中考复习专题一次函数和反比例函数docx.docx
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一次函数
考点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做X轴或横轴,収向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,収向上为正方向;两轴的交点0(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二彖限、第三彖限、第四彖限。
注意:
x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当a^b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限u>x〉0,y>0点P(x,y)在第二象限u>x<0,y>0
点P(x,y)在第三象限ox<0,y<0点P(x,y)在第四象限ox>0,y<0
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上u>y=0,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上=y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上U>x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等
点P(x,y)在第二、四彖限夹角平分线上Ox与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点P'关于x轴对称O横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点P'关于y轴对称O纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点P'关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于卜|
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于卜|
(3)点P(x,y)到原点的距离等于J/+y2
考点三、函数及其相关概念
]、变量与常量
恋某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程屮有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用來表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的口变量的取值的全体,叫做口变量的取值范圉。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示两数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表屮每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,kHO),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=(k为常数,kHO)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
—次函数y=kx^-b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
图像经过一、二、三彖限,y随x的増人而增大。
b<0
d
0/
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
【省略其余情况请完成剩下情况】
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数y=kx有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三彖限,y随x的增大而增大;
(2)当k〈0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数y=kx+h有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k〈0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(kHO)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx^b(kHO)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
函数定义
正比例函数
1、下列各函数中,y与x成正比例函数关系的是(其中k为常数)()
A、y=3x—2B、y=(k+l)xC>y=(|k|+l)xD、y=x2
2、一次函数y=kx+k+1,当k=时,y叫做x正比例函数
一次函数的是文
1、下列函数关系中,是一次函数的个数是()
1y1
①y戈②y有③y=210-x④y二/一2⑤yp-+1
A、1B、2C、3D、4X
2、若函数y=(3-m)xin亠是正比例函数,则皿=。
3^当m、n为何值时,函数y=(5m—3)x2_n+(m+n)
(1)是一次函数
(2)是正比例函数
一次函数与坐标紊
1一次函数y=—2x+4的图象经过第象限,y的值随x的值增大而(增大或减少)图
象与x轴交点坐标是,与y轴的交点坐标是.
2.已知y+4与x成正比例,且当x=2时,y=l,则当x=-3时,y=.
3.已知k>0,b>0,则直线y=kx+b不经过笫象限.
4.若函数尸一x+m与y=4xT的图象交于y轴上一点,则m的值是()
A.-1B.1C.--D.丄
5.如图,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n是常数,且mnHO)图像的是().
6.一次函数y二kx+(k-3)的函数图象不可能是(
待定系数法求一次函数解析式
1.已知直线经过点(1,2)和点(3,0),求这条直线的解析式.
2.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,与x轴相交于C点.求:
(1)直线AC的函数解析式;
(2)
设点(a,—2)在这个函数图象上,求a的值;
3.小东从A地出发以某一速度向B地走去,同吋小明从B地出发以另一速度向A地而行,如图所示,图
中的线段X、儿分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系。
⑴试用文字说明:
交点P所表示的实际意义。
(2)试求出A、B两地之间的距离。
函数图像的平移
2
1.把直线y二1向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为
2、将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是()。
C
A、y=2x+2B、y=2x~2C、y=2(x~2)D、y=2(x+2)
3、将函数y=—6x的图象厶向上平移5个单位得直线<2,则直线厶与坐标轴围成的三角形面积为
4、在平面直角坐标系中,将直线y=-2x+1向下平移4个单位长度后。
所得直线的解析式
为•
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积
1.函数y-5x+2与x轴的交点是,与y轴的交点是,与两坐标轴围成的三角形面积
是O
2.已知直线尸r+6与兀轴、y轴围成一个三角形,则这个三角形面积为。
3.如图,直线产2屮3与x轴相交于点力,与y轴相交于点
(I)求昇,〃两点的坐标;
⑵过〃点作直线胪与x轴相交于只且使0S20A,求'ABP的面积.
函数图像中的计算问题
1•甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中/甲、/乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间/(分)变化的两数图象以下说法:
①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/小时;③乙走了8km后遇到甲;④乙Hi发6分钟后追上甲.其中正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
S(千米)
(第?
题国)
2.某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20m3吋,
按2元/m?
计费;月用水量超过20n?
时,其中的20n?
仍按2元/n?
收费,超过部分按2.6元/n?
计费.设每户家庭用用水量为兀时,应交水费y元.
(1)分别求1110^x^20和x>20时y与兀的函数表达式;
(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下:
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
30元
34元
42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米?
3、2007年5月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕.20日上午9时,参赛龙舟从黄陵庙同时岀发.其中甲、乙两队在比赛时,路程y(千米)与时间兀(小时)的函数关系如图所示.甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港.
(1)哪个队先到达终点?
乙队何时追上甲队?
(2)在比赛过程中,甲、乙两队何吋相距最远?
4•为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴.某市农机公司筹集到资金130万元,用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台.根据市场需求,这些收割机可以全部销售,全部销售后利润不少于15万元.其中,收割机的进价和售价见下表:
A型收割机
B型收割机
进价(万元/台)
5.3
3.6
售价(万元/台)
6
4
设公司计划购进A型收割机兀台,收割机全部销售后公司获得的利润为y万元.
(1)试写Illy与兀的函数关系式;
(2)市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择?
(3)选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大?
最大利润是多少?
此种情况下,购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元?
一次函数与二元一次方程的关系
1、己知一次函数y=kx-^b的图象如图所示,当xvl时,y的取值范围是()
A.-2VyV0B.-4 2、一次函数必=总+/? 与力=兀+。 的图象如图,则下列结论 ①kvO;@a>Q;③当x<3时,y, A.0B.1C.2D.3 4x-y=\ 3、方程组彳的解是,则一次函数y=4x-1与y=2x+3的图象交 y=2x4-3 点为o 4、如图,直线厶: y=x+l与直线厶: y=〃u"+兀相交于点"(a,2),则关于兀的不等式x+1^/wc+n的解集为• 强化提高 1.如图,直线心亠与直线厶丁二乂*3在同一平而直角坐标系内交于点* (1)写出不等式S>防3的解集: ; (2)设直线“与兀轴交于点A,求△创"的面积. 2.如图,平面直角坐标系中,直线y=kx+b与/轴交于点力(2,0),与y轴交于点5且tanZB4O=^. (1)求直线的解析式; (2)将直线y=kx+b绕点〃旋转60°,求旋转后的直线解析式 反比例函数 一、反比例函数的概念: 一般地: 函数y(k是常数,k却)叫做反比例函数 【提醒: 1、在反比例函数关系式中: 切0、xM)、y=0 2、反比例函数的另一种表达式为尸(k是常数,k#0) 3、反比例函数解析式可写成xy=k(k#))它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积, 总等于J 二、反比例函数的图彖和性质: k 1、反比例函数y=: (耿)的图象是——,它有两个分支,关于—对称 象限,在每一个象限内y随x的增大而 2、反比例函数y=—(k^O)当k>0时它的图彖位于 当k<0时,它的图象位于象限,在每一个象限内,y随x的增大而 【提醒: 1、在反比例函数尸一中,因为時0,y#)所以双曲线与坐标轴无限接近,但永不与x轴丫轴_X 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】 3、反比例函数屮比例系数k的几何意义: k 双曲线y=—(k工0)上任意一点向两坐标轴作垂线 两垂线与坐标轴围成的矩形面积为,即如图: S Saaob- 【提醒: k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用] 三、反比例函数解析式的确定 k 因为反比例函数y=-如)中只有-个待定系数—所以求反比例函数关系式只需知道-组对应 的X、y值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法 四、反比例函数的应用 解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图彖找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的 考点一: 反比例函数的图象和性质 例1(2015云南)若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y二殳在同一坐标系数中的大致图象是 x 例2(2017-绥化)对于反比例函数y=-,下列说法正确的是() x A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限 ) C.x>0时,y随x的增大而增大D.xVO吋,y随x增大而减小 例3.(2017-河北)反比例函数尸一的图象如图所示,以下结论: ①常数m<・1;②在每个象限内,y随X的壇大而壇大;③若A(-1,h),B(2,k) 图象上,则h ④若P(x,y)在图象上,则Pf(-x,・y)也在图象上.其中正确的是(A.®®B.②③C.③④D.①④ 考点二: 反比例函数解析式的确定 £一1 例4(2017-哈尔滨)如果反比例函数y=U的图象经过点(-1,-2),则k的值是( x A.2B.-2C.-3D.3 对应训练 4. 8 (2017-r元)已知关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,且反比例函数)‘=凹的图象 在每个象限内y随x的增大而增大,那么反比例函数的关系式为() 3 1 2 2 A.y=—— B.y=— c.尸一 D.y=—— X X X 兀JA 考点三: 反比例函数k的几何意义 k 例5(2017-内江)如图,反比例函数y二一(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为() 考点四: 反比例函数与一次函数的综合运用 A.1B.2C・3D・4 例6(2017-岳阳)如图,一次函数y尸x+1的图象与反比例函数”二二的图象交于A、 B两点,过点作AC丄x轴于点C,过点B作BD丄x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是() A.点A和点B关于原点对称 B.当x C•Saaoc=Sabod D.当x>0时,yi、y2都随x的增大而增大 对应训练 1.(2017*达州)一次函数y】=kx+b(kHO)与反比例函数y2=—(mHO),在同一直角坐标系中的图象如图 x 所示,若yi>y2,则x的取值范围是() A.-2 C.x>lD.-2 强化提咼 lz. 1.(2017怀化屮考)如图,A,B两点在反比例函数y=」的图象上,C,D两点在反比例函x k・> 数y=-的图象上,AC丄y轴于点E,BD丄y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k-k2的值是X (D)外.64C32 (2017-黄冈)已知反比例函数y二色在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接 3. 兀X 两个图彖丁点A、B.若CB二2CA,贝Ijk二 点C是y轴正半轴上一点,过点C作AB〃x轴分别交 2.(2017•六盘水)下列图形中,阴影部分面积最小的是() 5.(2017-张家界)如图,直线x=2与反比例函数y=2•和y二■丄的图象分别交于A、B两点,若点P是y轴上任意一点, XX 则ZXPAB的面积是
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