《角的平分线的性质2》教案.docx
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《角的平分线的性质2》教案
12.3角的平分线的性质
第二课时
一、教学目标
(一)学习目标
1.了解角的平分线的判定定理;
2.理解角平分线性质和判定的区别与联系;
3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
(二)学习重点
角平分线的判定及其应用.
(三)学习难点
灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)角平分线的判定定理:
角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上
(2)角平分线判定定理的符号语言:
∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB
∴∠1=∠2(OP平分∠MON)
2.预习自测
(1)到角的两边距离相等的点在上.
(2)到三角形三边的距离相等的点是三角形()
A.三条边上的高线的交点B.三个内角平分线的交点
C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对
(3)在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是
________,∠B=40°,则∠CDA=.
预习自测答案:
(1)角平分线
(2)B(3)2cm,65°
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)角的平分线性质定理的内容是什么?
其中题设、结论是什么?
[生]角的平分线上的点到角的两边的距离相等;题设是一个点在角平分线上,结论是这个点到角两边的距离相等.
(2)角平分线性质定理的作用是证明什么?
[生]证明垂线段相等
(3)填空如图:
∵OC平分∠AOB,OA⊥AC,OB⊥BC.
∴AC=BC(角平分线性质定理)
2.问题探究
探究一角平分线的判定
●活动①(回顾旧知,回忆类活动)
把角平分线性质定理的题设、结论交换后,得出什么命题?
猜想:
它正确吗?
由学生抢答,然后师生归纳:
到角两边距离相等的点在角平分线上;它是正确的.
【设计意图】由性质到判定强化二者的关系
●活动②证明上面的猜想
学生依据猜测写出已知、求证,并画图,而后独立写出证明过程.
展示学生的学习成果:
已知:
OM⊥PA于A,ON⊥PB于B,AP=BP
求证:
OC平分∠MON
证明:
∵PA⊥OM,BP⊥ON
∴∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△AOP和Rt△BOP中
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴∠1=∠2
∴OC平分∠MON
【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.
●活动③
归纳角平分线的判定定理:
到一角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB
∴∠1=∠2(OP平分∠MON)
【设计意图】培养学生的归纳概括能力.
探究二角平分线性质和判定的区别与联系
●活动①
现有一条题目,两位同学分别用两种方法证明,他们的做法正确吗?
哪一种方法好?
已知:
CA⊥OA于A,BC⊥OB于B,AC=BC
求证:
OC平分∠AOB
证法1:
∵CA⊥OA,BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中
∴△AOC≌△BOC(HL)
∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB
证法2:
∵CA⊥OA于A,BC⊥OB于B,AC=BC
∴OC平分∠AOB(角平分线判定定理)
先让学生回答,最后老师归纳:
两种方法都正确,“方法2”好,证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出,可直接运用角平分线判定定理.
【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用.
●活动②
学生结合图形完善表中内容,教师对个别学生教学指导.
题设
结论
作用
角平分线性质
角平分线判定
展示学生学习成果:
题设
结论
作用
角平分线性质
∠1=∠2(OP平分∠MON),PA⊥OM,
PB⊥ON
PA=PB
证明垂线段相等
角平分线判定
PA⊥OM,PB⊥ON,
PA=PB
∠1=∠2(OP平分∠MON)
证明角相等(平分角)
【设计意图】为归纳角平分线的性质和判定的关系作铺垫.
●活动③
提问:
角平分线的性质和判定之间有什么关系?
先让学生回答,最后由师生归纳:
角平分线性质的题设是角平分线判定的结论,角平分线性质的结论是角平分线判定的题设;角平分线性质的作用是证明线段相等,角平分线判定的作用是证明平分角;角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.
【设计意图】培养学生的归纳概括能力.
探究三利用角平分线的判定进行证明与计算
●活动①(基础性例题)
今天我们学习了关于角平分线的两个性质:
①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
例1.已知:
如图所示,∠C=∠C′=90°,AC=AC′.
求证:
(1)∠ABC=∠ABC′;
(2)BC=BC′(要求:
不用三角形全等判定).
【知识点】角平分线的性质和判定.
【思路点拨】由条件∠C=∠C′=90°,AC=AC′,可以把点A看作是
∠CBC′平分线上的点,由此可打开思路.
【解题过程】
证明:
(1)∵∠C=∠C′=90°(已知),
∴AC⊥BC,AC′⊥BC′(垂直的定义).
又∵AC=AC′(已知),
∴点A在∠CBC′的角平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴∠ABC=∠ABC′.
(2)∵∠C=∠C′,∠ABC=∠ABC′,
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C′+∠ABC′)
即∠BAC=∠BAC′,
∵AC⊥BC,AC′⊥BC′,
∴BC=BC′(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
【设计意图】区别角平分线的性质和判定.
练习:
如图,已知AB=AC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DE=DF.
求证:
BD=DC
【知识点】角平分线的判定;三角形全等的判定和性质.
【思路点拨】由DE=DF,可得∠BAD=∠CAD(角平分线的判定),则△ADB≌△ADC,所以BD=CD
【解题过程】证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC,AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴BD=CD
【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.
●活动2(提升型例题)
例2.如图,△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;
∠A=40°,则∠BOC=( )
A.110°B.120°C.130°D.140°
【知识点】角的平分线的判定;角平分线的定义;三角形内角和定理.
【思路点拨】由已知,O到三角形三边距离相等,得O是内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.
【解题过程】由已知,O到三角形三边距离相等,所以O是内心,即三角形角平分线交点,AO、BO、CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=
∠ABC,∠BCO=∠ACO=
∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°,
∠OBC+∠OCB=70°,∠BOC=180°−70°=110°故选A.
【答案】A
【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.
练习:
如图,△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=52°,则∠BOC=( )
A.128°B.116°C.75°D.52°
【知识点】角的平分线的判定;角平分线的定义;三角形内角和定理.
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点,再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数,然后在△OBC中,利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解.
【解答过程】解:
如图,∵∠A=52°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°,
∵点O到△ABC三边的距离相等,
∴点O是△ABC角平分线的交点,
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-64°=116°.
故答案为:
116°.
【答案】B
【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.
例3.已知:
如图,AD、BE是△ABC的两个角平分线,AD、BE相交于O点.
求证:
O在∠C的平分线上.
【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.
【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线,可以得到垂线段OG与ON相等,OG与OM相等,再由垂线段ON与OM相等,得到O在∠C的角平分线上.
【解题过程】
证明:
过O作OG⊥AB,OM⊥BC,ON⊥AC,
∵AO平分∠BAC,∴OG=ON,
∵BO平分∠ABC,∴OG=OM,
∴ON=OM,
∴O在∠C的平分线上.
【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.
练习:
如图,BP是△ABC的外角平分线,点P在∠BAC的角平分线上.求证:
CP是△ABC的外角平分线.
【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.
【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF,PD=PE,由此可得PE=PF,根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE
【解题过程】
证明:
过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF,
∵BP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥BC,
∴PD=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵点P在∠BAC的角平分线上,PD⊥AD,PE⊥AE,
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴PF=PE,PF⊥BC,PE⊥AE,∴CP是△ABC的外角平分线(在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上).
【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系
●活动3(探究型例题)
例4.如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:
AD是∠BAC的平分线.
【知识点】全等三角形的判定和性质;角平分线的判定定理.
【思路点拨】由BE=CF,DB=DC,可得Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线.
【解题过程】
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE与△CDF是直角三角形,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.
练习:
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,BE=CF.求证:
AD是△ABC的角平分线.
【知识点】角平分线的判定;三角形全等.
【思路点拨】由D是BC的中点,BE=CF,可得Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)则DE=DF,
所以AD是△ABC的角平分线.
【解答过程】
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是角平分线.
【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.
3.课堂总结
知识梳理(以课堂内容为根据,结合教学目标的几点要求,对涉及到的知识细致梳理)
(1)能证明角平分线判定定理;
(2)理解角平分线的性质和判定的关系;
(3)能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.
重难点归纳(本节课的中心知识点在此进行回顾,对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨)
(1)理解角平分线性质与判定的关系;
(2)灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠DOC=_________.
【知识点】角平分线的判定
【思路点拨】由CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,可得∠AOC=∠BOC=30°
【解答过程】解:
∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,
∴∠AOC=∠BOC
∵∠AOB=60°,
【答案】30°
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,DE⊥AC且DB=DE,则∠BCD=______.
【知识点】角平分线的判定;三角形内角和定理。
【思路点拨】由∠B=90°,∠A=40°,可得∠ACB=50°由DE⊥AC,AC⊥DE,DB=DE,可得∠ACD=∠BCD=25°
【解答过程】∵∠B=90°,∠A=40°,
∴∠ACB=50°,
∵DE⊥AC,AC⊥DE,DB=DE,
∴∠ACD=∠BCD=25°,
即∠BCD=25°
【答案】25°
3.
(1)如图,已知∠1=∠2,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则.
(2)已知DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,则.
【知识点】角平分线的性质和判定定理
【思路点拨】
(1)由角平分线的性质可得DE=DF;
(2)由角平分线的判定可得∠1=∠2.
【解答过程】
(1)∵∠1=∠2,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,
∴∠1=∠2.
【答案】DE=DF.∠1=∠2.
4.已知PB,PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P.
求证:
P在∠A的平分线上(如图).
【知识点】角平分线的性质和判定.
【思路点拨】过P点作PE,PH,PG分别垂直AB,BC,AC.由PB,PC分别是△ABC的外角平分线可得PE=PH,PH=PG,所以PE=PG,由此可得P点在∠A的平分线上.
【解答过程】
证明:
过P点作PE,PH,PG分别垂直AB,BC,AC.
∵PB,PC分别是△ABC的外角平分线,
∴PE=PH,PH=PG,
∴PE=PG.
∴P点在∠A的平分线上.
5.如图,AB∥CD,点P到AB、BC、CD距离都相等,则∠P=°.
【知识点】角的平分线的判定;角平分线的定义;平行线的性质;三角形内角和定理.
【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,再由AB∥CD,可得∠ABC+∠BCD=180°,即∠CBP+∠BCP=90°,所以∠P=90°.
【解答过程】∵点P到AB、BC、CD距离都相等,
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠CBP=
∠ABC,∠BCP=
∠BCD
∴∠CBP+∠BCP=
(∠ABC+∠BCD)
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠CBP+∠BCP=
×180°=90°,
∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-90°=90°.
【答案】90
6.如图,△ABC,AD是△ABC的角平分线,DE
⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,有下列四个结论:
①DA
平分∠EDF;②AB=AC;③AD上的点到B
、C两点
的距离相等;
④到AE,AF距离相
等的点到DE、DF的距离也相等.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等
【思路点拨】由AD是△ABC的角平分线,DE
⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF,再由AD=AD,DE=DF,可得△ADE≌△ADF可得∠EDA=∠FDA.
【解答过程】∵AD是△ABC的角平分线,DE
⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF,
又∵AD=AD
∴△ADE≌△ADF(HL)
∴∠EDA=∠FDA
即①正确;
∴AD上的点到DE和DF的距离相等,
∵AD上的点到AE和AF的距离也相等,
即④正确
根据已知条件不能证明AB=AC,AD上的点到B
、C两点
的距离相等也不成立.
【答案】B
能力型师生共研
1.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,
∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为
【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离
【思路点拨】根据垂线段最短,当DP⊥BC时,DP的长度最小,易证∠ABD=∠CBD,根据角平分线的判定定理可得AD=DP,即DP长的最小值为5
【解答过程】
解:
当DP⊥BC时,DP的长度最小,
∵BD⊥CD,即∠BDC=90°,又∠A=90°,
∴∠A=∠BDC,又∠ADB=∠C,
∴∠ABD=∠CBD,又DA⊥BA,DP⊥BC,
∴AD=DP,又AD=5,
∴DP=5.
【答案】5
2.已知:
如图,
,
是
的中点,
平分
.
(1)若连接
,则
是否平分
?
请你证明你的结论.
(2)线段
与
有怎样的位置关系?
请说明理由.
【知识点】角平分线的性质和判定;平行线的性质和三角形内角和定理
【思路点拨】
(1)过点M作ME⊥AD于点E,再根据角平分线的性质得到MC=ME,由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB,再结合MB⊥AB,ME⊥AD即可证得结论;
(2)根据角平分线的性质可得
,由∠B=∠C=90º可得AB//CD,即可得到∠ADC+∠BAD=180º,再根据角平分线的性质求解即可.
【解答过程】
(1)
平分
.
证明:
过点
作
,垂足为
.
(角平
分线上的点到角两边的距离相等).
又
,
.
平分
(
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
(2)
,理由如下:
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行,同旁内角互补)
又
,
(角平分线定义)
.即
.
探究型多维突破
1.如图,△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P,PE⊥AC于E,若△ABC的周长为12,PE=2,S△BPC=3,则S△ABC=______.
【知识点】角平分线的性质和三角形面积.
【数学思想】利用割补法求三角形面积.
【思路点拨】过点P作PF⊥BC于F,作PG⊥AB于G,根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2,△BCP的高为2,则BC长为3,AC+AB=9,则四边形ABPCD的面积为9(把四边形ABPCD沿AP分成两个三角形—割补法),从而S△ABC=6
【解题过程】
如图,过点P作PF⊥BC于F,作PG⊥AB于G,
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P,
∴PF=PG=PE=2,
∵S△BPC=3,
∴
BC•2=3,解得BC=3,
∵△ABC的周长为12,∴AC+AB=12-3=9,
∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BCP=
×9×2-3=9-3=6.
故答案为:
6.
2.如图,PB丄AB,PC丄AC,且PB=PC,D是AP上的一点,
求证:
∠BDP=∠CDP
【知识点】角平分线的判定定理;全等三角形的判定和性质.
【思路点拨】去证明∠BDP和∠CDP(或∠BDA和∠CDA)所在的两个三角形全等.【解题过程】
证明:
∵PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC
∴∠BAD=∠CAD
在Rt△ABP和Rt△ACP中,
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL),
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴∠BDA=∠CDA
∴∠BDP=∠CDP
自助餐
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条中线的交点B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点
【知识点】角平分线的判定定理.
【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.
【解答过程】解:
如图,∵OE=OF,OE⊥BC,OF⊥AB
∴O在∠B的平分线上,
同理可得O在∠A的平分线上,O在∠C的平分线上,
∴O为三条角平分线的交点.
【答案】D
2.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小是( )
A.∠1=∠2B.∠1>∠2
C.∠1<∠2
D.无法确定
【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定
【思路点拨】易证△PCA≌△PDB(AAS),由此可得CP=DP,根据角平分线的判定定理可得∠1=∠2.
【解答过程】∵AD⊥OB,BC⊥OA,
∴∠ACP=∠BDP=90°
∵∠APC=∠BPD,CP=DP
∴△PCA≌△PDB(AAS),
∴CP=DP,
∴∠1=∠2.
【答案】A
3.如图,已知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=.
【知识点】角平分线的判定;三角形的外角性质
【思路点拨】由PA⊥ON,PB⊥OM,PA=PB,可得∠NOP=∠MOP=25°,则∠PCA=∠NOP+∠OPC=55°
【解答过程】解:
∵PA⊥ON,PB⊥OM,PA=PB,
∴∠NOP=∠MOP=25°,
∵∠PCA=∠NOP+∠OPC=25°+30°=55°
【答案】55°
4.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是50、60、70,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO等于______.
【知识点】角平分线的性质定理和三角形的面积.
【思路点拨】过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,O是三角形三条角平分线的交点,可得OD=OE=OF,OE,OF,OD分别是△ABO,△BCO,△CAO的高,则这三个三角形的面积正比就是对应底的比.
【解题过程】
过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵O是三角形三条角平分线的交点,
∴OD=OE=OF,
∵AB=50,BC=60,AC=70,
∴S△ABO:
S△BCO:
S△CAO=5:
6:
7.
【答案】5:
6:
7.
5.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC
求证:
∠1=∠2
【知识点】角平分线的判定定理;三角形全等的判定和性质.
【思路点拨】易证△OBD≌△OCE,可得:
OD=OE,由角平分线的判定可得:
∠1=∠2
【解题过程】
证明:
在△OBD和△OCE中,
∴△OBD≌△OCE,
∴OD=OE
∵OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,
∴OD=OE
∴∠1=∠2
6.如图,在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE=90°,AD=AB,AC=AE.
(1)求证:
△ACD≌△AEB;
(2)试猜想:
∠AFD和∠AFE的大小关系,说明理由.
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的判定.
【思路点拨】过A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N,由SAS可证△ADC≌△ABE,根据全等三角形的对应边上的高相等,于是AM=AN,∴FA平分∠DFE.
【解题过程】
(1)证明:
∵∠CAE=∠BAD=90°∴∠CAD=∠EAB
∵AD=AB,AC=AE
∴△ACD≌△AEB(SAS)
(2)∠AFD=∠AFE
理由如下:
过A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N
∵△ADC≌△ABE
∴CD=BE
∴AM=AN
∴A在∠DFE的平分线上
∴∠AFD=∠AFE
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- 角的平分线的性质2 平分线 性质 教案