小学五年级奥数完整教案.docx
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小学五年级奥数完整教案
五年级奥数完整教案
奥数第一讲巧算
小朋友,你是不是在日常生活和解答数学问题时,经常要进行计算?
在数学课里我们学习了一些简便计算的方法,但如果善于观察、勤于思考,计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦,不仅使你能算得好、算得快,还可以让你变得聪明和机敏。
一、计算:
9.996+29.98+169.9+3999.5
解:
算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算,但是,这几个数每个数只要增加一点,就成为某个整十、整百或整千数,把这几个数“凑整”以后,就容易计算了。
当然要记住,“凑整”时增加了多少要减回去。
9.996+29.98+169.9+3999.5
=10+30+170+4000-(0.004+0.02+0.1+0.5)
=4210-0.624
=4209.376
二、计算:
1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01
解:
式子的数是从1开始,依次减少0.01,直到最后一个数是0.01,因此,式中共有
100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数,再加两个数,再减两个数……这样的顺序排列的。
由于数的排列、运算的排列都很有规律,按照规律可以考虑每4个数为一组添上括号,每组数的运算结果是否也有一定的规律?
可以看到把每组数中第1个数减第3个数,第2个数减第4个数,各得0.02,合起来是0.04,那么,每组数(即每个括号)
运算的结果都是0.04,整个算式100个数正好分成25组,它的结果就是25个0.04的和。
1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02—0.01
=(1+0.99-0.98-0.97)+(0.96+0.95-0.94-0.93)+…+(0.04+0.03-0.02-0.01)
=0.04×25
=1
如果能够灵活地运用数的交换的规律,也可以按下面的方法分组添上括号计算:
1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01
=1+(0.99-0.98-0.97+0.96)+(0.95-0.94-0.93+0.92)+…+(0.03-0.02-0.01)
=1
三、计算:
0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20
解:
这个算式的数的排列像一个等差数列,但仔细观察,它实际上由两个等差数
列组成,
0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9是第一个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.1,而0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20是第二个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.01,所以,应分为两段按等差数列求和的方法来计算。
0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.2
=(0.1+0.9)×9÷2+(0.10+0.20)×11÷2
=4.5+1.65
=6.15
四、计算:
9.9×9.9+1.99
解:
算式中的9.9×9.9两个因数中一个因数扩大10倍,另一个因数缩小10倍,积不变,即这个乘法可变为99×0.99+1.99可以分成0.99+1的和,这样变化以后,计算比较简便。
9.9×9.9+1.99
=99×0.99+0.99+1
=(99+1)×0.99+1
=100
五、计算:
2.437×36.54+243.7×0.6346
解:
虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数,但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7两个数的数字相同,只是小数点的位置不同,如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位,使这两个数变成相同的,就可以运用乘法分配律进行简算了。
2.437×36.54+243.7×0.6346
=2.437×36.54+2.437×63.46
=2.437×(36.54+63.46)
=243.7
六、计算:
1.1×1.2×1.3×1.4×1.5
解:
算式中的几个数虽然是一个等差数列,但算式不是求和,不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。
平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11和13这三个数连乘的积是1001,而一个三位数乘1001,只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积,例如
578×1001=578578,这一题参照这个方法计算,能巧妙地算出正确的得数。
1.1×1.2×1.3×1.4×1.5
=1.1×1.3×0.7×2×1.2×1.5
=1.001×3.6
=3.6036
练习
1.5.467+3.814+7.533+4.186
2.6.25×1.25×6.4
3.3.997+19.96+1.9998+199.7
4.0.1+0.3+…+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99
5.199.9×19.98-199.8×19.97
6.23.75×3.987+6.013×92.07+6.832×39.87
7.20042005×20052004-20042004×20052005
8.(1+0.12+0.23)×(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23)
9.6.734-1.536+3.266-4.464
10.0.8÷0.125
11.89.1+90.3+88.6+92.1+88.9+90.8
12.4.83×0.59+0.41×1.59-0.324×5.9
13.37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112
14.9999×2222+3333×3334
15.1989×1999-1988×2000
奥数第二讲数的整除
如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除,或叫b能整除a。
如果a能被b整除,那么,b叫做a的约数,a叫做b的倍数。
数的整除的特征:
(1)能被2整除的数的特征:
如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。
(2)能被3(或9)整除的数的特征:
如果一个整数的各个数字之和能被3(或9)整除,那么这个整数一定能被3(或9)整除。
(3)能被4(或25)整除的数的特征:
如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么这个数就一定能被4(或25)整除。
(4)能被5整除的数的特征:
如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。
(5)能被6整除的数的特征:
如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。
(6)能被7(或11或13)整除的数的特征:
一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7(或11或13)的倍数,这个数就能被7(或11或13)整除。
(7)能被8(或125)整除的数的特征:
如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么这个数就一定能被8(或125)整除。
(8)能被11整除的数的特征:
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导
例1、下列各数哪些能被7整除?
哪些能被13整除?
(数的整除特征)
88205,167128,250894,396500,
675696,796842,805532,75778885。
例2、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.
思路导航:
一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能
230560或238568
又230560
88=2620
238568
88=2711
所以,本题的答案是2620或2711.
例3、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.
思路导航:
因为36=9
4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,(可知□+□之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的数的特征:
这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.
例4、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已
991个991个
知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.
思路导航:
33…3□44…4
991个991个
=33…3
10993+3□4
10990+44…4
990个990个
因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990个990个
3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.
例5、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.
思路导航:
三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12;
当和为66时,三个数是21,22,23;
当和为99时,三个数是32,33,34.
所以,答案为10,11,12或21,22,23或32,33,34。
[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下:
设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以,
能被3整除.
二、巩固训练
1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.
2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.
3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.
4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.
1.118
符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:
39、79.
所以,所求的和是39+79=118.
2.195
因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15
15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13
13=169不合要求,13
15=195适合要求.所以,答案应是195.
3.9
根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.
因为3456=384
9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:
9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.
4.9
∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:
1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.
三、拓展提升
1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少?
2.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改?
3.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除?
如果回答:
“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:
“不能”,则需给出说明.
答案
1.如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.
2.因为225=25
9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:
把1改为0;把4改为3;把1改为9;把2改为1.
3.不能.
假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.
奥数第三讲数字谜
小朋友们都玩过字谜吧,就是一种文字游戏,例如“空中码头”(打一城市名)。
谜底你还记得吗?
记不得也没关系,想想“空中”指什么?
“天”。
这个地名第1个字可能是天。
“码头”指什么呢?
码头又称渡口,联系这个地名开头是“天”字,容易想到“天津”这个地名,而“津”正好又是“渡口”的意思。
这样谜底就出来了:
天津。
算式谜又被称为“虫食算”,意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认,需要运用四则运算各部分之间的关系,通过推理判定被吃掉的数字,把算式还原。
“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜,其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。
文字算式谜是前两种算式谜的延伸,用文字或字母来代替未知的数字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字,相同的数字或字母表示同一个数字。
文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面,文字也可以组成许许多多的数学游戏,就让我们一起来看看吧。
①横式字谜
一、例题与方法指导
例1、□,□8,□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字,可以使得这3个数的平均数是150。
那么所填的3个数字之和是多少?
思路导航:
150×3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。
例2、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中,“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。
如果“乐”代表9,那么“我数学”代表的三位数是多少?
分析:
学=1,我=8,数=6,81619×81619=6661661161
例3、□÷(□÷□÷□)=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,使左边的数比右边的数小,并且等式成立。
思路导航:
这样,我们可以先用字母代替数字,原等式写成:
a÷(b÷c÷d)=a×c×d÷b(去括号)
当a=1时,有6×8÷2=24,8×9÷3=24;
当a=2时,有4×9÷3=12,6×8÷4=12,8×9÷6=12;
所以,满足要求的等式有:
1÷(2÷6÷8)=24,1÷(3÷8÷9)=24,2÷(3÷4÷9)=24,2÷(4÷6÷8)=24,2÷(6÷8÷9)=24。
例4、①□×□=5□;②12+□-□=□,把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中,使等式成立,这里有3个数字已经填好。
分析:
根据第一个等式,只有两种可能:
7×8=56,6×9=54;如果为7×8=56,则余下的数字有:
3、4、9,显然不行;而当6×9=54时,余下的数字有:
3、7、8,那么,12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。
二、训练巩固
1.迎迎×春春=杯迎迎杯,数数×学学=数赛赛数,春春×春春=迎迎赛赛
在上面的3个算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
如果这3个等式都成立,那么,“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少?
分析:
考察上面三个等式,可以从最后一个等式入手:
能够满足:
春春×春春=迎迎赛赛的只有88×88=7744,于是,春=8,迎=7,赛=4;这样,不难得到第一个为:
77×88=6776,第二个为:
55×99=5445;
所以,迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
2.迎+春×春=迎春,(迎+杯)×(迎+杯)=迎杯
在上面的两个横式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
那么“迎+春+杯”等于多少?
分析:
同样可以从第二个算式入手,发现满足要求的只有(8+1)×(8+1)=81,于是,迎=8;
这样,第一个算式显然只有:
8+9×9=89;所以,迎+春+杯=8+9+1=18。
三、拓展提升
1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数:
(1)5×□=2□;
(2)6×□=3□。
2.将3~9中的数填入下列各式,使算式成立,要求各式中无重复的数字:
(1)□÷□=□÷□;
(2)□÷□>□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字:
(1)448÷□□=□;
(2)2822÷□□=□□;
(3)13×□□=4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数:
(1)□÷32=8……31;
(2)573÷32=□……29;
(3)4837÷□=74……27。
答案与提示 练习22
4.
(1)287;
(2)17;(3)65。
②竖式字谜
一、例题与方法指导
例1在图4-1所示的算式中,每一个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少?
分析:
首先看个位,可以得到“欢”是0或5,但是“欢”是第二个数的十位,所以“欢”不能是0,只能是5。
再看十位,“欢”是5,加上个位有进位1,那么,加起来后得到的“人”就应该是偶数,因为结果的百位也是“人”,所以“人”只能是2;由此可知,“喜”等于8。
所以,“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。
例2在图4-2所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.如果:
巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少?
分析:
还是先看个位,5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”,“谜”必定是5(0显然可以排出);接着看十位,四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”,那说明“字”只能是6;再看百位,三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”,“数”可能是4或9;再看千位,
(1)如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复,不能;
(2)如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是8;5+6+9+8=28,30-28=2,可以。
所以“数字谜”代表的三位数是965。
例3图4-4是一个加法竖式,其中E,F,I,N,O,RS,T,X,Y分别表示从0到9的不同数字,且F,S不等于零.那么这个算式的结果是多少?
分析:
先看个位和十位,N应为0,E应为5;再看最高位上,S比F大1;千位上O最少是8;但因为N等于0,所以,I只能是1,O只能是9;由于百位向千位进位是2,且X不能是0,因此决定了T、R只能是7、8这两个;如果T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6三个数,无法满足S、F是两个连续数的要求。
所以,T=8、R=7;由此得到X=4;那么,F=2,S=3,Y=6。
所以,得到的算式结果是31486。
二、训练巩固
1.在图4-5所示的减法算式中,每一个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.那么D+G等于多少?
分析:
先从最高位看,显然A=1,B=0,E=9;接着看十位,因为E等于9,说明个位有借位,所以F只能是8;由F=8可知,C=7;这样,D、G有2、4,3、5和4、6三种可能。
所以,D+G就可以等于6,8或10。
2.王老师家的电话号码是一个七位数,把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.
分析:
我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。
由题意知,abcd+efg=9063,abc+defg=2529;
首先从第一个算式可以看出,a=8,从第二个算式可以看出,d=1;再回到第一个算式,g=2,掉到第二个算式,c=7;又回到第一个算式,f=9,掉到第二个算式,b=3;那么,e=6。
所以,王老师家的电话号码是8371692。
3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来,得到一个新的四位数.如果新数比原数大7902,那么在所有符合这样条件的四位数中,原数最大是多少?
分析:
用abcd来表示愿四位数,那么新四位数为dcba,dcba-abcd=7902;由最高为看起,a最大为2,则d=9;但个位上10+a-d=2,所以,a只能是1;接下来看百位,b最大是9,那么,c=8正好能满足要求。
所以,原四位数最大是1989。
三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么ABCDE是多少?
分析:
由1/7的特点易知,ABCDE=42857。
142857×3=428571。
2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面,所构成的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少?
分析:
由个位起逐个递推:
4×4=16,原十位为6;4×6+1=25,原百位为5;4×5+2=22,原千位为2;
4×2+2=10,原万位为0;1×4=4,正好。
所以,原数最小是102564。
奥数第四讲定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,例如“+、-、×、÷、、>、<”等。
表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a☆b=3a-3b,新运算使用的符号是☆,而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。
值得注意的是:
定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导
例1、设
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