5-36
(2)
面
例如在直线m上,过点P作直线l'∥l(如图9-36
(2)),那么l'、m所成的角就是异面直线l、m
所成的角.
如果两条异面直线l、m所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直,记作
l⊥m.如果两条直线所成的角为0︒角,那么我们就说这两条直线平行.D'C'
例2图9-37表示一个正方体.
(1)哪些棱与AB'是异面直线?
(2)求AB'与CC'的夹角的度数;
(3)哪些棱与AA'垂直?
D
解
课内练习3
1.在下列各图中,分别以O为顶点,画出异面直线l、m所成的角.
A'B'
C
AB
图9-37
第1题图
2.设l、m、n为三条空间直线,其中l∥m,l⊥n,则m、n的关系如何?
3.设l、m、n为三条空间直线,且l^m=n^m=45︒,能否得出l∥n的结论?
你能举出反例吗?
小结:
作业:
xx职业技术教育中心
教案
教
师
姓
名
xx
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授
课
日
期
2013年5月
20日
第
14周
授课时数
4
授课名
章节称
§9.3直线和平面的位置关系
教
学
目
的
认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论掌握三垂线定理的应用
教
学
重
点
直线和平面平行的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质三垂线定理及其逆定理
教
学
难
点
直线和平面平行、垂直的有关结论三垂线定理的应用
更新、补充、删节内容
使
用
教
具
课
外
作
业
课
后
体
会
复习引入:
新授:
1.直线和平面的位置关系
我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体.我们考察D1
AB所在的直线,它在面ABCD上;与面BCC1B1有一个公共点B;A1
面DCC1D1没有公共点.这个实例告诉我们:
空间直线l与平面的位置关系只有三种:
(1)l与有无数个公共点——直线l在平面α内;A
(2)l与没有公共点——直线l平行于平面;
(3)l与只有一个公共点——直线l与平面相交.
图5-39表示了这三种位置关系.l
C1
与
C
图5-38
图5-39
课内练习1
1.举出直线和平面的三种位置关系的实例.
2.回答下列问题:
(1)能否说直线l与平面有两个交点A、B?
(2)如果直线l在平面外,l是否一定与平行?
(3)如图,因为l与没有交点,是否能说l∥?
(4)如果直线l不平行于平面,l必与相交吗?
(第2(3)题图)
2.直线和平面平行
(1)直线和平面平行的判定
要判断一条直线和一个平面是否认平行,就要将直线和平面无限延伸,看有无公共点,这是无法做到的,我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行.
我们看图5-40
(1),这是一扇门,门框左右两条
边缘是直线a、b.把墙面视为一个平面,当门关着时,直线a、b同在平面上,
图5-40
(1)
图5-40
(2)
且a∥b.开门时,a离开了平面,但仍保持与b平行,而且a与平面也是平行的(如图5-40
(2)).这就给出了一个判定直线与平面平行的方法:
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
如图5-41中所示,如果a∥b,b⊂,则a∥。
a
根据这个判定方法,为了证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了.
画一条直线和一个平面平行,常把直线画在表示平面的平行四边形外图5-41
面,并且如图5-41那样,与平行四边形的一组对边平行或与平行四边形内的一条线段平行.
在安装日光灯管时,检查两条垂直吊线的长度是否相等;往墙上贴一条横幅时,检查横幅的上边与顶板是否等距,都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行,使用的原理正是这个判定方法.
为便于记忆,这个方法可简记为:
“若线线平行,则线面平行”.
例1如图5-42,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,求证EF∥平面BCD.
证明在ABD中,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF∥BD.B
又因为EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.
课内练习2
A
C
图5-42
1.在平面上有直线b,与平面外直线a不平行,能否说a与必定不平行?
为什么?
2.设平面与平面外的直线a平行,证明a与内的任意直线都不相交.
(2)直线和平面平行的性质
现在把图5-40
(2)墙面、门分别看作为平面、,门边缘b是、的交线,a∥b.这表明,当直线a和平面平行时,过a的平面与平面的交线必与a平行.我们可以得到直线和平面平行的性质:
如果直线a和平面平行,经过a的平面若与相交,则交线必定平行于a.
如图5-43,若a∥,a⊂,⋂=b,则a∥b.
这个性质可简记为:
“若线面平行,则线线平行”.
图5-43
例2如图5-44所示的木块,BC∥平面A1C1,木工师傅要过点P和BC截去一个斜角,应
该怎样划线?
D1
解因为BC∥平面A1C1,B1C1是平面BC1与平面A1C1的交A
所以BC∥B1C1;1D
过P作B1C1的平行线EF,则
FC1
P∙线,
EC
EF∥B1C1∥BC,
AB
图5-44所以
EF、BC共面.连结EB和FC,所得的四边形EFCB必定在同一平面上,所以沿此四边形画线即可.
课内练习3
1.一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动,当AB的对边CD转动到各个位置时,是不是都与桌面所在的平面平行?
为什么?
2.判断下面的说法是否正确:
(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行;()
(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行;()(3)如果一条直线和一个平面平行,则它和这平面内的任何直线平行;()(4)平行于同一平面的两条直线互相平行.()
3.设a是平面外的一条直线,a∥,证明在上有无数条直线与a平行.
4.已知:
长方体ABCD-A1B1C1D1,求证:
(1)BC||面A1ADD1;
(2)BC1||面A1ADD1;(3)C1D||面ACB1.
5.如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行,试证另一条直线和这个平面平行.
3.直线和平面垂直
直线与平面相交有两种情况,一是垂直,二是斜交.我们先来研究前一种情况.
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l垂直于平面,记作
l⊥,直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面,交点叫做垂足.画直线与平面垂直,通常是把直线画成和表示平面
的平行四边形的一组对边垂直(如图5-45).
(1)直线与平面垂直的判定
按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的,我们有下面的较为简便的方法:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线和这个平面互相垂直.
图5-45
如图5-46,l⋂≠∅,m⊂,n⊂,m⋂n={O},若l⊥m,l⊥
么l⊥.
有了这个方法,要判定一条直线l是否垂直于一个平面,只
内去找到两条相交直线与l垂直就行了.这也是人们在日常生活来判定直线与平面垂直的方法.例如树立旗杆时,只要从不在一条上的两个不同的方向,看一下旗杆与水平线是否垂直,就能确定旗否与地面垂直了.
例3如图5-47,有一旗杆AB,从它的顶端A挂一条绳子下来,拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处,其中C、B、E在一条直线上,若测得BC=BD=BE,证明旗杆和地面垂直.
证明因为ΔABC,ΔABD,ΔABE的三边对应相等,所以
ΔABC≅ΔABD≅ΔABE,
所以∠ABC=∠ABD=∠ABE;
图5-46
图5-47
n,那
要在中用直线杆是
又因为C、B、E在一条直线上,所以∠ABC=∠ABE=90︒;所以∠ABD=90︒.即
AB⊥BC,AB⊥BD.
又知B、C、D有三点不共线,所以AB⊥平面BCD,即旗杆和地面垂直.
课内练习4
1.回答下列问题:
(1)直线l垂直于平面内的一条直线m,是否能说l⊥?
(2)直线l垂直于平面内的两条直线m,n,是否能说l⊥?
(3)直线l垂直于平面内的无数条直线,是否能说l⊥?
(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边,这条直线是否和第三边垂直?
(5)三条直线相交于同一点,且两两垂直,其中任一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面?
2.已知直线a∥平面,直线b⊥,求证a⊥b.
.
(第3题图)
3.如图,有一旗杆AB高8m,它的顶端A挂一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点C,D上.如果这两点和B点的距离都是6m,求证旗杆和地面垂直.
(2)
直线和平面垂直的性质
当直线与平面垂直时,有如下的性质:
如果两条直线垂直于同一平面,则这两条直线互相平行.如图5-48中,m⊥,n⊥,那么m∥n.这也是判定两条直线平另一个方法.
(3)点到平面的距离
设P是平面外的一点,过点P向作垂线,垂足为O,线段PO的长就是点P到的距离,O也叫做点P在平面内的正射影(简称射影)(如图5-49).
例4如图5-50,已知旗杆AB垂直于水平地面,从旗杆顶拉一条绳子下来,拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m,且BC⊥BD;若已知∠CAD=30︒,求旗杆的高度.
解因为BC⊥BD,所以
行的
图5-49
CD==6
在等腰ACD中,
CD2=AC2+AD2-2AC⋅ADcos∠CAD=(2-
3)AC2,
图5-50
解得AC2=
在RtABC中,
=72(2+
3).
AB2=AC2-BC2=72(2+3)-36=108+723,
AB=≈15.25m.
所以旗杆高约15.25m.
课内练习5
1.判断题
(1)若直线l⊥平面,直线l1不平行于l,则l1不垂直于()
(2)若直线l∥平面,直线l1垂直于l,则l1垂直于()
(3)若直线l∥平面,直线l1不垂直于l,则l1不垂直于()(4)若直线l,l1平行,由它们确定的平面为,若直线m⊥l,则m⊥()
(5)若直线l,l1平行,由它们确定的平面为,若直线m不垂直于l,则m也不垂直于
()
(6)过平面外一点,能作、且仅能作一条直线与平面垂直()2.如图,在例4中,若旗杆立在平台顶上,无法得到垂足B,但已知绳子长度为16m,量得CD=8.5m,且BC⊥BD,
.
(第2题图)
请计算旗杆顶离地面的距离.
4.直线和平面所成的角
如果直线l与平面相交而不垂直,就称直线与平面斜交.直线叫做平面的斜线,交点叫做斜足.
我们看图5-51,直线l1、l2与平面都斜交,但斜交的角度不同.
应该怎样来度量这个角度呢?
现在来讨论这个问题.
设斜线l与平面交于A点,点P在l上,P在上的射影为Q;直线AQ叫做斜线l在平面上的正射影(简称射影)(图5-52).
可以证明,斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中的
)是l与内所有直线所成的角中最小的,我们把这个角叫做
图5-51
l与所成的角,即:
图5-52
斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角.
若一条直线与一个平面所成的角是直角,我们就说这条直线和平面垂直;若一条直线与一个平面所成的角是0︒角,我们就说这条直线和平面平行或在平面内.
例5如图5-53,长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AB=1,AD=,AA1=3,求对角线AC1
与底面ABCD的夹角.
解因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC就是对角线AC1与底
面ABCD之间的夹角.因为D1
AC===,
CC1=AA1=3,D
所以tan∠C1AC=CC1==,
AC
所以∠C1AC=60︒,
即对角线AC1与底面ABCD的夹角为60︒.
课内练习6
B1
B
图5-53
1.过平面外一点P,可以作多少条与夹角为已知角0的斜线?
你能说出这些斜线的斜足在
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