粒计算下的粗糙集模型对照.docx

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粒计算下的粗糙集模型对照

粒计算下的粗糙集模型对照

　　摘要:

提出了几种组合粒下的粗糙集模型,并将其与单一粒下的粗糙集进行了对照,同时又与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行比对,制造性地取得了组合粒、单一粒和粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系。

结果说明,组合粒与粒逻辑运算组成了一个链结构,这为探讨基于信息粒的知识获取和动态粒的推理奠定了基础。

　　关键词:

组合粒;粒逻辑运算;单一粒;粗糙集;近似

　　Comparisonofroughsetmodelundergranularcomputing

　　ZHANGXiao-feng,ZOUHai-lin,JIAShi-xiang

　　（SchoolofInformationScience&Engineering,LudongUniversity,YantaiShandong264025,China）

　　Abstract:

Thispaperproposedtheroughsetmodelundercombinationgranule,andcompareditwiththatundersinglegranular,alsowithroughsetmodelunderlogicalcomputingofgranule,whichcontributedtotherelationshipbetweenroughsetmodelsundercombinationgranule,singulargranulesandlogicalcomputingofgranules.Resultsshowthatcombinationgranuleandlogicalcomputingofgranuleconstructachain,whichwilllayafoundationforknowledgeacquisitionbasedoninformationgranuleandinductionbasedondynamicgranule.

　　Keywords:

combinationgranule;logicalcomputingofgranule;singlegranular;roughset;approximation

　　0引言

　　粒度计算是由Zadeh[1]于1996年提出,他以为,人类熟悉要紧基于三个要紧概念,即粒度、组织和因果。

其中粒度计算是一把伞,涵盖了有关粒度计算的理论、方式论、技术和工具的研究,在粗糙集理论、概念格、知识工程、数据挖掘、人工智能、机械学习等领域有潜在的应用,已成为信息科学的研究热点之一[2]职称论文。

　　粗糙集[3]概念为给定关系上集合的上近似与下近似组成的有序对,已被成功地应用于机械学习、决策分析、进程操纵、模式识别和数据挖掘等领域[4]。

传统的粗糙集理论是基于单一粒概念的,即静态粒。

文献[5~7]提出了多粒运算下的粗糙集理论模型,即MGRS（multi-granulationsroughset,MGRS）,并讨论了相关的数学性质。

考虑到文献[5~7]中要紧讨论了集合在粒度P和Q的P+Q、P∩Q运算下的上下近似集合,本文对多粒运算下的粗糙集模型进行了进一步的讨论,并将其与单一粒度下的粗糙集模型进行了比较;同时,将多粒运算下的粗糙集模型与组合粒度下的粗糙集模型进行了?

比较。

　　1相关概念

　　本章给出的相关概念关于后续部份给出的讨论是必要的。

　　概念1命题逻辑中,命题P和Q的合取记为P∧Q。

P∧Q为真当且仅当P和Q同时为真;命题P和Q的析取记为P∨Q,P∨Q为假当且仅当P和Q同时为假。

　　概念2信息系统是一个四元组（U,A,V,f）。

其中,U是对象的集合,称为域（universe）;A是用来描述对象的属性的集合;V是属性集A的值域;f:

U×A→V反映的是某个对象在某个属性上的取值,信息系统通常略写为（U,A）。

　　概念3给定一个非空的域U,U×U的子集EU×U表示域U上的一个关系。

有序对（U,E）称为一个近似空间[8]（approximationspace）。

　　若是关系E知足自反性、对称性和传递性,那么E称为一个等价关系[9]。

等价关系E对域U能够形成一个划分,记为U/E。

能够证明,等价关系和划分是等价的,即给定一个等价关系,能够构造域的划分;一样,给定域的一个划分,能够构造域上的一个等价关系。

　　信息系统（U,A）中,若是两个体x,y∈U在属性a∈A上取值相同,那么称二者在属性a上是不可分辨的。

若是x,y在集合BA中的每一个属性b∈B都是不可分辨的,那么称二者在集合B上是不可分辨的。

与x在集合B上不可分辨的所有个体的集合称为x在集合B上生成的等价类,记为[x]?

B,它能够看成是由与x不可分辨的元素组成的信息粒[8]（informationgranule）。

　　定理1域U上所有元素在集合A上生成的等价类知足以下三个条件[9]:

　　a）?

x∈U,有[x]?

A≠?

;

　　b）?

x,y∈U,或[x]?

A=[y]?

A成立,或[x]?

A∩[y]?

A=?

成立;

　　c）∪x∈U[x]?

A=U。

　　该定理说明,在集合A上生成的所有等价类组成了域的一个划分,这些等价类称为大体等价类。

　　概念4对域U的任一子集XU而言,若是它能够表示成某些等价类的并集,称x是精准的（或称为可概念的）,不然称为粗糙的。

若是一个概念XU是粗糙的,那么能够用两个精准概念的集合来近似,别离称为X的下近似或上近似,记为PX和X,概念如下:

　　PX=∪[x]?

PX[x]?

P

　　X=∪[x]?

P∩X≠?

[x]?

P

　　其中:

[x]?

P={y|f（x,P）=f（x,P）}是由x在属性集P上生成的等价类。

显然有下式成立:

　　PXXX

　　概念5若是集合X是粗糙的,有序对〈PX,X〉称为它的粗糙集。

该粗糙集的近似质量α?

P（X）概念如下:

　　α?

P（X）=|PX|/|X|

　　2几种基于粒运算的粗糙集模型

　　概念6给定信息系统（U,A）,P,QA。

假设由P,Q对域能够构造相应的划分为

　　U/IND（P）={[x?

1]?

P,[x?

2]?

P,…,[x|U|]?

P}

　　U/IND（Q）={[x?

1]?

Q,[x?

2]?

Q,…,[x|U|]?

Q}

　　那么由P和Q组成的两个组合粒概念为

　　U/IND（P∩Q）={[x?

1]?

P∩[x?

1]?

Q,…,[x|U|]?

P∩

　　[x|U|]?

Q}

（1）

　　U/IND（P∪Q）={[x?

1]?

P∪[x?

1]?

Q,…,[x|U|]?

P∪

　　[x|U|]?

Q}

（2）

　　例如信息系统（U,A）中,XU且P,QA。

其中U={e?

1,e?

2,e?

3,e?

4,e?

5,e?

6,e?

7,e?

8},X={e?

1,e?

2,e?

5,e?

7,e?

8}。

由P,Q对域形成的划分别离为

　　U/IND（P）={{e?

1,e?

7},{e?

2,e?

3,e?

4,e?

5,e?

6},{e?

8}}

　　U/IND（Q）={{e?

1,e?

2},{e?

3,e?

4,e?

5},{e?

6,e?

7,e?

8}}

　　因此有

　　U/IND（P∩Q）={{e?

1},{e?

2},{e?

3,e?

4,e?

5},{e?

6},{e?

7},{e?

8}}

　　U/IND（P∪Q）={e?

1,e?

2,e?

7},{e?

1,e?

2,e?

3,e?

4,e?

5,e?

6},{e?

2,e?

3,e?

4,e?

5,e?

6},?

{e?

2,e?

3,e?

4,e?

5,e?

6,e?

7,e?

8},{e?

1,e?

6,e?

7,e?

8},{e?

8}

　　定理2U/IND（P∩Q）形成域的划分,而U/IND（P∪Q）形成域的覆盖。

　　证明由于等价关系知足自反性,对由P,Q构造的等价类[x?

i]?

P和[x?

i]?

Q,有x?

i∈[x?

i]?

P且x?

i∈[x?

i]?

Q。

因此有?

∪x?

i（[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q）=∪x?

i[x?

i]?

P∪[x?

i]?

Q）=U成立,同时有?

[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q≠?

[x?

i]?

P∪[x?

i]?

Q≠?

即U/IND（P∩Q）和U/IND（P∪Q）形成了域的覆盖。

　　进一步考虑,若是x?

j∈[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q,若是x?

j≠x?

i,那么有x?

j∈[x?

i]?

P,x?

j∈[x?

i]?

Q。

由于[x?

i]?

P和[x?

i]?

Q均是等价类,依照定理1可得x?

i∈[x?

j]?

P,x?

i∈[x?

j]?

Q成立,即x?

i∈[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q成立。

　　若是x?

j?

[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q,那么可能有以下三种情形:

a）x?

j?

[x?

i]?

P,x?

j?

[x?

i]?

Q;b）x?

j?

[x?

i]?

P,x?

j∈[x?

i]?

Q;c）x?

j∈[x?

i]?

P,x?

j?

[x?

i]?

Q。

相应地,依照等价类的性质可得:

a）x?

i?

[x?

j]?

P,x?

i?

[x?

j]?

Q;b）x?

i?

[x?

j]?

P,x?

i∈[x?

j]?

Q;c）x?

i∈[x?

j]?

P,x?

j?

[x?

i]?

Q,因此有x?

i?

[x?

j]?

P∩[x?

j]?

Q。

　　通过上述两种情形可得,或[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q=[x?

j]?

P∩[x?

j]?

Q成立,或（[x?

i]?

P∩[x?

i]?

Q）∩（[x?

j]?

P∩[x?

j]?

Q）=?

成立,因此U/IND（P∩Q）组成了域的一个划分。

　　证毕。

　　概念7给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,概念组合粒下的粗糙集如下:

　　P∩QX=∪（[x]?

?

P∩[x]?

?

Q）X

　　（[x]?

P∩[x]?

Q）

　　P∩QX=∪（[x]?

?

P∩[x]?

?

Q）∩X≠?

　　（[x]?

P∩[x]?

Q）

　　P∪QX=∪（[x]?

?

P∩[x]?

?

Q）X

　　（[x]?

P∪[x]?

Q）

　　P∪QX=∪（[x]?

?

P∩[x]?

?

Q）∩X≠?

　　（[x]?

P∪[x]?

Q）

　　文献[10]中曾经概念了粒逻辑运算下的粗糙集模型,如概念8。

　　概念8给定信息系统（U,A）,P和Q是信息系统的两个信息粒,那么粒逻辑运算下的粗糙集模型概念为

　　P∧QX=∪{x|（[x]?

PX）∧（[x]?

QX）}

　　P∧QX=∪{x|（[x]?

P∩X≠?

）∧（[x]?

Q∩X≠?

）}

　　P∨QX=∪{x|（[x]?

PX）∨（[x]?

QX）}

　　P∨QX=∪{x|（[x]?

P∩X≠?

）∨（[x]?

Q∩X≠?

）}

　　下面将讨论组合粒下的粗糙集与单粒下的粗糙集模型之间的关系和组合粒下的粗糙集与粒逻辑运算下的粗糙集之间的关系。

　　3单一粒与多粒运算下粗糙集的关系

　　笔者已经证明了下面的定理。

　　定理3给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∧QX=PX∩QX

　　P∧QX=X∩X

　　P∨QX=PX∪QX

　　P∨QX=X∪X

　　运用本文提出的组合粒,并将其与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行进一步比对,能够取得下面的定理。

　　定理4给定信息系统（U,A）,P,QA,XU那么有

　　PX∩QX?

P∩QX

　　P∩QXX∩X

　　证明

　　a）?

x∈PX∩QX,依照概念有[x]?

PX且[x]?

PX成立,因此有[x]?

P∩[x]?

QX,即x∈?

P∩QX成立。

因此有PX∩?

QX?

P∩QX。

　　b）?

x∈?

P∩QX,有（[x]?

P∩[x]?

Q）∩X≠?

。

由于[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

P,[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

Q,有[x]?

P∩X≠?

而且[x]?

Q∩X≠?

因此有x∈X∩X,即P∩QXX∩X。

　　证毕。

　　该定理说明两个粒度P,Q组合产生的商空间U/IND（P∩Q）比组合粒度P∧Q构造的知识更细,因此对集合X的逼近更为准确。

　　定理5给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∪QX=PX∩QX

　　P∪QX=X∪X

　　证明

　　a）?

x∈?

P∪QX,有[x]?

P∪[x]?

QX成立。

由于[x]?

P[x]?

?

P∪[x]?

Q,[x?

Q][x]?

P∪[x]?

Q,有[x]?

PX和[x]?

QX成立,即

　　x∈PX且x∈QX。

因此有x∈PX∩QX,即

　　P∪QXPX∩QX成立。

　　?

x∈PX∩QX,依照概念有x∈PX且x∈QX,因此有[x]?

PX和[x]?

QX成立。

由于[x]?

PX和[x]?

QX成立,有[x]?

P∪[x]?

QX成立。

因此有x∈?

P∪QX,即PX∩QX?

P∪QX。

　　综合上述两点可得?

P∪QX=PX∩QX。

　　b）?

x∈?

P∪QX,有（[x]?

P∪[x]?

Q）∩X≠?

因此有[x]?

P∩X≠?

或

　　[x]?

Q∩X≠?

即x∈X或x∈X

　　成立,x∈X∪X。

因此可得?

P∪QXX∪X成立。

　　?

x∈X∪X,有x∈X或x∈X成立,即[x]?

P∩X≠?

或[x]?

Q∩X≠?

。

由于[x]?

P[x]?

P∪[x]?

Q,[x]?

Q[x]?

P∪[x]?

Q,可得（[x]?

P∪[x]?

Q）∩X≠?

成立。

因此有x∈?

P∪QX,即X∪X?

P∪QX。

　　依照上述两点可得P∪QX=X∪X。

　　证毕。

　　该定理说明组合粒P∪Q下的粗糙集模型能够由单一粒下的粗糙集模型构造出。

　　4不同粒运算下的粗糙集模型的关系

　　既然能够在组合粒、粒逻辑运算等不同的粒运算下都可形式化相应的粗糙集,那么产生一个问题:

不同粒运算下的粗糙集之间有什么关系?

　　定理6给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∪QX?

P∩QX

　　P∩QX?

P∪QX

　　αP∪Q≤αP∩Q

　证明

　　a）?

x∈?

P∪QX,有[x]?

P∪[x]?

QX,因此可得[x]?

PX且[x]?

QX。

由此能够推断出[x]?

P∩[x]?

QX,即x∈?

P∩QX。

因此有P∪QX?

P∩QX。

　　b）?

x∈?

P∩QX,依照概念有（[x]?

P∩[x]?

Q）∩X≠?

;又由于[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

P∪[x]?

Q,有（[x]?

P∪[x]?

Q）∩X≠?

可得?

x∈?

P∪QX,因此有?

P∩QX?

P∪QX。

　　c）由于

　　P∪QX?

P∩QX,

　　有|?

P∪QX|≤|?

P∩QX|;由于

　　P∩QX?

P∪QX,有|?

P∩QX|≤|?

P∪QX|。

因此,?

αP∪Q≤αP∩Q。

　　证毕。

　　定理7给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∧QX?

P∩QX

　　P∩QX?

P∧QX

　　αP∧Q≤αP∩Q

　　证明

　　a）?

x∈?

P∧QX,有[x]?

PX且[x]?

QX成立,因此可得（[x]?

P∩[x]?

Q）X成立。

因此有P∨QX?

P∩QX。

　　b）P∩QX=∪{x|（[x]?

P∩[x]?

Q）∩X≠?

},?

P∧QX=?

∪{x|（[x]?

P∩X≠?

）∧（[x]?

Q∩X≠?

）}。

　　?

x∈?

P∩QX,有（[x]?

P∩[x]?

Q）∩X≠?

。

由于[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

P

　　且[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

Q,可得[x]?

P∩X≠?

且?

　　[x]?

Q∩X≠?

有x∈?

P∧QX。

因此有P∩QX?

P∧QX。

　　c）由于P∨QX?

P∩QX,有|?

P∨QX|≤|?

P∩QX|;同时,由于P∩QX?

P∧QX,有

　　|?

P∩QX|≤|?

P∧QX|。

因此αP∧Q≤αP∩Q成立。

　　证毕。

　　定理8给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∨QX?

P∩QX

　　P∩QX?

P∨QX

　　αP∨Q≤αP∩Q

　　证明

　　a）?

x∈?

P∨QX,有[x]?

PX或[x]?

QX成立。

由于?

[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

P且[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

Q,有[x]?

P∩[x]?

QX成立,那么有x∈?

P∩QX成立。

因此有P∨QX?

P∩QX。

　　b）?

x∈?

P∩QX,有（[x]?

P∩[x]?

Q）∩X≠?

。

由于[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

P且[x]?

P∩[x]?

Q[x]?

Q。

有[x]?

P∩X≠?

和[x]?

Q∩X≠?

成立,那么有x∈?

P∨QX。

因此有P∩QX?

P∨QX。

　　c）由于P∨QX?

P∩QX,有|?

P∨QX|≤|?

P∩QX|;由于P∩QX?

P∨QX,有|?

P∩QX|≤|?

P∨QX|。

因此αP∨Q≤αP∩Q。

　　证毕。

　　定理9给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∧QX=?

P∪QX

　　P∧QX?

P∪QX

　　αP∪Q≤αP∧Q

　　证明

　　a）?

x∈?

P∪QX,依照概念可得（[x]?

P∪[x]?

Q）X成立,

　　依照集合之间的关系可得

　　[x]?

PX和[x]?

QX成立。

因此有x∈P∧QX成立,即

　　P∪QX?

P∧QX。

　　?

x∈?

P∧QX,有（[x]?

PX和[x]?

QX成立,因此有（[x]?

P∪[x]?

Q）X,即x∈?

P∪QX,因此P∧QX?

P∪QX。

　　综合这两种情形有P∧QX=?

P∪QX。

　　b）?

x∈?

P∧QX,有[x]?

P∩X≠?

且

　　[x]?

Q∩X≠?

成立。

由于[x]?

P[x]?

P∪[x]?

Q,必然有

　　（[x]?

P∪[x]?

P）∩X≠?

即x∈?

P∪QX。

因此有P∧QX?

P∪QX成立。

　　c）由于P∧QX=?

P∪QX,有|?

P∧QX|=|?

P∪QX|;由于P∧QX?

P∪QX,有|?

P∧QX|≤|?

P∪QX|。

因此可得αP∪Q≤αP∧Q。

　　证毕。

　　定理10给定信息系统（U,A）,P,QA,XU,那么有

　　P∪QX?

P∨QX

　　P∨QX?

P∪QX

　　αP∨Q≤αP∪Q

　　证明

　　a）?

x∈?

P∪QX,有[x]?

P∪[x]?

QX成立;

　　由于[x]?

P[x]?

P∪[x]?

Q,可得[x]?

PX,即x∈?

P∨QX。

　　因此有P∪QX?

P∨QX。

　　b）?

x∈?

P∨QX,有[x]?

P∩X≠?

或

　　[x]?

Q∩X≠?

成立。

由于[x]?

P[x]?

P∪[x]?

Q,

　　[x]?

Q[x]?

P∪[x]?

Q,上述两种情形中的任何一种都可推导出

　　（[x]?

P∪[x]?

Q）∩X≠?

。

因此有P∨QX?

P∪QX。

　　c）由于P∪QX?

P∨QX,有|?

P∪QX|≤|?

P∨QX|;由于P∨QX?

P∪QX,有

　　|?

P∨QX||?

P∪QX|。

因此可得αP∨Q≤αP∪Q。

　　证毕。

　　通过上述各定理能够取得组合粒下的粗糙集模型与粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系,而且发此刻相关粒下的知识粗糙度具有如下关系:

　　αP∨Q≤αP∪Q≤αP∧Q≤αP∩Q

　　基于此,从另一个角度给出知识粗细的形式化概念。

　　概念9给定信息系统（U,A）,P,Q是两个信息粒构造的商空间,称P?

Q,若是对任意集合XU,均有α?

Q≤α?

P成立。

　　事实上,若是P?

Q,那么由粒集合P提供的知识比由Q提供的知识更细。

基于上述相关定理,能够取得下面的结论。

　　定理11〈{P∨Q,P∪Q,P∧Q,P∩Q},?

〉是一个链。

　　证明略。

　　5终止语

　　本文讨论了单粒运算与多粒运算下粗糙集之间的关系和不同的多粒运算下粗糙集之间的关系这两个问题,关于进一步研究动态粒的结构和基于动态粒的知识获取奠定了良好的基础。

　　参考文献:

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